線性代數(shù)期末考試試題(卷)+答案

1、XXX大學(xué)線性代數(shù)期末考試題.下載可編輯填空題（將正確答案填在題中橫線上。每小題 2分，共10分）1311.若 05 x 0,則1222.若齊次線性方程組x1 x2 x30x1x2 x3 0只有零解，則x1 x2 x30應(yīng)滿足3 .已知矩陣A, B, C （Cj）sn,滿足AC CB,則A與B分別是階矩陣。a114 .矩陣A a21a12a22的行向量組線性a31 a 325 . n階方陣A滿足A2 3A E 0 ,則A 1 。判斷正誤（正確的在括號內(nèi)填，錯誤的在括號內(nèi)填“X” 。每小題2分，共10分）1 .若行列式D中每個元素都大于零，則 D 0。（）2 .零向量一定可以表示成任意一組向量的

2、線性組合。（）4.3 .向量組a1,a2,am中，如果a1與am對應(yīng)的分量成比例，則向量組a1,a2,as線性相關(guān)。，則A 15.為可逆矩陣A的特征值，則A 1的特征值為2分，共10分）單項選擇題（每小題僅有一個正確答案，將正確答案題號填入括號內(nèi)。每小題1 .設(shè)A為n階矩陣，且A 2,則|AAT（）。2n 2n 12n 142 . n維向量組1,2, s（3 s n）線性無關(guān)的充要條件是（ 1,2,s中任意兩個向量都線性無關(guān) 1,2,s中存在一個向量不能用其余向量線性表示，s 1,2,s中任一個向量都不能用其余向量線性表示 1,2,s中不含零向量,s3.卜列命題中正確的是（）任意n個n任意n個

3、n任意n 1個任意n 1個1維向量線性相關(guān)1維向量線性無關(guān)n維向量線性相關(guān)n維向量線性無關(guān)4.設(shè)A,B均為n階方陣，下面結(jié)論正確的是 （）A, AB均可逆，則A B可逆B可逆，則 A B可逆若A,若AB均可逆，則B可逆，則 A,A B可逆B均可逆5.1，2,0的基礎(chǔ)解系，則0的（）解向量通解A的行向量(x每小題9分，共63分)x abcdax bcdabx cdabcx3,基礎(chǔ)解系2四、計算題(1.計算行列式Od4是線性方程組Ac d)(xd)(x3c d)x3 0 12.設(shè) AB A 2B ,且 A 1 1 0求Bo解.(A 2E)B A21_(A 2E)2115_121 , B (A 2E

4、) A 4.下載可編輯110021343.設(shè)B001101, C0223且矩陣滿足關(guān)系式X（CB）'E，求000100024.問a取何值時，下列向量組線性相關(guān)?1212 aX1 X2 X35.為何值時，線性方程組x1x2 x3X1 X2X332 有唯一解，無解和有無窮多解？當(dāng)方程組有無窮多2解時求其通解。當(dāng) 1且2時，方程組有唯一解;當(dāng)2時方程組無解當(dāng)1時，有無窮多組解，通解為121、兒4906.僅 1，2-，3-113031量用該極大無關(guān)組線性表示。310.求此向量組的秩和一個極大無關(guān)組，并將其余向777.設(shè)A1 0 00 1 0 ,求A的特征值及對應(yīng)的特征向量。0 2 1五、證明題

5、（7分）若A是n階方陣，且AA I, A1,證明 A I0。其中I為單位矩陣。XXX大學(xué)線性代數(shù)期末考試題答案一、填空題1. 52.15. A 3E二、判斷正誤1.X2. V三、單項選擇題1.2.四、計算題1.3. s s , n n4.相關(guān)3. V3.4.v4.5. X5.2.(x(A3.4.a1,關(guān)。2E)Ba2,5.當(dāng)當(dāng)d)(A2E) 1(xd)(xc d)x3a3(A2E)1A1212，(C)B)2時,2時方程組無解12128(2a方程組有唯一解;1)2(2a 2)當(dāng) a1 一或a21時,向量組a1,a2,a3線性相.下載可編輯.當(dāng)1時，有無窮多組解，通解為2110ci 1C2 000

6、16.a2,121312131213490100142014211370341000161603170317001313a3, a4).下載可編輯1 0 020 10 20 0 110 0 0 0則 r a1,a2, a3,a43 ,其中a1，a2, a3構(gòu)成極大無關(guān)組,a42a12 a2 a37.1003010(1)0021特征值131 ,對于入 1 = 1 ,1E A00010000,特征向量為k 0 l 002 001五、證明題AI A AA Al A I A2 I A 0,一、選擇題(本題共4小題，每小題4分，滿分16分。每小題給出的四個選項中，只有一 項符合題目要求)1、設(shè)A, B為

7、n階方陣，滿足等式AB 0,則必有()(A) A 0或 B 0; (B) A B 0;(0 A 0或 B 0; (D) A B 0。2、A和B均為n階矩陣，且(A B)2 A2 2AB B2 ,則必有()(A) A E；(B) B E ;(C)A B. (D) AB BA。3、設(shè)A為m n矩陣，齊次方程組Ax 0僅有零解的充要條件是()(A) A的列向量線性無關(guān)；(B)A的列向量線性相關(guān)；(C) A的行向量線性無關(guān)；(D)A的行向量線性相關(guān).4、 n階矩陣A為奇異矩陣的充要條件是()(A) A的秩小于 n；(B)|A 0;(C) A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；二、填空題(本題

8、共4小題，每題4分，滿分16分)5、若4階矩陣A的行列式|A5, A是A的伴隨矩陣，則A =6、A為n n階矩陣，且A2 A 2E 0 ,則(A 2E)1 217、已知方程組 2 3a 2XiX2X313無解，則a4次型 f(X1,X2,X3) 2x23xf tXs 2X1X2 2X1X3是正定的，則t的取 值范圍三、計算題(本題共2小題，每題8分，滿分16分)9、計算行列式D10、計算n階行列式XnXnMXn3X1 3 x2 LX1x2 3 LM Mx1x2 L四、證明題(本題共2小題，每小題8分，滿分16分。寫出證明過程)11、若向量組1, 2, 3線性相關(guān)，向量組2, 3, 4線性無關(guān)。

9、證明：(1)1能有2, 3線性表出；4不能由1, 2, 3線性表出12、設(shè)A是n階矩方陣，E是n階單位矩陣，A E可逆，且f(A) (E A)(E A)證明(1) (E f(A)(E A) 2E；(2) f(f(A) A五、解答題(本題共3小題，每小題12分，滿分32分。解答應(yīng)寫出文字說明或演算步驟)2 0 013、設(shè)A 0 3 2,求一個正交矩陣P使得P 1AP為對角矩陣。14、已知方程組x1 x2 x1 2x2 x1 4x2x3ax32a x300與方程組x1 2x2 x3 a 1有公共解0求a的值15、設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知1, 2, 3是它的三個解向量,且213

10、214 '23354求該方程組的通解。解答和評分標準一、選擇題1、C; 2、D; 3、A; 4、A。二、填空題5、-125;6、一；7、-1;8> t -25三、計算題9、解：第一行減第二行，第三行減第四行得:X101第二列減第一列，第四列減第三列得:按第一行展開得按第三列展開得D xy（4分）x101（4分）10、解：把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子3 ,再通過行列式的變換化為上三角形行列式Dn3n11 M1xix2x2 3MX210M0xix23M0xn%xM、3xn0M3（4分）（4分）四、證明題11、證明:、因為2,3,3線性無關(guān)，所以2 , 3線性無關(guān)。，又1

11、, 2 , 3線性相關(guān)，故1能由3線性表出。(4分）r( 1（2）、（反正法）若不，則4能由3線性表出,不妨設(shè)4 k1 1 k2卜3由（1）知，1能由3線性表出,不妨設(shè)1t12t2所以4k1 (t1 2t2k22 k3 3 ,這表明4線性相關(guān),矛盾。12、證明(1)(E f(A)(EA) E(E A)(EA) 1(E A)(E A)(E A)(EA) 1(E A)(EA) (E A) 2E(4分)(2)f(f(A) E1f(A)E f(A)由(1)得：E f (A) 1f(f(A) E (EA)(E1-(E A), 21 1A) 1-(E2代入上式得五、解答題13、解：(1)由12(EA)1A

12、) -(E A)21(E A) A 2(E1 1A)(E A) 2(E A)(4分)0得A的特征值為1,22,3 5。(4分)(2)1的特征向量為(3分)2的特征向量為5的特征向量為(3)因為特征值不相等，則1 , 2,3正交(2分)(5)(4)將1,2,3單位化得P1P2(2分)P1, P2, P301.21,201.21,2(6)P 1AP(1分)14、解:該非齊次線性方程組Ax b對應(yīng)的齊次方程組為Ax 0因 R(A)3,則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有 1個非零解構(gòu)成,即任何一個非零解都是它(5分)的基礎(chǔ)解系0另一方面，記向量2(23)，則A A(2 123) 2A 1 A 2 A 3 2

13、b直接計算得(3,4,5,6)T 0就是它的一個基礎(chǔ)解系。根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)知，原方程組的通解為32.下載可編輯4x k 1 k563,k Ro45(7分)15、解：將與聯(lián)立得非齊次線性方程組x1 x2 x1 2x2 x1 4x2 x1 2x2X3ax32a X3X30,0,0,a 1.若此非齊次線性方程組有解，則與有公共解，且的解即為所求全部公共解.對的增廣矩陣A作初等行變換得:11A111242a2 a1000a 110001100(a1a 12)(a1 a1)000a 1(4分)1° 當(dāng) a 1 時，有 r(A) r(A)3 ,方程組有解，即與有公共解，其全部公共解即

14、為的通解，此時10A0001001000000，0則方程組為齊次線性方程組，其基礎(chǔ)解系為所以與的全部公共解為0 , k為任意常數(shù).1(4分)2°當(dāng)a 2時，有r(A)r(A)3,方程組有唯一解，此時100001000010011，0故方程組的解為：1 ,即與有唯一公共解x 1 .（4分）線性代數(shù)習(xí)題和答案好東西第一部分選擇題（共28分）、單項選擇題（本大題共 14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符 合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。1.設(shè)行列式a11 a21a12a22a13a 23ana 21=n,則行列式a11a21a12a

15、13a22a23.下載可編輯A. m+nC. n - mA.13000120B.01200013C.D.1200013033.設(shè)矩陣A= 121 , A*是A的伴隨矩陣，則A*中位于（1,2）的元素是（B. - (m+n)D. m - n1 0 02.設(shè)矩陣A= o 2 0 ,則A 1等于(A. - 6B. 6C. 2D. - 24 .設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC,則必有（）A. A = 0B. B C 時 A=0C. A 0 時 B=CD. | A| 0 時 B=C5 .已知3X 4矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩（AT）等于（）A. 1B. 2D. 4C. 36 .設(shè)兩個向量組A.B

16、.C.D.有不全為有不全為有不全為有不全為.a 1,0的數(shù)入0的數(shù)入0的數(shù)入0的數(shù)入(X 2, 2,2)2,2, ,s=07 .設(shè)矩陣A的秩為r,則A中（ A.所有r - 1階子式都不為0 C.至少有一個r階子式不等于8 .設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組,A.刀1 +打2是Ax=0的一個解和 3 1, 3 2,3 s均線性相關(guān)，則（s使入1 a 1+入2a 2+入s a s=0和入i 3 1+入22+入s3 s=0s使入1 （s使入1 （a 1+ 3 1) +入2 (a 2+82) +入 s (as+3s) =0a 1-3 1)s和不全為0的數(shù)科B.所有D.所有Y 2是其任意r-B. 1 Y

17、1 + - 22+ 入 2 ( a 2- 3 2) + 入 s ( a s- 3 s) =01,(12,，s使入i(xi +入2a2+ +入sa s=0和1階子式全為0r階子式都不為02個解，則下列結(jié)論錯誤的是（ri 2是Ax=b的一個解C. Y 1- Y 2是 Ax=0 的一個解9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（A.秩（A）nC. A=0D.2 Y1 1- Y 2是 Ax=b 的一個解）B.秩（A）=n- 1D.方程組Ax=0只有零解10.設(shè)A是一個n（3）階方陣，下列陳述中正確的是（）A.如存在數(shù)入和向量a使Aa =入a ,則a是A的屬于特征值入的特征向量B.如存在數(shù)入和非零向量 a ,使（

18、入E- A）a=0,則入是A的特征值C. A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量D.如入1,入2,入3是A的3個互不相同的特征值，a 1, a 2, a 3依次是A的屬于入1,入2,入3的特征向量，則a 1, a 2, a 3有可能線性相關(guān)11.設(shè)入0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于入0的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為k,則必有（）B. k<3A. k <3C. k=3D. k312 .設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.| A|2必為 1B.|A| 必為 1C. A- 1=ATD.A的行（列）向量組是正交單位向量組13 .設(shè)A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，卜00則（）A.

19、 A與B相似B. A與B不等價C. A與B有相同的特征值D. A與B合同14 .下列矩陣中是正定矩陣的為（）B.A. 2 33 41 1 1D. 1 2 01 0 2100C. 0 2303 5第二部分非選擇題(共72分)二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分。1 1115.3569253616 .設(shè) A= 11 1 . B= 12 3 .貝UA+2B=1 1112 417 .設(shè) A=(a j) 3 x 3 ,|A|=2 , Aj表示| A|中元素 aj的代數(shù)余子式 (i,j=1,2,3),則(a 11A21+a12A

20、22 + a13A23)? + (a 211 +a22A22+a23A23)2 + (a 31A21 + a32A22+a33A23)2=18 .設(shè)向量(2, -3 , 5)與向量(-4 , 6, a)線性相關(guān)，則 a= .19 .設(shè)A是3X4矩陣，其秩為3,若"，Y 2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解20 .設(shè)A是mx n矩陣，A的秩為r(<n),則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系中含有解的個數(shù)為 21 .設(shè)向量a、3的長度依次為2和3,則向量a + 3與a - 3的內(nèi)積(a +3 , a - 3 )二.22 .設(shè)3階矩陣A的行列式| A|=8 ,已知

21、A有2個特征值-1和4,則另一特征值為.0 10 6223 .設(shè)矩陣A= 133 ,已知a = 1是它的一個特征向量，則 a所對應(yīng)的特征值為.2 10 8224 .設(shè)實二次型f(x 1,X2,X 3,X4,X5)的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為.125.設(shè) A= 3.求(1) ABT； (2)B=|4 A.三、計算題(本大題共 7小題，每小題6分，共42分)26.試計算行列式3521110513132413.427.設(shè)矩陣A= 12130 ,求矩陣B使其滿足矩陣方程 AB=A+2B.128.給定向量組a 12321民2=1303_ 0_ 1, (X 3=, (X 4=.試判斷a 4是否為

22、03a 1,民2,224419a 3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。2112,2 429.設(shè)矩陣A= 2 4 21331 0 22 660 2 33 3 4求：（1）秩（A）;（2） A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。02230.設(shè)矩陣A= 23 4的全部特征值為1, 1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D,使T24331.試用配方法化下列二次型為標準形1AT=D.f(x 1,X2,X3)=X2 2x2 3x3 4x1x2 4x1x3 4x2x3 ,并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共 2小題，每小題5分，共10分）32 .設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E- A可逆，且（E- A） -1

23、E+A+A2.33 .設(shè)Y °是非齊次線性方程組 Ax=b的一個特解，E 1, E 2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系 （1）刀1=刀0+ E 1,刀2二刀0+ E 2均是Ax=b的解；（2） Y 0, Y 1 , Y 2線性無關(guān)。.試證明答案:一、單項選擇題（本大題共14小題,每小題2分，共28分)1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空題（本大題共 10空，每空2分，共20分)15. 633 713 716.17. 418. - 1019. Y1 1+C( Y 2- Y 1)(或 Y 2+C( Y 2- Y 1) )

24、, C 為任意常數(shù)20. n - r21. - 522. - 223. 1222224. Z1 Z2 Z3 Z4三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）12 0 225 .解(1) ABT= 3 4 031 2 111810 .1026.解(2) 14 A|二4|A|二3| A|=64| A| ,而2.所以 |4 A|=64.(-2)1285110110011301040.27.解 AB=A+2B 即(A- 2E)B=A,- 1(A- 2E)所以B=(A-2E)1A=12-128.解一 03113212所以解二考慮10000100318145281410000100311052104

25、=2 a1+ a2+ a 3,組合系數(shù)為（2, 1,1)a 4=X1 a 1+X2 a 2+X3 a 3,29.解2X1 X23X3 0即 X1 3X212X2 2X343X1 4X2X3 9.方程組有唯一解（2, 1,1)對矩陣A施行初等行變換1).1210200062032820963212102121020328303283000620003100021700000秩（B)二3，所以A ( A)=秩（B)=3.由于A與B的列向量組有相同的線性而A=B.(1)(2)T,組合系數(shù)為B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。（A的第1、2、5列或1、3、4歹U,或1、