1.2.多元函數(shù)微分學ppt課件

1、 第八章第八章 *二、全微分在數(shù)值計算中的應用二、全微分在數(shù)值計算中的應用 應用應用 第三節(jié)第三節(jié)一元函數(shù)一元函數(shù) y = f (x) 的微分的微分)( xoxAy xxfy )(d 近似計算近似計算估計誤差估計誤差機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義一、全微分的定義 全微分全微分一、全微分的定義一、全微分的定義 定義定義: 如果函數(shù)如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域在定義域 D 的內(nèi)點的內(nèi)點( x , y ),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成, )( oyBxAz 其中其中 A , B 不依賴于不依賴于 x ,

2、 y , 僅與僅與 x , y 有關(guān)，有關(guān)，稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxf在點在點 (x, y) 的全微分的全微分, 記作記作yBxAfz dd若函數(shù)在域若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微內(nèi)各點都可微,22)()(yx 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點在點( x, y) 可微，可微，機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 處全增量處全增量則稱此函數(shù)在則稱此函數(shù)在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.yBxA(2) 偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz )()(lim0 oyBxA 下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關(guān)系下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微函數(shù)可

3、微函數(shù)函數(shù) z = f (x, y) 在點在點 (x, y) 可微可微),(lim00yyxxfyx 由微分定義由微分定義 :得得zyx 00lim0),(yxf 函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在 函數(shù)可微函數(shù)可微 即即定理定理1(1(必要條件必要條件) ) 若函數(shù)若函數(shù) z = f (x, y) z = f (x, y) 在點在點(x, y) (x, y) 可微可微 , ,則該函數(shù)在該點偏導數(shù)則該函數(shù)在該點偏導數(shù)yzxz ,yyzxxzz d), (), (yfyfzx xz 同樣可證同樣可證,Byz yyzxxzz

4、 d證證: : 由全增量公式由全增量公式, )( oyBxAz ,0 y 令令)(xoxA 必存在必存在, ,且有且有得到對得到對 x 的偏增量的偏增量xx x因此有因此有 xzxx 0lim A機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 反例反例: 函數(shù)函數(shù) ),(yxf易知易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但但)0, 0()0, 0(yfxfzyx 因而因而,函數(shù)在點函數(shù)在點 (0,0) 不可微不可微 .)( o 注意注意: 定理定理1 的逆定理不成立的逆定理不成立 .22)()(yxyx 22)()(yxyx 22)()(yxyx 0偏導數(shù)存在函數(shù)偏導數(shù)存在函數(shù)

5、 不一定可微不一定可微 !即即:0,2222 yxyxyx0, 022 yx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 ),(yyxxf 定理定理2 (充分條充分條件件)yzxz ,證：證：),(),(yxfyyxxfz )1,0(21xyxfx ),( y)yy, x(f2y xyyxxfx),(1),(yyxf ),( yxf ),(yyxf yyxfy ),(若函數(shù)若函數(shù)),(yxfz 的偏導數(shù)的偏導數(shù),),(連連續(xù)續(xù)在在點點yx則函數(shù)在該點可微分則函數(shù)在該點可微分. .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 0lim00yx,0lim00yx z y

6、yxfxyxfyx ),(),(yyxfxyxfzyx ),(),( yx所以函數(shù)所以函數(shù)),(yxfz ),(yxyx 在點在點可微可微. .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 0lim00yx,0lim00yx注意到注意到, 故有故有)( o xxu 推廣推廣: 類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如例如, 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu ud習慣上把自變量的增量用微分表示習慣上把自變量的增量用微分表示,ud記作記作uxd故有下述疊加原理故有下述疊加原理uuuuzyxdddd 稱為偏微分稱為偏微分.yyud zzud

7、 xxud uyduzd的全微分為的全微分為 yyu zzu 于是于是機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 uuuzyxd,d,d例例1. 計算函數(shù)計算函數(shù)在點在點 (2,1) 處的全微分處的全微分. yxez 解解:xz222)1 , 2(,)1 , 2(eyzexz yexezd2dd22)1 , 2( 例例2. 計算函數(shù)計算函數(shù)的全微分的全微分. zyeyxu 2sin解解: ud xd1y yd)cos(221 zeyzyd yz,yxeyyxex)d2d(2yxe zyez機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 可知當可知當*二、全微分在數(shù)值

8、計算中的應用二、全微分在數(shù)值計算中的應用1. 近似計算近似計算由全微分定義由全微分定義xy)(),(),( oyyxfxyxfzyx ),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(較小時較小時,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及及有近似等式有近似等式:),(yxf機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 (可用于近似計算可用于近似計算; 誤差分析誤差分析) (可用于近似計算可用于近似計算) 半徑由半徑由 20cm 增大增大解解: 知知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受壓后圓柱體體積減少了即受壓后圓柱體體積減少了 .cm2003

9、例例3. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到到 20.05cm , 那那么么 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由高度由100cm 減少到減少到 99cm ,體積的近似改變量體積的近似改變量. 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 求此圓柱體求此圓柱體例例4.4.計算計算的近似值的近似值. 02. 204. 1解解: : 設(shè)設(shè)yxyxf),(, ,那么那么),(yxfx取取, 2, 1yx那那么么)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021

10、),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 分別表示分別表示 x , y , z x , y , z 的絕對誤的絕對誤差界差界, ,2. 誤差估計誤差估計利用利用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令令z 的絕對誤差界約為的絕對誤差界約為yyxxzyxfyxf),(),(z 的相對誤差界約為的相對誤差界約為yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 那那么么特別注意特別注意時，時，yxz )1(yxzyxz ,)2(時時xyz yxyx

11、類似可以推廣到三元及三元以上的情形類似可以推廣到三元及三元以上的情形. .xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的結(jié)果相對誤差變大乘除后的結(jié)果相對誤差變大很小的數(shù)不能做除數(shù)很小的數(shù)不能做除數(shù)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 例例5. 利用公式利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求計算面積時的絕對誤差與相對誤差求計算面積時的絕對誤差與相對誤差.解：解：aSaSaCbsin211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故絕對誤差約為故絕對誤差約為又又CbaSsin21所以所以 S 的

12、相對誤差約為的相對誤差約為SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0計算三角形面積計算三角形面積. .現(xiàn)測得現(xiàn)測得機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 bbSccS例例6.6.在直流電路中在直流電路中, , 測得電壓測得電壓 U = 24 伏伏 ,解解: 由歐姆定律可知由歐姆定律可知4624IUR( 歐歐)所以所以 R 的相對誤差約為的相對誤差約為IURIUR0.3 + 0.5 R 的絕對誤差約為的絕對誤差約為 RR0.8 0.3;定律計算電阻定律計算電阻 R 時產(chǎn)生的相對誤差和絕對誤差時產(chǎn)生的相對誤

13、差和絕對誤差 .相對誤差為相對誤差為 測得電流測得電流 I = 6安安, 相對誤差為相對誤差為 0.5 ,= 0.032 ( 歐歐 )= 0.8 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 求用歐姆求用歐姆內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分定義微分定義:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關(guān)系重要關(guān)系:)( o函數(shù)可導函數(shù)可導函數(shù)可微函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 3. 微分應用微分應用 近似計算近似計算 估計誤差估計誤差 z yyxf

14、xyxfyx ),(),( ),(yyxxf yyxfxyxfyx ),(),( 絕對誤差絕對誤差相對誤差相對誤差 ),(yxfyyxxzyxfyxf),(),( yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 思考與練習思考與練習函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在在),(00yx可微的充分條件是可微的充分條件是( );),(),()(00連連續(xù)續(xù)在在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在在 的某鄰域內(nèi)存在的某鄰域內(nèi)存在 ;yyxfxyxfzCyx ),(),()( 0)()(22 yx 當當時是無窮小

15、量時是無窮小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx 0)()(22 yx 當當時是無窮小量時是無窮小量 .1. 選擇題選擇題D機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0( 2. 設(shè)設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf .d)0 , 0 , 0(f求求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,( 0cos3)0 , 0 , 0( xxxfx41 利用輪換對稱性利用輪換對稱性 , 可得可得41)0 , 0 ,

16、 0()0 , 0 , 0( zyff)dd(d41zyx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 ( L. P245 例例2 )注意注意: x , y , z 具有具有 輪換對稱性輪換對稱性 .d,arctanzyxyxz求求 答案答案: 22dddyxyxxyz 3. 知第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 在點在點 (0,0) 可微可微 .備用題備用題在點在點 (0,0) 連續(xù)且偏導數(shù)存在連續(xù)且偏導數(shù)存在,續(xù)續(xù),),(yxf而而 ),(yxf)0 , 0(),(,1sin22 yxyxyx)0 , 0(),(, 0 yx證證: 1) 因因221sinyxxy 0),(

17、lim00 yxfyx)0 , 0(f故函數(shù)在點故函數(shù)在點 (0, 0) 連續(xù)連續(xù) ; 但偏導數(shù)在點但偏導數(shù)在點 (0,0) 不連不連 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 證明函數(shù)證明函數(shù)xy 222yx 所以所以),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(時時當當 yx,)0 , 0(),(時時趨趨于于沿沿射射線線當當點點xyyxP ,0)0 ,( xf;0)0 , 0( xf. 0)0 , 0( yf同理同理y221sinyx 3222)(yxyx 221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx極限不存在極限不存在 ,),(yxfx在點在點(0,0)不連續(xù)不連續(xù) ;同理同理 ,),(yxfy在點在點(0,0)也不連續(xù)也不連續(xù).xx(lim0