1.2-極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限ppt課件

1、第五節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限一、極限存在準(zhǔn)則二、兩個重要極限三、小結(jié) 思考題一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒恒有有時時當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時成立上兩式同時成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限注意注意: :.,的的極極限限是是容容易易求求的的與與并并且且與與鍵鍵是是構(gòu)構(gòu)造造出出利利用用夾夾

2、逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則求求極極限限關(guān)關(guān)nnnnzyzy原則原則 I 和準(zhǔn)則和準(zhǔn)則 I稱為夾逼準(zhǔn)則稱為夾逼準(zhǔn)則.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn例例2 證明：證明：).0(1limaann,1nnxa,1)1 (nnnnxxa證證 當(dāng)當(dāng)a=1時，結(jié)論顯然成立時，結(jié)論顯然成立.先設(shè)先設(shè)a1,令令那么那么 xn0, 由貝努利不等式由貝努利不等式,有有從而有從而有,1111naxann由夾逼準(zhǔn)則

3、知由夾逼準(zhǔn)則知1limnna成立成立.當(dāng)當(dāng)0a0,結(jié)論成立結(jié)論成立.例例3 3!lim.nnnn求解解!1 2110,1lim0,!lim=0.nnnnnnnnn nnnnnnn 因而所以x1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾何解釋幾何解釋:AM不等式為嚴(yán)格不等式時不等式為嚴(yán)格不等式時,稱為嚴(yán)格單調(diào)稱為嚴(yán)格單調(diào)可利用確界存在定理可利用確界存在定理證明證明例例4 4.)(333的極限存在式重根證明數(shù)列nxn證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單

4、調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx柯西收斂準(zhǔn)則柯西收斂準(zhǔn)則時，都有使得當(dāng)NmnN, 0, 0.|mnxx，都有的自然數(shù)時，對一切使得當(dāng)pNnN, 0, 0或者等價地，數(shù)列或者等價地，數(shù)列xn收斂的充要條件是：收斂的充要條件是：.|npnxx準(zhǔn)則準(zhǔn)則III 數(shù)列數(shù)列xn收斂的充要條件是：收斂的充要條件是：注：數(shù)列注：數(shù)列 xn 發(fā)散的充要條件是：發(fā)散的充要條

5、件是：.|, 00000000npnxxpNnN使得和自然數(shù)總存在某個正整數(shù)發(fā)散。證明設(shè)), 2 , 1(1211nnxnnx例例5.2122122121|, 1,2100000000發(fā)散所以但則有取正整數(shù)取證nnpnxNNNNxxNnNpnNAC二、兩個重要極限二、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成

6、立立上上式式對對于于 x,20時時當(dāng)當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx. 1coslim0 xx例例6 6.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 這個重要極限這個重要極限(1), 可寫成可寫成1 sinlimu0uu其中其中, u可以為函數(shù)可以為函數(shù)(無窮小量無窮小量).例例7. .sinlimxxx求解解:由于由于x. 所以

7、所以x 0.因而因而, 令令u=x , 當(dāng)當(dāng)x時時, u0, 代代入入xxxsinlimuuu)sin(lim0uuusinlim0= 1(2)exxx )11(lim定義定義ennn )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;

8、是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,1時時當(dāng)當(dāng) x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)

9、1(lim例例8 8.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例9 9.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 例例10. .1lim0 xexx求解解:= 1xexx1lim0令u=ex 1 , 則x=ln(1+u),)1ln(lim0uuu)1ln(11lim0uuu當(dāng)x0時, u0.例例11. .21limxxxx求解解:1 . 121,稱為指數(shù)底數(shù)時當(dāng)xxxx如何利用第二個重要極限呢?注意到, 若f (x)A, 則f (x)=A+, 為無窮小量. 121的形式必可寫成故底數(shù)xxx

10、xxx21lim2)2(211limxxxxxxxx211limxxxx212lim2)2(211limxxxxx1 e例例12. .)(coslim210 xxx求解解:210)(coslimxxx21cos1cos10)1(cos1 (limxxxxx210)1(cos1 (limxxx21 e三、小結(jié)三、小結(jié)1.兩個準(zhǔn)則兩個準(zhǔn)則2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 ；柯西收斂準(zhǔn)則；柯西收斂準(zhǔn)則; 1sinlim10 某某過過程程.)1(lim210e 某過程某過程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 思考題思考題求極限求極限 xxxx193lim

11、 思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e._3cotlim40 xxx、一、填空題一、填空題:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習(xí)習(xí) 題題._cotlim30 xxx、arcxxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各極限二、求下列各極限:nnnn)11(lim42 、 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列,.222