FRM知識(shí)點(diǎn)兩基金分離定理

1、FRM 知識(shí)點(diǎn)：兩基金分離定理. 、/一1 前言美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬科維茨 1952 年發(fā)表論文資產(chǎn)組合的選擇，標(biāo)志著現(xiàn)代投資組合理論的開(kāi)端。他 利用均值 - 方差模型對(duì)投資組合進(jìn)行分析，提出投資組合理論，并進(jìn)行了系統(tǒng)、深入和卓有成效的研究， 后得出這樣的一條曲線（上雙曲線）有效前沿，在該前沿上的投資組，均滿足一定風(fēng)險(xiǎn)下的高收益， 一定收益下的低風(fēng)險(xiǎn)，給投資者資產(chǎn)組合的選擇提供了理論基礎(chǔ)。然而，馬科維茨組合理論雖然給出了組合選擇的方法，在實(shí)務(wù)操作中卻較難實(shí)施，因?yàn)橐@得優(yōu)組合 的各個(gè)投資標(biāo)的的權(quán)重，需要每個(gè)投資標(biāo)的的收益、方差（或標(biāo)準(zhǔn)差），以及各個(gè)標(biāo)的間的相關(guān)系數(shù)，計(jì) 算要求極高，當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)硬件發(fā)展

2、不匹配。因此，資產(chǎn)組合理論后續(xù)發(fā)展的 “兩基金分離定理”、“單 一因素模型”等，都極大的推動(dòng)了投資組合理論的實(shí)際應(yīng)用。2 文章思路兩基金分離定理包括兩層涵義，因此本文從以下兩方面展開(kāi)：其一，投資組合僅有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，不包括 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，因其引申自馬科維茨組合管理理論（本文不再贅述），所以主要從定理、定理證明和現(xiàn)實(shí)意 義進(jìn)行闡述；其二，引入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的兩基金分離定理，也主要從以上三方面展開(kāi)，然而會(huì)引出資本市場(chǎng) 線、市場(chǎng)組合等重要概念。3 僅有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)3.1 定理在只有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況下，有效前沿是一條上雙曲線，在這條線上，任意兩個(gè)分離的點(diǎn)都代表兩個(gè)分 離的有效投資組合，而有效組合邊界上任意其他的點(diǎn)所代

3、表的有效投資組合，都可以由這兩個(gè)分離的點(diǎn)所 代表的有效投資組合的線性組合生成。3.2 證明由馬科維茨的投資組合理論可知，過(guò)任意兩個(gè)分離的各自代表有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的點(diǎn)可以生成一條雙曲線。 所以，有效組合邊界上的兩個(gè)分離的點(diǎn)可以看作兩項(xiàng)有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，它們也就可以生成一條雙曲線。然而， 有效組合邊界本身是一條雙曲線。首先，任意兩條不同的雙曲線不可能在同一側(cè)有兩個(gè)分離的切點(diǎn)。其次，如果這兩條雙曲線在這兩個(gè)點(diǎn)是相交的話，則由兩個(gè)點(diǎn)生成的雙曲線一定會(huì)有一部分落在有效 組合邊界所圍區(qū)域的外面。然而，由有效組合前沿的定義知這是不可能的，所以這兩條雙曲線一定重合綜上，兩基金分離定理成立 3.3 意義以市場(chǎng)上的機(jī)構(gòu)投資者

4、共同基金為例。共同基金一方面發(fā)行小面額的收益憑證作為自己的負(fù)債， 另一方面則把籌集到的大筆資金進(jìn)行分散化投資，形成自己的投資組合。如果有兩家不同的共同基金，它 們都投資于有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而且都經(jīng)營(yíng)良好，經(jīng)營(yíng)良好意味著它們的收益 / 風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系都能落到有效組合前沿。那么，根據(jù)兩基金分離定理，任何別的投資于有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的共同基金，如果經(jīng)營(yíng)良好（即為有效組合 前沿上的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合），其有效投資組合一定與原來(lái)那兩個(gè)共同基金的某一線性組合等同。因此， 只要找到這樣兩家不同的經(jīng)營(yíng)良好的共同基金， 把自己的資金按一定的比例投資于這兩家基金， 就可以與投資于其他經(jīng)營(yíng)水平良好的共同基金（即其他不同收益 / 風(fēng)險(xiǎn)配比的有

5、效組合）獲得完全一樣的 效果。這一結(jié)論對(duì)投資策略的制定無(wú)疑有重要的意義。4 含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)4.1 定理在引入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況下，有效前沿就變成是一條射線，在這條線上，任何一個(gè)的有效資產(chǎn)組合都 可以由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)市場(chǎng)組合的線性組合生成，但是其中一個(gè)關(guān)鍵的地方是，該市場(chǎng)組合是作為所有 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的代表，投資者投資在該風(fēng)險(xiǎn)組合的每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例不隨投資者的偏好而改變。4.2 證明該定理的證明首先需要引出資本市場(chǎng)線，然后進(jìn)行論證。4.2.1 資本市場(chǎng)線在所有可能有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合所構(gòu)成的雙曲線所圍成區(qū)域的有效組合邊界左下端，就是小方差組合。因 為有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)存在，小方差組合不是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，其預(yù)期收益率也

6、一定高于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率Rf 點(diǎn)。于是，在標(biāo)準(zhǔn)差預(yù)期收益率圖中：有效組合邊界和表示預(yù)期收益率大小的縱坐標(biāo)軸是不相接觸的，而代表無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證 券的收益 / 風(fēng)險(xiǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)落在縱軸上。因而，在加入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券后，代表新的組合的點(diǎn)一定落在連接Rf點(diǎn)和包含所有可能的有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的雙曲線所圍區(qū)域及其邊界的某一點(diǎn)的射線上。如此的射線有無(wú)數(shù)多條。但是，當(dāng)射線圍繞Rf點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，不管投資者的收益/風(fēng)險(xiǎn)偏好如何（即不管效用函數(shù)的曲線形狀如何），越在上面的射線上的點(diǎn)，其效用值越大。于是，效用值大的射線一定是與有效組合邊界相切的那一條，即連接Rf點(diǎn)和M點(diǎn)的射線。這條射線實(shí)際構(gòu)成了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券和有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的有效組合邊界資本

7、市場(chǎng)線。422 論證資本市場(chǎng)線上點(diǎn)（0, Rf ）代表無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，點(diǎn) M （晌,E（Rm）有風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)組合，而該資產(chǎn)市 場(chǎng)線上的任意投資組合為（op , E（Rp），設(shè)3為該組合配置風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合的比例，則：E（Rp） = （1 - co） ? Rf + 3 ?E（Rm）op = oo得Mop1-）比例的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。Mo該投資組合配置 蘭 比例的有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合，（E(Rm) - Rfop _該投資組合收益 E（Rp）為：E（Rp）= RfCM該方程也就是資本市場(chǎng)線的表達(dá)式。此時(shí)，其中一項(xiàng)基金是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，而另一項(xiàng)則是切點(diǎn)M所代表的有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合。資本市場(chǎng)線上任意一點(diǎn)所代表的投資組合，都可以由一

8、定比例的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券和由M點(diǎn)所代表有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合生成。在這個(gè)包括無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券和有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的有效組合邊界（即資本市場(chǎng)線）上，兩基金分離定理實(shí)際上依 然成立。代表小方差組合的點(diǎn)位于Rf點(diǎn)的右上方，從而保證了切點(diǎn)（ M點(diǎn)）的存在性（如果小組合的預(yù)期收益率與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率相等的話，雙曲線上的切點(diǎn)會(huì)不存在，資本市場(chǎng)線會(huì)變成雙曲線的漸近線）。資本市 場(chǎng)線在M點(diǎn)右上方的部分所包含的投資組合，即o 1，是賣空了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券（即以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貸款）后，將所得的資金投資于 M點(diǎn)所代表的有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合。4.3意義4.3.1現(xiàn)實(shí)意義兩基金分離定理為從事投資服務(wù)的金融機(jī)構(gòu)提供了理論指導(dǎo)，不管投資者的收益/風(fēng)險(xiǎn)偏好如何，只需要

9、找到切點(diǎn) M所代表的有風(fēng)險(xiǎn)投資組合，再加上無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，就能為投資者提供佳的投資方案，而投 資者的收益/風(fēng)險(xiǎn)偏好，就只需反映在組合中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券所占的比重。這一佳投資方案的設(shè)計(jì)與投資者的 收益/風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān)的結(jié)果，更能說(shuō)明兩基金分離定理中“分離”一詞的涵義M 點(diǎn)所代表的有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合是什么樣的組合，投資者如何才能構(gòu)建這樣的組合？4.3.2 市場(chǎng)組合資本市場(chǎng)線與有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效組合邊界的切點(diǎn) M 所代表的資產(chǎn)組合就是有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場(chǎng)組合。 市場(chǎng)組合包含所有市場(chǎng)上存在的資產(chǎn)種類，以及各種資產(chǎn)所占的比例和每種資產(chǎn)的總市值占市場(chǎng)所有資產(chǎn) 總市值的比例相同。有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場(chǎng)組合就是指從市場(chǎng)組合中剔除無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證

10、券后的組合。首先，任何市場(chǎng)上存在的資產(chǎn)須被包括在 M 所代表的資產(chǎn)組合里。因?yàn)椋硇缘耐顿Y者都會(huì)選擇資 本市場(chǎng)線上的點(diǎn)作為自己的投資組合，不被 M 所包含的資產(chǎn)就會(huì)變得無(wú)人問(wèn)津，其價(jià)格自然會(huì)下跌，從 而收益率會(huì)上升，直到進(jìn)入 M 所代表的資產(chǎn)組合。其次，當(dāng)市場(chǎng)均衡時(shí)，對(duì)任何一種資產(chǎn)都不會(huì)有過(guò)度的需求和過(guò)度的供給。因?yàn)?，所有的理性的投資 者所選擇的有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例都應(yīng)同 M 所代表的資產(chǎn)組合里的投資比重相同。由此，說(shuō)明 M 所代表的資 產(chǎn)組合就是有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場(chǎng)組合。得知 M 點(diǎn)是有風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)組合， 那么實(shí)踐中如何根據(jù)兩基金分離定理制定和實(shí)施相應(yīng)的投資策略呢？4.3.3 指數(shù)化投資策略指數(shù)化的投

11、資策略是被動(dòng)的但很有效的投資策略。該策略分兩步做：一步是按照市場(chǎng)的組合比例來(lái)構(gòu) 筑有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合，這樣也一定實(shí)現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)的分散化；二步是將資金按照投資者的收益/ 風(fēng)險(xiǎn)偏好分投到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券和所構(gòu)筑的有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合中去。這種策略調(diào)節(jié)起來(lái)也非常方便。如果覺(jué)得風(fēng)險(xiǎn)偏大，則可 適當(dāng)增大投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的比例，否則反之。在各個(gè)金融市場(chǎng)中，已經(jīng)有好些反映市場(chǎng)總體價(jià)格水平變化的指數(shù)，如著名的標(biāo)準(zhǔn)普爾 500 指數(shù)、日 經(jīng) 255 指數(shù)，金融時(shí)報(bào) 100 指數(shù)、恒生指數(shù)，以及中國(guó)內(nèi)地的上證指數(shù)、深證指數(shù)等，以此類指數(shù)為 基礎(chǔ)而開(kāi)發(fā)的指數(shù)產(chǎn)品，往往可以用來(lái)作為有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合的替代品。所以這種投資策略被稱為指數(shù)化的

12、 投資策略。這種被動(dòng)式的指數(shù)化的投資策略在西方被養(yǎng)老基金、共同基金等金融機(jī)構(gòu)廣泛的采用，并被用作評(píng)估 其他主動(dòng)式的投資策略績(jī)效的依據(jù)。因此我們可以清楚地看到，這種優(yōu)投資策略的制定，確實(shí)是與個(gè)別投 資者的效用函數(shù)無(wú)關(guān)的。 這種投資策略的產(chǎn)生， 是市場(chǎng)整合的結(jié)果。 雖然它經(jīng)常有悖于人們的常識(shí)和感覺(jué)， 卻是金融學(xué)的本質(zhì)特性。5 小結(jié)本文從定理、證明和實(shí)踐意義三方面對(duì)兩基金分離定理在僅有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和包括無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)兩種情況進(jìn) 行了分析，該理論建立在馬科維茨的資產(chǎn)組合選擇理論基礎(chǔ)上，馬科維茨的資產(chǎn)組合選擇理論開(kāi)啟了現(xiàn)代 組合理論研究的開(kāi)端，然而，兩基金分離定理極大的推動(dòng)了現(xiàn)代組合理論的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用，為投資者投資策略 的制定和實(shí)施提供理論基礎(chǔ)和現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)。實(shí)踐中，人們都會(huì)配置部分無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甚至借入資金，根據(jù)兩基金分離定理，投資者可以通過(guò)在代表 整個(gè)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的指數(shù)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間進(jìn)行配比，來(lái)達(dá)到資本市場(chǎng)線上的優(yōu)組合。其