空間向量練習(xí)及答案解析

1、空間向量練習(xí)、選擇題（共15小題，每小題4.0分，共60分）1 .已知平面a的一個(gè)法向量是（2, 1,1）, a/ 3,則下列向量可作為平面3的一個(gè)法向量的是（）A. （4,2, - 2） B. （2,0,4） C. （2, 1, -5） D. （4, - 2,2）2 .如圖，過邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段EA1平面AC,若EA= 1, 則平面ADE與平面BCE所成的二面角的大小是（）A. 120 B, 45 C, 150 D, 60 3 .已知京= （1,2,3）,而=（2,1,2）,母=（1,1,2）,點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)應(yīng)而取得最小值時(shí)，點(diǎn) Q的坐標(biāo)為（）A.信B.信 C

2、） C- T 6 I- 24 .將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角 A- BD-C,有如下四個(gè)結(jié)論：AC，BD;ACD是等邊三角形； AB與平面BCD所成的角為 60；AB與CD所成的角為60.其中錯(cuò)誤的結(jié)論是（）第16頁共11頁5.如圖所示，在三棱柱 ABC-AB1C1 中，AA1,底面 ABC, AB= BC= AA1, ZABC= 90,點(diǎn)E, F分別是棱AB,BB1的中點(diǎn)，則直線 EF和BCi的夾角是（）A. 45B. 60C. 906.已知在空間四面體0- ABC中，點(diǎn)M在線段OA上，且OM = 2MA,點(diǎn)N為BC中點(diǎn)設(shè)五=a, 5k= b,丞=c,則正v等于（）-%a+b+，

3、c C. a a jb+弓 c D. ,a + qb -二*-i- n n a7.已知在棱長(zhǎng)為2的正方體 ABCD- A1B1C1D1中，E是DC的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則AB1與D1E所成角的余弦值為（）B.C.遮】oD.8.如圖所示，在正方體 ABCD-A1B1C1D1中, 若/ B1MN = 90,則 / PMN 的大?。ǎ㎝, N, P分別是棱 CO, BC, A1B1上的點(diǎn),A,等于90 B,小于90 C,大于90D.不確定9.如圖，S是正三角形 ABC所在平面外一點(diǎn),n也M, N分別是 AB和SC的中點(diǎn)，SA= SB=SC且/ ASB= / BSC= / CSA= 9

4、0,則異面直線 SM與BN所成角的余弦值為（）A.嚶| B.圖C.罌D.隅10.已知平面 ”內(nèi)兩向量 a=(1,1,1), b=(0,2, 1)且 c=ma+nb+(4, -4,1).若 c 為平面a的法向量，則m, n的值分別為（）A, -1,2 B. 1, -2 C, 1,2 D. 1, - 211.如圖，在三棱柱 ABC A1B1C1中，側(cè)棱 AA1,底面ABC,底面 ABC是等腰直角三角形，/ACB= 90,側(cè)棱AA1=2, D, E分別是C。與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是4ABD的重心G,則AB與平面ABD所成角的正弦值A(chǔ)W BV C12.如圖，在直三棱柱B1DC C1的

5、大小為A. v2 B. v3Ci.ABC- A1B1C1 中，Z ACB= 90 , 2AC= AA1 = BC= 2,若二面角60,則AD的長(zhǎng)為（）2 D -13.三棱錐 ABCD中，平面 ABD與平面 BCD的法向量分別為 m, n2,若m , n2=-,則二面角 A-BD- C的大小為（）3兀2兀兀成2兀?；?兀33333314.已知？泳(1,5, 2), ? (3,1, z),若？野？?（x-1, v, 3）,且 BPL 平面 ABC,則40 1533 15-A. (y ,y ,-3) B. (y, y,-3) C.4015(- - 3)3315D. (y,- y,-3)15.如圖，在

6、平行六面體 ABCD- A1B1C1D1平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等.給出下列結(jié)論：中，點(diǎn)M, P, Q分別為棱 AB, CD, BC的中點(diǎn),A1M / D1P;A1M / BQ;A1M /平面DCCD1；A1M/平面D1PQB.這四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為 （）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空題（共6小題，每小題4.0分共24分）16.如圖所示，已知正四面體 A-BCD中，AE=:AB, CF= 4CD,則直線 DE 和的余弦值為17.已知a=（3, -2, - 3）, b=（- 1, x- 1,1）,且a與b的夾角為鈍角，則 圍是.18.如圖，平面 PAD，平面 ABCD, ABCD

7、 為正方形，/ PAD= 90 ,且 PA= AD=2, E, F 分別是線段PA, CD的中點(diǎn)，則異面直線 EF與BD所成角的余弦值為19.如圖，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為 1,且AA1,底面ABC,則點(diǎn)B1ABO的距離為20.如下圖所示，PD垂直于正方形 ABCD所在平面，AB=2, E為PB的中點(diǎn)，cosBF所成角x的取值范幽？=二，若以DA, DC, DP所在直線分別為 x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn) E的坐標(biāo)為 321 .已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果？?浮(2, 1, 4), ?(4,2,0),雷?浮 (1,2, 1).對(duì)于結(jié)論：

8、APLAB；APLAD；？?？平面ABCD的法向量；？?？ ？?文中正 確的是.三、解答題(共6小題，每小題11.0分，共66分)22 .如圖所示，已知四棱錐P- ABCD的底面為直角梯形， AB/ DC, / DAB= 90, PAL底面ABCD,1且 PA= AD=DC= 5AB= 1, M 是 PB的中點(diǎn).證明：面PAD,面PCD (2)求AC與PB所成角的余弦值；(3)求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值./ ABC= 60 ,23 .如下圖所示，在三棱錐PABC中，PAL底面 ABC, PA=AB,ZBCA= 90,點(diǎn) D, E分別在棱 PB, PC上，且 DE/ BC.(1)求證

9、：BC平面PAC;(2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求 AD與平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在點(diǎn)E,使得二面角 A-DE- P為直二面角？并說明理由.24 .如圖，在棱長(zhǎng)為 2的正方體 ABCD- A1B1C1D1中，點(diǎn) E, F是棱BC, CD的中點(diǎn)，求：(1)直線DF與B1F所成角的余弦值；(2)二面角C1 - EF-A的余弦值.25 .如圖，在四棱錐 S ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，AB垂直于 AD和BC,側(cè)棱 SB，平面ABCD,且 SB= AB=AD=1, BC= 2.（1）求SA與CD所成的角；（2）求平面SCD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值.26 .如下圖，四棱柱

10、 ABCD- A1B1C1D1 中，側(cè)棱 AiA，底面 ABCD, AB/ DC, ABXAD, AD= CD= 1,AAi = AB=2, E為棱AA1的中點(diǎn).證明B1C11CE; （2）求二面角B1 - CE- C1的正弦值.27 .如下圖，在正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中，AB=2, AA1=4, E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1的中點(diǎn).（1）求EF與平面ABCD所成的角的余弦值；（2）求二面角F-DE- C的余弦值.空間向量練習(xí)答案解析1 .【答案】D【解析】 M 3,3的法向量與”的法向量平行，又(4, 2,2) = 2(2, 1,1),故選D.2 .【答案】B【解析】以A為坐標(biāo)

11、原點(diǎn)，分別以 AB, AD, AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Axyz,則 E(0,0,1), B(1,0,0), C(1,1,0),設(shè)平面BCE的法向量為n=(x, v, z),西=(1,0, 1),反= (1,1 , - 1).cos n ,五可取n= (1,0,1).又平面EAD的法向量為顯=(1,0,0),所故平面ADE與平面BCE所成的二面角為45.3 .【答案】C【解析】設(shè)Q(x, v, z),因Q在崩上，故有的ISP ,設(shè)X入6R),可得x= X, y= Z, z= 2入，則Q(入入24， = (1入2入32的= (2入，1-入2-2?),所以虱西=

12、6 %16 入+ 10 = 6?.?2g , 故當(dāng)時(shí)，理麗取最小值，此時(shí)Q.4 .【答案】C【解析】如圖所示，取BD的中點(diǎn)O,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD, OA, OC所在直線分別為 x軸,y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz,設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為小|,則D(1,0,0),B(1,0,0), C(0,0,1), A(0,1,0),所以屬= (0, 1,1), sb =(2,0,0),就 Sb =0,故AC BD.正確.又任|=審，向|=5,0|=的，所以4ACD為等邊三角形.正確.對(duì)于，為面BCD的一個(gè)法向量,所以AB與OA所在直線所成的角為 45。,所以AB與平面BCD所成角為45二故錯(cuò)誤

13、.亦(-h - ItOKLO, -I)1又 8S E 8=丁高= 詬 =P因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角，所以AB與CD所成角為60。.故正確.5 .【答案】B【解析】不妨設(shè)AB= BC=AAi=1,則好=辦一送=；(西；瓦1 ), 5Ci = 3C + B5；,，摩1 1 =；曲】一記1 =乎，脛1 |=也，占近;=5 -a(麗 I瓦)(正 1+防】)=；,，cos| .w| = 0, MPXMN ,即/PMN = 90：9 .【答案】B【解析】不妨設(shè)SA= SB= SC= 1,以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，S , S ,交所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Sxyz,則相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)為 A

14、(1,0.0), B(0.1.0), Q0,0.1), S(0,0,0),M, N.所以I則1=需，I而卜=卜月，顯尿=一；,因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角，TTo5，n i 一 ( n 因?yàn)?= y, 2 ，1?、=O：,所以異面直線SM與BN所成角的余弦值為 亡辿.10 .【答案】A【解析】c=ma+nb + (4, 4,1)= (m, m, m)+(0,2n, n) + (4, 4,1)=(m+4, m+2n 4,m n+ 1),Y 0 0* fl * I -0 ffi - I由c為平面a的法向量，得工.即- .一解得一.|k AO.* 5r-9 011 .【答案】ACC產(chǎn) 所在【解析

15、】:側(cè)棱與底面垂直，ZACB= 90。，所以分別以 CA, CB,直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè) CA= CB= a,則 A(a,0,0), B(0, a,0), A1(a,0,2), D(0,0,1), ? ? ? 1? ? 2E(2-,2,1), G(3，3-,3),臉(6,67,3),蹈笠(0， a)， 砂?平面 ABD, . .-? 0,解得 a=2, ? (3,-,-) , ?2 , 2,2),.?平面ABD, .?平面ABD的一個(gè)法向量，4? 5-萬京又cos電？ ？?1?商舄P港士=9A1B與平面ABD所成角的正弦值為 總故選A.點(diǎn)E在平面ABD上的射影是 A

16、BD的重心 G, 1 1 212 .【答案】A【解析】如下圖，以 C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA, CB, CG所在的直線分別為x軸, z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則0,0,0), A(1,0,0), B1(0,2,2), C1(0,0,2)設(shè) AD=a,則 D 點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0, a), ? (1,0, a), ?,2,2),設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 m=(x, y, z),則? ?顰?？2?+ 2?= 0 ? .?= 0 ?+ ? 0, 一，n1，得m = (a,1, 1),又平面C1DC的一個(gè)法向量為 n= (0,1,0), 則由 cos 60 = |?|?,得,鼠=:，即 a=及，故 AD= v2.1

17、3 .【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)二面角A-BD- C為銳角時(shí)，它就等于. 兀 2斤角A BD C為鈍角時(shí)，匕應(yīng)等于Tt n n2 =兀一行=三.3314 .【答案】D【解析】因?yàn)椋?？?？所以？? 0,即 1X3+ 5X1 + ( 2)z=0,所以 z= 4,因?yàn)?BPL平面 ABC,所以？?且？?-豁？即 1X(x 1) + 5y+(-2)(-3)=0,且 3(x 1)+y+(3)M = 0.解得 x= ”, y=于是？?？譚,-175,-3).15 .【答案】C【解析】因?yàn)椋?酒?？?密？?？?汁？?？?所以？?而AiM / DiP,可得正確.又BiQ與DiP不平行，故 不正確.故選

18、C.16 .【答案】pj解析】fb =瓦+元)=；痂+岳|,即=正| +3=境|十；無|,所以cos士，斯=而與:病7齊和漏二西0F17 .【答案】B【解析】若兩向量的夾角為鈍角，則ab0,且a與b不共線，故3X(-1)+(-2) (x-1)+(-3) 1- 2,且x號(hào)，故選B.【解析】直角坐標(biāo)系惜以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB, AD,AP所在直線分別為 x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間Axyz,則 E(0,0,1), F(1,2,0),B(2,0,0), D(0,2,0).55片=(1,2,-1), 55 = (2,2,0), 故cos前，西=77g r 一 r【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

19、,v217f r - A/3 1一 A/3 1則 A(,0), B(0,1,0), B1(0,1,1), C1(0,0,1),則？?一(三,2,-1) (0,1,0), ? (。,1, 1),設(shè)平面 ABC 的一個(gè)法向量為 n=(x, y,1),則有郵？ ?= ?+ 2? 1 = 0,解得 n=( =1,1), ? ?= ?- 1 = 0.31則所求距離為|胃?”不7=芻.|?V3+1 + 1720.【答案】(1,1,1)【解析】設(shè)PD=a(a0),則 A(2,0,0), B(2,2,0), P(0,0 , a), E(1,1,1?./. ?豺(0,0, a), ? ?(-1,1, 2),co

20、s?=w，=a-9的坐標(biāo)為 d,1).21 .【答案】【解析】由于遇第? 1X2+(1)2+(4)X1)=0,酬多？?4%1)+2X2+0%1)=0,所以正確.22 .【答案】因?yàn)镻A，AD, PA，AB, ADL AB,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為 A(0,0,0), B(0,2,0), C(1,1,0), D(1,0,0), P(0,0,1), M(0,1, 1)(1) .? (0,0,1) , ? (0,1,0),故冊(cè)?.？?？0, .弼？翎? .API D(又由題設(shè)知：ADDC,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線, 由此得DC面PAD,又

21、DC在面PCD上，故面 PAD上面PCD; .cos ? 21I? ?27 3,1觀察圖形，可知一面角 C1-EF- A為鈍角，所以二面角 Ci - EF- A的余弦值為一3.25.【答案】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 B(0,0,0), W0,0,1), A(1,0,0), C(0,2,0), D(1,1,0),霹? (1,0, 1),? (1, 1,0),? 1因?yàn)閏os ?= 禱而污2,所以SA與CD所成的角為60。；(2)設(shè)平面SCD的法向量為 m = (x, v, z),又？?？ (0,2,-1),? ?= 0?= 0所以2?- ?= 0,? ?= 0,令 x= 1,則 n1 = (1,1,2),因?yàn)?BC 平面 SAB,(2)? (1, 2, 1),設(shè)平面 B1CE的法向量？ ?1?= 0,日口,？?- 2?- ?