FRM知識點兩基金分離定理

1、FRM 知識點：兩基金分離定理. 、/一1 前言美國經(jīng)濟學家馬科維茨 1952 年發(fā)表論文資產(chǎn)組合的選擇，標志著現(xiàn)代投資組合理論的開端。他 利用均值 - 方差模型對投資組合進行分析，提出投資組合理論，并進行了系統(tǒng)、深入和卓有成效的研究， 后得出這樣的一條曲線（上雙曲線）有效前沿，在該前沿上的投資組，均滿足一定風險下的高收益， 一定收益下的低風險，給投資者資產(chǎn)組合的選擇提供了理論基礎。然而，馬科維茨組合理論雖然給出了組合選擇的方法，在實務操作中卻較難實施，因為要獲得優(yōu)組合 的各個投資標的的權重，需要每個投資標的的收益、方差（或標準差），以及各個標的間的相關系數(shù)，計 算要求極高，當時計算機硬件發(fā)展

2、不匹配。因此，資產(chǎn)組合理論后續(xù)發(fā)展的 “兩基金分離定理”、“單 一因素模型”等，都極大的推動了投資組合理論的實際應用。2 文章思路兩基金分離定理包括兩層涵義，因此本文從以下兩方面展開：其一，投資組合僅有風險資產(chǎn)，不包括 無風險資產(chǎn)，因其引申自馬科維茨組合管理理論（本文不再贅述），所以主要從定理、定理證明和現(xiàn)實意 義進行闡述；其二，引入無風險資產(chǎn)的兩基金分離定理，也主要從以上三方面展開，然而會引出資本市場 線、市場組合等重要概念。3 僅有風險資產(chǎn)3.1 定理在只有風險資產(chǎn)的情況下，有效前沿是一條上雙曲線，在這條線上，任意兩個分離的點都代表兩個分 離的有效投資組合，而有效組合邊界上任意其他的點所代

3、表的有效投資組合，都可以由這兩個分離的點所 代表的有效投資組合的線性組合生成。3.2 證明由馬科維茨的投資組合理論可知，過任意兩個分離的各自代表有風險資產(chǎn)的點可以生成一條雙曲線。 所以，有效組合邊界上的兩個分離的點可以看作兩項有風險資產(chǎn)，它們也就可以生成一條雙曲線。然而， 有效組合邊界本身是一條雙曲線。首先，任意兩條不同的雙曲線不可能在同一側有兩個分離的切點。其次，如果這兩條雙曲線在這兩個點是相交的話，則由兩個點生成的雙曲線一定會有一部分落在有效 組合邊界所圍區(qū)域的外面。然而，由有效組合前沿的定義知這是不可能的，所以這兩條雙曲線一定重合綜上，兩基金分離定理成立 3.3 意義以市場上的機構投資者

4、共同基金為例。共同基金一方面發(fā)行小面額的收益憑證作為自己的負債， 另一方面則把籌集到的大筆資金進行分散化投資，形成自己的投資組合。如果有兩家不同的共同基金，它 們都投資于有風險資產(chǎn)，而且都經(jīng)營良好，經(jīng)營良好意味著它們的收益 / 風險關系都能落到有效組合前沿。那么，根據(jù)兩基金分離定理，任何別的投資于有風險資產(chǎn)的共同基金，如果經(jīng)營良好（即為有效組合 前沿上的風險資產(chǎn)組合），其有效投資組合一定與原來那兩個共同基金的某一線性組合等同。因此， 只要找到這樣兩家不同的經(jīng)營良好的共同基金， 把自己的資金按一定的比例投資于這兩家基金， 就可以與投資于其他經(jīng)營水平良好的共同基金（即其他不同收益 / 風險配比的有

5、效組合）獲得完全一樣的 效果。這一結論對投資策略的制定無疑有重要的意義。4 含無風險資產(chǎn)4.1 定理在引入無風險資產(chǎn)的情況下，有效前沿就變成是一條射線，在這條線上，任何一個的有效資產(chǎn)組合都 可以由無風險資產(chǎn)和一個市場組合的線性組合生成，但是其中一個關鍵的地方是，該市場組合是作為所有 風險資產(chǎn)的代表，投資者投資在該風險組合的每個風險資產(chǎn)的投資比例不隨投資者的偏好而改變。4.2 證明該定理的證明首先需要引出資本市場線，然后進行論證。4.2.1 資本市場線在所有可能有風險資產(chǎn)組合所構成的雙曲線所圍成區(qū)域的有效組合邊界左下端，就是小方差組合。因 為有系統(tǒng)風險存在，小方差組合不是無風險的，其預期收益率也

6、一定高于無風險利率Rf 點。于是，在標準差預期收益率圖中：有效組合邊界和表示預期收益率大小的縱坐標軸是不相接觸的，而代表無風險證 券的收益 / 風險的坐標點落在縱軸上。因而，在加入無風險證券后，代表新的組合的點一定落在連接Rf點和包含所有可能的有風險資產(chǎn)組合的雙曲線所圍區(qū)域及其邊界的某一點的射線上。如此的射線有無數(shù)多條。但是，當射線圍繞Rf點逆時針旋轉時，不管投資者的收益/風險偏好如何（即不管效用函數(shù)的曲線形狀如何），越在上面的射線上的點，其效用值越大。于是，效用值大的射線一定是與有效組合邊界相切的那一條，即連接Rf點和M點的射線。這條射線實際構成了無風險證券和有風險資產(chǎn)組合的有效組合邊界資本

7、市場線。422 論證資本市場線上點（0, Rf ）代表無風險資產(chǎn)，點 M （晌,E（Rm）有風險的市場組合，而該資產(chǎn)市 場線上的任意投資組合為（op , E（Rp），設3為該組合配置風險市場組合的比例，則：E（Rp） = （1 - co） ? Rf + 3 ?E（Rm）op = oo得Mop1-）比例的無風險資產(chǎn)。Mo該投資組合配置 蘭 比例的有風險市場組合，（E(Rm) - Rfop _該投資組合收益 E（Rp）為：E（Rp）= RfCM該方程也就是資本市場線的表達式。此時，其中一項基金是無風險證券，而另一項則是切點M所代表的有風險資產(chǎn)的組合。資本市場線上任意一點所代表的投資組合，都可以由一

8、定比例的無風險證券和由M點所代表有風險資產(chǎn)組合生成。在這個包括無風險證券和有風險資產(chǎn)組合的有效組合邊界（即資本市場線）上，兩基金分離定理實際上依 然成立。代表小方差組合的點位于Rf點的右上方，從而保證了切點（ M點）的存在性（如果小組合的預期收益率與無風險收益率相等的話，雙曲線上的切點會不存在，資本市場線會變成雙曲線的漸近線）。資本市 場線在M點右上方的部分所包含的投資組合，即o 1，是賣空了無風險證券（即以無風險利率貸款）后，將所得的資金投資于 M點所代表的有風險資產(chǎn)組合。4.3意義4.3.1現(xiàn)實意義兩基金分離定理為從事投資服務的金融機構提供了理論指導，不管投資者的收益/風險偏好如何，只需要

9、找到切點 M所代表的有風險投資組合，再加上無風險證券，就能為投資者提供佳的投資方案，而投 資者的收益/風險偏好，就只需反映在組合中無風險證券所占的比重。這一佳投資方案的設計與投資者的 收益/風險偏好無關的結果，更能說明兩基金分離定理中“分離”一詞的涵義M 點所代表的有風險資產(chǎn)組合是什么樣的組合，投資者如何才能構建這樣的組合？4.3.2 市場組合資本市場線與有風險資產(chǎn)的有效組合邊界的切點 M 所代表的資產(chǎn)組合就是有風險資產(chǎn)的市場組合。 市場組合包含所有市場上存在的資產(chǎn)種類，以及各種資產(chǎn)所占的比例和每種資產(chǎn)的總市值占市場所有資產(chǎn) 總市值的比例相同。有風險資產(chǎn)的市場組合就是指從市場組合中剔除無風險證

10、券后的組合。首先，任何市場上存在的資產(chǎn)須被包括在 M 所代表的資產(chǎn)組合里。因為，理性的投資者都會選擇資 本市場線上的點作為自己的投資組合，不被 M 所包含的資產(chǎn)就會變得無人問津，其價格自然會下跌，從 而收益率會上升，直到進入 M 所代表的資產(chǎn)組合。其次，當市場均衡時，對任何一種資產(chǎn)都不會有過度的需求和過度的供給。因為，所有的理性的投資 者所選擇的有風險資產(chǎn)的比例都應同 M 所代表的資產(chǎn)組合里的投資比重相同。由此，說明 M 所代表的資 產(chǎn)組合就是有風險資產(chǎn)的市場組合。得知 M 點是有風險的市場組合， 那么實踐中如何根據(jù)兩基金分離定理制定和實施相應的投資策略呢？4.3.3 指數(shù)化投資策略指數(shù)化的投

11、資策略是被動的但很有效的投資策略。該策略分兩步做：一步是按照市場的組合比例來構 筑有風險資產(chǎn)的組合，這樣也一定實現(xiàn)了風險的分散化；二步是將資金按照投資者的收益/ 風險偏好分投到無風險證券和所構筑的有風險市場組合中去。這種策略調節(jié)起來也非常方便。如果覺得風險偏大，則可 適當增大投資于無風險證券的比例，否則反之。在各個金融市場中，已經(jīng)有好些反映市場總體價格水平變化的指數(shù)，如著名的標準普爾 500 指數(shù)、日 經(jīng) 255 指數(shù)，金融時報 100 指數(shù)、恒生指數(shù)，以及中國內(nèi)地的上證指數(shù)、深證指數(shù)等，以此類指數(shù)為 基礎而開發(fā)的指數(shù)產(chǎn)品，往往可以用來作為有風險市場組合的替代品。所以這種投資策略被稱為指數(shù)化的

12、 投資策略。這種被動式的指數(shù)化的投資策略在西方被養(yǎng)老基金、共同基金等金融機構廣泛的采用，并被用作評估 其他主動式的投資策略績效的依據(jù)。因此我們可以清楚地看到，這種優(yōu)投資策略的制定，確實是與個別投 資者的效用函數(shù)無關的。 這種投資策略的產(chǎn)生， 是市場整合的結果。 雖然它經(jīng)常有悖于人們的常識和感覺， 卻是金融學的本質特性。5 小結本文從定理、證明和實踐意義三方面對兩基金分離定理在僅有風險資產(chǎn)和包括無風險資產(chǎn)兩種情況進 行了分析，該理論建立在馬科維茨的資產(chǎn)組合選擇理論基礎上，馬科維茨的資產(chǎn)組合選擇理論開啟了現(xiàn)代 組合理論研究的開端，然而，兩基金分離定理極大的推動了現(xiàn)代組合理論的現(xiàn)實應用，為投資者投資策略 的制定和實施提供理論基礎和現(xiàn)實指導。實踐中，人們都會配置部分無風險資產(chǎn)甚至借入資金，根據(jù)兩基金分離定理，投資者可以通過在代表 整個市場風險資產(chǎn)的指數(shù)和無風險資產(chǎn)之間進行配比，來達到資本市場線上的優(yōu)組合。其