高等數(shù)學(xué)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)試題及答案

1、21 .曲線Z yx 0、填空題（共21分每小題3分）1 CC繞z軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為z x2 y2 1 .x 22.直線L1 :2x-與直線L2: y 33t1 3t的夾角為2 7t3.設(shè)函數(shù) f(x,y,z) x22y23z2, Mgrad f (1,1,1)2,4,64.設(shè)級(jí)數(shù)un收斂，則lim un 0/n 5 .設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為 f（x）0, x 0則它的傅里葉級(jí)數(shù)在x 處1 x, 0 x ,收斂于 .26 .全微分方程ydx xdy 0的通解為 xy C .7 .寫出微分方程y y 2y ex的特解的形式y(tǒng)* axex二、解答題（共18分每小題6分）x 2

2、y z 3 0 -1 .求過點(diǎn)（1, 2,1）且垂直于直線>的平面萬程.x y z 2 0i j k（4分）（6分）解：設(shè)所求平面的法向量為n,則n 1211,2,3111所求平面方程為x 2y 3z 02 .將積分f （x, y,z）dv化為柱面坐標(biāo)系下的三次積分，其中 是曲面z 2 (x2 y2)及z <x2 y2所圍成的區(qū)域.解： ：r z 2 r2, 0 r 1, 02(3 分)212 r2f (x, y, z)dv 0 d 0rdr r f (rcos ,rsin ,z)dz (6 分)3.計(jì)算二重積分(x2 eD2y dxdy ,其中閉區(qū)域D :4.三、解答題(共1.設(shè)

3、z解:exy(2x2r rdr35分2 r22、0e d( r )每題7分)ev2yy3)dx2x uevvue xexy(2y2.函數(shù)z z(x, y)由方程ez xyzy exy(2xexy(2y x30所確定,xy2)dy2 2de0x2y2xyy3)(3分)(6分)(7分)(1 e4)(2分)解：令 F(x, y,z) ez xyz,則Fxyz,Fy xz,Fzxy,(5分)FxFzyzez xy'FyFzxzez xy(7分)3.計(jì)算曲線積分ydx xdy ,其中L是在圓周y V2x x2上由A(2,0)到點(diǎn)O(0,0)的有(5分)(7分)向弧段.解：添加有向輔助線段OA,有

4、向輔助線段OA與有向弧段OA圍成的閉區(qū)域記為D,根據(jù)格林公式L ydx xdy 2dxdy 0A ydx xdyD2024.設(shè)曲線積分Lex f(x)ydx f(x)dy與路徑無關(guān)，其中f (x)是連續(xù)可微函數(shù)且滿足f(0) 1,P Q 一 、，解：由工、得 exf (x) f (x),y x即 f (x) f (x) ex(3 分)所以 f(x) e ( 1)dx( ex e dxdx C) ex(x C),(6分)代入初始條件，解得C 1,所以f(x) ex(x 1).(7分)5.判斷級(jí)數(shù)（nL的斂散性.n i（2n）!Un i (n 1)!2(n!)2解： 因?yàn)?lim lim n un

5、 n (2n 2)!(2n)!(n 1)21lim1n (2n 2)( 2n 1)4故該級(jí)數(shù)收斂.（3分）（6分）（7分）四、（7分）計(jì)算曲面積分xdydz ydzdx zdxdy ,其中 是上半球面z # x2 y2的上側(cè).解：添加輔助曲面 1 : z 0,x2 y2 1,取下側(cè)，則在由1和 所圍成的空間閉區(qū)域 上應(yīng)用 高斯公式得xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy 1xdydz ydzdx zdxdy （4 分）13 dv 0(6分)32(7分)五、（6分）在半徑為R的圓的內(nèi)接三角形中，求其面積為最大的三角形.解：設(shè)三角形各邊所對(duì)圓心角分別為x, y,z,

6、則 x y z 2 ,sin z),1 _ 2 ,.且面積為A R (sin x sin y2(3分)令 F sin x sin y sin z (x y z 2 )Fx cosx x由 Fy cosyFz coszx y z 23時(shí)，其邊長為2)3R 、，3R.2角形時(shí)其面積最大.000由于實(shí)際問題存在最大值且駐點(diǎn)唯八一2，(4分)得xy z w .此,故當(dāng)內(nèi)接三角形為等邊三(6分)n六、(8分)求級(jí)數(shù) x-的收斂域,n 1 n并求其和函數(shù).解： R lim JanL lim "J! 1 ,故收斂半徑為R 1 .nan 1 n n當(dāng)x 1時(shí)，根據(jù)萊布尼茨判別法，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)x 1時(shí)

7、，級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散.故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,1).（2分）（5分）設(shè)和為S(x),即S(x)nx,求導(dǎo)得n 1 nS（x） xn 1n 1（6分）x再積分得 S（x） ° S （x）dx011-dxxln（1 x）, （ 1 x 1）（8分）（2分）（3分）七、(5分)設(shè)函數(shù)f(x)在正實(shí)軸上連續(xù)，且等式xyxyf(t)dt y f(t)dt x f(t)dt111對(duì)任何x 0, y 。成立.如果f(1) 3,求f(x).解：等式兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得xxf(xy) 1f(t)dt xf(y)上式對(duì)任何x 0, y 0仍成立.令y 1,且因f(1) 3,故有xxf (x) f (t)dt

8、 3x.1由于上式右邊可導(dǎo)，所以左邊也可導(dǎo).兩邊求導(dǎo)，得3xf (x) f(x) f(x) 3 即 f (x) (x 0). x2x(5分)故通解為f(x) 3lnx C .當(dāng)x 1 時(shí)，f(1) 3,故 C 3.因此所求的函數(shù)為f (x) 3(ln x 1).A. (5分)已知 y1xex e2x, y2xex ex, y3 xex是某二階線性非齊次微分方程的三個(gè)解，求此微分方程.解1：由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理知e2x與e x是對(duì)應(yīng)齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解，xex是非齊次方程的一個(gè)特解，故可設(shè)此方程為y y 2y f (x)將y xex代入上式，得f(x) ex 2xex,因此所求的微分

9、方程為y y 2y ex 2xex解2：由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理知 e2x與e x是對(duì)應(yīng)齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解，xex是非齊次方程的一個(gè)特解，故y xex C1e2x C2e x是所 求微分方程的通解，從而有x x oc _2x c - xy e xe2cleC2e ,x x2xxy 2e xe 4cleC2e消去C1,C2,得所求的微分方程為y y 2y ex 2xex06高數(shù)B一、填空題(共30分每小題3分)1 . xoy坐標(biāo)面上的雙曲線4x2 9y2 36繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為4x2 9( y2 z2) 36.2.設(shè)函數(shù) f (x, y,z) 2xyz z2,則gra

10、d f(1,0, 1) (2, 1, 2).x 2 y 43.直線 L1 :1 25x工與直線L2: y 33t1 3t的夾角為一.2z 2 7tf (x, y, z)dv化為柱面4 .設(shè) 是曲面z J'2 x2 y2及z Jx2 y2所圍成的區(qū)域積分，則212 r2坐標(biāo)系下的三次積分形式是d rdr f(r cos ,rsin ,z)dz .00 rydx xdy5 .設(shè)L是圓周y <2x x2 ,取正向，則曲線積分(1)n 1xn 一， 一，6 .幕級(jí)數(shù)一的收斂半徑 R 1n 1 n7 .設(shè)級(jí)數(shù) un收斂，則lim un08.設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為f(x)0,x,

11、0則它的傅里葉級(jí)數(shù)在x處收斂于一29.全微分方程xdxydy 0的通解為 xy10.寫出微分方程yy 2y ex的特解的形式y(tǒng)x axe、解答題(共42分每小題6分)1.求過點(diǎn)(1,2,1)且垂直于直線y2y0 ， 、巾的平面萬程.0解：設(shè)所求平面的法向量為n ,1,2,3(4分)所求平面方程為x 2y3z(2分)2.函數(shù) z z(x, y)由方程 sin(x 2y3z) x2y 3z所確定,解：令 F(x, y,z) sin(x 2y 3z)x 2y 3z,(2分)則 Fx cos(x 2y 3z) 1,Fz3cos(x 2y 3z) 3.(2 分)*（2分）FxFz1 cos（x 2y 3

12、z）3 3cos（x 2 y 3z）3.計(jì)算D其中D是由直線y1, x 2及 yx所圍成的閉區(qū)域.解法一:原式21x212y2xxydydxXdx9312（7x.）dx 2解法二:4.計(jì)算（2分）原式18.（4分）22xydxdy1 yy2。281 一 、1.（同上類似分）8'1 x2 y2dxdy ,其中 D 是由 xy21即坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.解：選極坐標(biāo)系原式02d0+'"力（3分）5.計(jì)算（y2z2）dxz t3上由t10到t2解：原式10Kt4t6）2）2yzdy6.判斷級(jí)數(shù)n0”1 r2d（1x2dz,其中1的一段弧.2t5（3t62t4）

13、dt1 2n解：因?yàn)閘im u n Unlimn（2n_2_22t t2 3t2dt3 72 5 13t7 -t50751） 2n 12n 12nr2）6是曲線x135（3分）t, y t2,（3分）（3分）（3分）（2分）（1分）7.求微分方程y 3y 4y 0滿足初始條件y Y 0 0, y 丫 05的特解.x 0x 0解：特征方程r2 3r 4 0,特征根r1 4, r21通解為 y C1e4x C2e x,（3 分）y 4cle4x C2e x,代入初始條件得Ci 1, C2 1 ,所以中e解ye4x e x .（3分）二、（8分）計(jì)算曲面積分xdydz ydzdx zdxdy,其中是

14、上半球面z <1 x2 y2的上側(cè).故該級(jí)數(shù)收斂.解：添加輔助曲面1 ：z 0,x2 y2 1,取下側(cè)，則在由1和 所圍成的空間閉區(qū)域 上應(yīng)用高斯公式得xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdy (4 分)13 dv 0(2 分)1 4313 2(2 分)四、（8分）設(shè)曲線積分Lyf（x）dx 2xf（x）x2dy在右半平面（x 0）內(nèi)與路徑無關(guān)，其中f（x）可導(dǎo)，且滿足f（1） 1,求f（x）.、 P PQ.解：由 ,得 f (x) 2f (x) 2xf (x) 2x,y xr1，、/即 f(x) f(x) 1, 2xdx

15、dx所以 f(x) e 2x ( e 2x dx C)(3分)1113x 2( x2dx C) x 2(2x2 3C),(3分)1.21代入初始條件，解得C 二所以f(x) X .(2分)333.x五、(6分)求函數(shù)f(x, y) x3 y3 3xy的極值.2fx(x, y) 3x 3y 0解：9fy(x,y) 3y2 3x 0得駐點(diǎn)(0,0), (1,1)(3 分)fxx(x, y) 6x, fxy(x,y)3, fyy(x,y) 6y在點(diǎn)(0,0)處，B2 AC 9 0,故f (0,0)非極值；在點(diǎn)(1,1)處，B2 AC 27 0,故f(1,1)1是極小化(3分)六、(6分)試證：曲面z

16、 xf(y)上任一點(diǎn)處的切平面都過原點(diǎn). x證：因二fd) 、f ('),/ xf d)1 f d)(3 分)x x x x y x x x則取任意點(diǎn)M 0(x0, y0, z0),有z0x0f(%),得切平面方程為x0Z x0f(y0) f(y0)% f (瑪(x x。)f (血)(y y。)x0x0x0x0x0即f (%)10 f (%)x f (%)y z 0x0x0x0x0故切平面過原點(diǎn).(3分)07A一、 填空題(每小題3分，共21分)1 .設(shè)向量a 2,3,1, b , 1,5,已知a與b垂直，則12 .設(shè) a3, b 2,(a,b)一,貝U a b6323.1繞z軸旋轉(zhuǎn)一

17、周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為yoz坐標(biāo)面上的曲線y a222x yz12,21abx4.過點(diǎn)(2,4,0)且與直線y2z 1 0垂直的平面方程2x 3y z 8 03z 2 0 5.二元函數(shù) z Jxln(x y)的定義域?yàn)?D (x,yx 0,x y 0222 .6 .函數(shù) f (x, y, z) ln(x y z ),則 gradf (1,0,1)1,0,17 .設(shè) zexy,則 dzexy (ydx xdy)8 .設(shè)u xf(x,Y), f具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則一ufxf1 y f2xx x9 .曲線x t, y t2,z t3上點(diǎn)(1,1,1)處的切向量T 1,2,31y1110 .交換積分順序

18、：0dy0 f(x, y)dx 0dxxf (x, y)dy11 .閉區(qū)域 由曲面z2x2y2及平面z 1所圍成，將三重積分 f (x, y, z)dv化為柱面211坐標(biāo)系下的三次積分為0 d 0 rdr r f (r cos , r sin , z)dz22212.設(shè)L為下半圓周y <1 x ,則L(x y )ds(x2 4x)dy 18x 0則它的傅里葉級(jí)數(shù)在0 x-. 2213 .設(shè)L為取正向圓周x y 9,則屋(2xy 2y)dx014 .設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為f(x)xx 處收斂于 一215 .若lim Un0,則級(jí)數(shù)Un的斂散性是發(fā)散n16.級(jí)數(shù)2nn!的斂散性是收

19、斂17 .設(shè)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)un ,已知 un收斂，則 un的斂散T牛是絕對(duì)收斂n 1n 1n 118 .微分方程xy 2(y )3 5xy 0是上一階微分方程19 .微分方程y 4y 4y 0的通解yC1e 2x C2xe2x20 .微分方程y 3y 2y xe2x的特解形式為 x(ax b)e2x二、(共5分)2x設(shè)z u In v,u ” xy ,求 yx y解:zv1一 2u In v 一 v xyzz uyu y、(共5分)一 2u In v ( v y22-y 當(dāng)2ln(xy) 1v y22x、ux r)x 2ln(xy)yvy1設(shè)x 2y z 2 xyz0,求22解：令 F(x, y,

20、 z) x 2y z 2v1'xyzF_xyz_yz F_xyz_xyx , xyz z , xyzzFxyz_xyzxFz. xyz xy四、(共5分)計(jì)算xdxdydz,其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面xyz1所圍成的閉區(qū)域解:0 x 1,0y 1 x, 0 z 1 x yxdxdydz0 dx1 x 1 x y0 dy 0 xdz11 x0dx 0 x(1 x y)dy1121 1231x(1 x) dx (x 2x x )dx022 024五、(共6分)計(jì)算 L(exsin yy)dx (ex cosy 1)dy ,其中L為由點(diǎn)A(a,0)到點(diǎn)O(0,0)的上半圓周22x y ax解：添

21、加有向輔助線段OA,則有向輔助線段OA和有向弧段OA圍成閉區(qū)域記為D,根據(jù)格林 公式L(exsiny y)dx (excosy 1)dydxdyDxx(e sin y y)dx (e cosy 1)dyOA13a8六、(共6分)求幕級(jí)數(shù)(x 3)nnn 1 n3解：對(duì)絕對(duì)值級(jí)數(shù),limnUn 1Un的收斂域用比值判斂法lim n1 n1limx 3 - xn 3n 13,1-當(dāng)x 3 1時(shí)，即0 x 6,原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂31 一一、一當(dāng)-x 3 1時(shí)，即x 0或x 6,原級(jí)數(shù)發(fā)散3(1)n當(dāng)x 0時(shí)，根據(jù)萊布尼茲判別法,級(jí)數(shù)(收斂n 1 n1 當(dāng)x 6時(shí)，級(jí)數(shù) 1發(fā)散，故收斂域?yàn)?,6)n 1

22、n七、(共5分)計(jì)算 z2dxdy,其中 為球面x2 y2 z2 1在第一卦限的外側(cè)22解：在xoy面的投影Dxy ： x y 1,x 0, y 0z2dxdy22二 一1.2.1(1 x y )dxdy02 d 0(1 r )rdrDxy002 48八、(共7分)1 .設(shè) f (1) 0,求 f (x)使ln x 1f (x)ydx xf(x)dy為某二元函數(shù)u(x, y)的全微分，并求u(x,y)“ r P解：由 yq一 1 1一，行 In x - f (x) f (x)，即 f (x) - f (x) In x xxx1dx所以 f (x) e x (1dx1In xe x C) x(

23、In x dx C) x1, 2 一、 x(- In x C)1,帶入初始條件，解得C 0,所以f (x) 1xln2x(x，y)1212,u(x,y) (0,0)(In x 21n x)ydx -xln xdyxy120 xln xdyo o 207高數(shù)B一、(共60分每題3分)1 .設(shè)向量 a 6, 2, 4 , b 222 . yoz坐標(biāo)面上的曲線yY J a c1xy1n2x 2得分1, 2,已知a與b平行，則 3.1繞z軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為2 y-2 ab21.r r 廠3. 設(shè) a 2, b 1,(a,b),則 a b 可3 .3一一，x 2y 4 0 一、4.設(shè)一平面經(jīng)

24、過點(diǎn)(1, 1, 1),且與直線垂直，則此平面方程為2x y 3z 0 .3y z 05. 二元函數(shù) z 1n %；y2 2x 1 的定義域?yàn)?x,y)|y2 2x 1 0 .6. 設(shè) zexy,則 dz exy (ydx xdy).7. 函數(shù) f(x,y,z) 1n(x2 y2 z2),則 grad f (1,0,1)(1, 0,1)8.xf(x,X), f具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 - f xf 1 工f2xxx9 .曲面x2y2 z2 1在點(diǎn)(1,0, 2)處的法向量n 2,0, 4 .1 x1110 .交換積分順序：Qdx o f (x, y)dy °dy f(x, y)dx.11 .

25、閉區(qū)域 由曲面z x2y2及平面z 1所圍成，將三重積f (x, y,z)dv化為柱面坐標(biāo)系下的三次、211積分為 d rdr 2 f (r cos ,r sin ,z)dz . 00r212 .設(shè)是閉區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，V是的體積，則o xdydx ydzdx zdxdy=3V .13 .設(shè)L為上半圓周y J1 x2 ,則L(x2 y2)ds14.設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為f (x)0,x, 0 x則它的傅里葉級(jí)數(shù)在X 處收斂15.16.若lim Un 0 ,則級(jí)數(shù) Un的斂散性是 發(fā)散nn 1n級(jí)數(shù) 4的斂散性是收斂.n 1 5n n!17.級(jí)數(shù)誓的斂散性是收斂.n 1 n18

26、.微分方程x2y 5(y )46y 0是二階微分方程.19.微分方程y 2y y0的通解為ex(C1 C2x)20.微分方程y 5y6y 3xe2x的特解的形式 y(ax2 bx)e2x三、(共5分)得分函數(shù)z z(x, y)由方程z2 4z解：令 F (x, y,z)x2y2z24z,(1則Fxx2x,Fz2z 4,(2分)FxFz(2分)五、(共6分)得分計(jì)算曲線積分L(x222y)dx (x sin y)dy其中L為由點(diǎn)A(2,0)到點(diǎn)0(0,0)的上半圓周解:添加有向輔助線段OA ,它與上半圓周圍成的閉區(qū)域記為 D ,根據(jù)格林公式2_L(x 2y)dx,. 2、1(x sin y)dy

27、(1 2) dxdy/ 22(x 2y)dx (x sin y)dyOA(3分)dxdyD2x2dx o1223(3分)七、(共6分)得分設(shè) f(1) 0,確定 f(x)使sinxf (x) -dxxf(x)dy為某二元函數(shù)u(x,y)的全微分.P Q sin x f (x)解：由 ，得-f (x),y xx1sin x即 f (x) - f (x)xx1 ,.1 ,_dxdx所以 f (x) e x ( 3 e x dx C)xlnx sin x lnx e ( e dx C)x(2分)(2分)1 ,7(cosx C), x(1分)代入初始條件，解得C cos1,所以f(x)1 (cos1

28、cosx). x(1分)八、(共6分)得分計(jì)算 z2dxdy ,其中 是球面x2 y2 z2 1外側(cè)在x 0, y 0的部分.(2分)(2分)分)解： zdxdy zdxdy dxdy1 22 222(1 x y )dxdy ( 1) (1 x y )dxdyDxyD xy_222 (1 x y )dxdyDxy一 12 2d(1 r2) rdr (20o4、08高數(shù)A一、選擇題(共24分每小題3分)1.設(shè)%m1,n1，p1 , Si m2,n2,P2分別為直線L1，L2的方向向量，則L1與L2垂直的充要條件是(A )(A) mm2 nQPi P20 (B)m1 上 -p- (C)m1m2 m

29、 m2 n2P2Pl P2(D)m1nPi. 1m2n2P22. Yoz平面上曲線z y21繞z軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為(A)zy2 1(B) zy2 x2 (C) z y2 x2 1(D)3.二元函數(shù)z2x 1的定義域?yàn)?（B）(A)(x, y) I y22x 0(B) (x, y)|y2 2x 1(C) (x,y) 1 y22x 10 (D) (x, y) | x 0,y4.交換積分順序:0dy 0 f (x, y)dx11(A) dx f(x, y)dy (B) 0 x1 一dyyf(x, y)dx ( C)10dyf (x,y)dx(D)1 xdx0 1f(x,y)dy5.空間閉

30、區(qū)域 由曲面r 1所圍成，則三重積分2dv =(A) 2(B) 24(D) 436.函數(shù)z(x, y)由方程x2 y4z 0所確定，則(A)六（B）六(C)(D)n7幕級(jí)數(shù)n1%的收斂域是(A)3,3(B) 0,3(C)3,3(D)3,38.已知微分方程y y 2yex的一個(gè)特解為y則它的通解是(A) C1x C2x2xex (B) CexC2e2x xex (C) C1x C2x2ex (D) gexC2ex xxe、填空題（共15分每小題3分）1.曲面x2 y2z在點(diǎn)（1,0,1）處的切在面的方程是2x z 12.若lim un0 ,則級(jí)數(shù) un的斂散性是nn 13.級(jí)數(shù)誓的斂散性是絕對(duì)收

31、斂. n 1 n4 .二元函數(shù)f（x, y） （x2 y2）sin 口，當(dāng)x,y 0,0時(shí)的極限等于 0 x5 .全微分方程ydx xdy 0的通解為 xy C:三、解答題（共54分每小題6分）x y z 1 02x y 3z 4 01.用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線x y z i 02x y 3z 4 0解：因所求直線與兩平面的法向量都垂直，于是該直線的方向向量為1 j ks 1 1 1 4, 1, 3（4 分）2 1 3在直線上找出一點(diǎn)，例如，取xO 1代入題設(shè)方程組得直線上一點(diǎn)1,0, 2（5 分）故題設(shè)直線的對(duì)稱式方程為2。（6 分）413參數(shù)方程為x 1 4ty t（7 分）z 2

32、3t4.計(jì)算三重積分.x2 y2dv,其中 是平面z 2及曲面z Jx2 y2所圍成的區(qū)域（提示：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算）.解：r z 2,2, 0（3分）22x y dv2rdr02rdz r（6分）5.計(jì)算曲線積分L83ydx（7分）2xdy,其中L是在圓周y <2x x2上由A（2,0）到點(diǎn)0（0,0）的有向弧段.解法1:添加有向輔助線段OA,有向輔助線段OA與有向弧段AO圍成的閉區(qū)域記為D ,根據(jù)格林公 （2分）l ydx 2xdy3dxdy ydx 2xdyD（4分）（6分）解法2:直接求曲線積分6.求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積。解法1:設(shè)長方體的長、寬、高分別為x,y,

33、z,則題設(shè)問題歸結(jié)為約束條件2(x, y,z) 2xy 2yz 2xz a 0下，求函數(shù)V xyz (x,y,z均大于0)的最大值。(2分)作拉格朗日函數(shù)L(x, y,z, ) xyz (2xy 2yz 2xz a2)(4 分)由方程組Lxyz2 (yz)0Lyxz2 (xz)0(5 分)Lzxy2 (yx)0進(jìn)而解得唯一可能的極值點(diǎn)6axyz 6由問題的本身意義知，該點(diǎn)就是所求的最大值點(diǎn)。故該問題的最大體積為V -a3(6 分)36解法2:從條件中解出z代入目標(biāo)函數(shù)中，再用無條件極值的辦法求解。7.計(jì)算 x y zds,其中為平面y z 4被柱面x2 y2 16所截的部分。解：積分曲面的方程

34、為z 4 y,它在xoy面上的投影為閉區(qū)域Dxy x, y x2 y2 16（2 分）又1 z2 z22所以x y z ds= x y 4 y 42dxdy（4 分）Dxy=24 x dxdy =、2 ° d 0 4 r cos rdr（5 分）2 4dxdy4 16 V264 2D xyDxy64 2（6分）8.將函數(shù)f（x）,x （ x1,1)展開成x的幕級(jí)數(shù)。解法1：因?yàn)椋?分）而又x （ 1,1）（4分）11 x逐項(xiàng)求導(dǎo)，得2x3x2n 1 nxx （1,1）（6分）解法2:直接求展開式的系數(shù)，然后根據(jù)余項(xiàng)是否趨近于零確定收斂域。9.求微分方程y,' 21 y 的通解

35、。解：令y' u則原方程變?yōu)? u2（2分）分離變量后積分得arctanu x c1（4分）則,y tan xC1（5分）故原方程的通解為ln cos x c1C2（6分）四、證明題(7分)證明：若函f（x,y）在Rab2上連續(xù)，R a1x, a2yf （x, y）dxdyR證：已知f (x, y)在R連續(xù),R,設(shè)F（ , ） f（x,y）dxdyRa1 dx a2 f O' y）dy（3分）因?yàn)?x)a2Ff(x, y)dy在a1，連續(xù)，所以，有a2 fLy）dy（5分）又因?yàn)閒( ,y)在a2,b2上連續(xù)，所以有2Ff(,)2即 f（x,y）dxdy f（ , ）（7分）R

36、08高數(shù)B一、選擇題（共24分每小題3分）1.設(shè)兩平面的法向量分別是nai ,bi,Ci , nia2,b2,C2 ，則這兩平面垂直的充要條件是(C )(A) a1a2 b1b2 c1c2 1（B）Ibcb2c2(C) a1a2b1b2 GC20(D)曳a2b1C1d 1b2C22 . Yoz平面上曲線z y2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為(B )(A)zy21(B)zy2x2(C)zy2x21( D)zy2x3 .二元函數(shù)z x-y 、反的定義域?yàn)?A)(A) (x, y)|y Vx,x 0(B) (x, y) | x 1 0(C) (x, y)|y2 x (D)(x, y) | x 0

37、,y 0114 .交換積分順序：dx f (x, y)dy =(B )0 x111 y(A)0dy yf(x, y)dx(B)0 dy 0 f (x, y)dx/、1 y,、1 x(C)0dy 1f(x, y)dx( D)0dx 1f (x, y)dy5 .空間閉區(qū)域由曲面r 1所圍成，則三重積分3dv=( D )(A) 3(B) 2(C) 4(D) 436.函數(shù)z z(x, y)由方程x2y2z2 4z 0所確定，則 =(A )(B)y(A)(C) A(D) 42 z2 zn7 .幕級(jí)數(shù)二的收斂域是(D )n i n5(A)5,5(B) 0,5(C)5,5(D)5,58 .已知微分方程y y 2y ex的一個(gè)特解為y* xex ,則它的通解是(A)(A)C1exC2e 2xxex(B)C1xC2x2xex(C)C1xC2x2ex(D)C1exC2exxex二、填空題(共15分每小題3分)1 .曲面x2 y2 z在點(diǎn)(0,1,1)處的切平面的方程是2Y z 1 0 .2 .若級(jí)數(shù) un的斂散性，則數(shù)列Un當(dāng)n時(shí)的極限是 0n 123 .級(jí)數(shù)叫1的斂散性是收斂. n 1 n4.二元函數(shù) f(x,y) (x221y