彈性力學(xué)試題參考答案與彈性力學(xué)復(fù)習(xí)題要點(diǎn)

1、彈性力學(xué)復(fù)習(xí)資料一、簡(jiǎn)答題1 試寫出彈性力學(xué)平面問題的基本方程，它們揭示的是那些物理量之間的相互關(guān)系？在應(yīng)用這些方 程時(shí)，應(yīng)注意些什么問題？答：平面問題中的平衡微分方程：揭示的是應(yīng)力分量與體力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意兩個(gè)微分方程 中包含著三個(gè)未知函數(shù)（T x、（T y、t xy= t yx ，因此，決定應(yīng)力分量的問題是超靜定的，還必須考慮形變和位移，才能解決問題。25du平面問題的幾何方程：揭示的是形變分量與位移分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意當(dāng)物體的位移分量完全確 定時(shí)，形變量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。du + dy平面問題中的物理方程：揭示的是形變分量與應(yīng)力分

2、量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題物理方程的轉(zhuǎn)換關(guān)系。弓T巧-心+叩各二晁"（6+巧）2按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為那幾類邊界問題？試作簡(jiǎn)要說明。答：按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。位移邊界問題是指物體在全部邊界上的位移分量是已知的，也就是位移的邊界值是邊界上坐標(biāo)的已知函數(shù)。應(yīng)力邊界問題中，物體在全部邊界上所受的面力是已知的，即面力分量在邊界上所有各點(diǎn)都是坐標(biāo) 的已知函數(shù)?；旌线吔鐔栴}中，物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件；另一部分邊界則具有應(yīng)力邊界條件。3彈性體任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由幾個(gè)應(yīng)力分量決定？

3、試將它們寫出。如何確定它們的正負(fù)號(hào)？答：彈性體任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由6個(gè)應(yīng)力分量決定，它們是：:X、口、:z、,xy、.yz'、.zx。正面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。負(fù)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸正方向 為負(fù)。4在推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程時(shí)，采用了那些基本假定？什么是“理想彈性體”？試舉例說明。答：答：在推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程時(shí)，采用了以下基本假定：(1 )假定物體是連續(xù)的。(2 )假定物體是完全彈性的。(3) 假定物體是均勻的。(4) 假定物體是各向同性的。(5) 假定位移和變形是微小的。符合(1) (4)條假定的物體稱為“理想彈性體”。一般混凝土構(gòu)件、一

4、般土質(zhì)地基可近似視為“理想彈性體”。5 .什么叫平面應(yīng)力問題？什么叫平面應(yīng)變問題？各舉一個(gè)工程中的實(shí)例。答：平面應(yīng)力問題是指很薄的等厚度薄板只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的 面力，同時(shí)體力也平行于板面并且不沿厚度變化。如工程中的深梁以及平板壩的平板 支墩就屬于此類。平面應(yīng)變問題是指很長的柱型體，它的橫截面在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長 度變化的面力，同時(shí)體力也平行于橫截面而且也不沿長度變化，即內(nèi)在因素和外來作 用都不沿長度而變化。6在彈性力學(xué)里分析問題，要從幾方面考慮？各方面反映的是那些變量間的關(guān)系？答：在彈性力學(xué)利分析問題，要從3方面來考慮：靜力學(xué)方面、幾何學(xué)方面、物理學(xué)方面。

5、平面問題的靜力學(xué)方面主要考慮的是應(yīng)力分量和體力分量之間的關(guān)系也就是平面問 題的平衡微分方程。平面問題的幾何學(xué)方面主要考慮的是形變分量與位移分量之間的 關(guān)系，也就是平面問題中的幾何方程。平面問題的物理學(xué)方面主要反映的是形變分量與應(yīng)力分量之 間的關(guān)系，也就是平面問題中的物理方程。7按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)平面問題分為那幾類？試作簡(jiǎn)要說明答：按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)平面問題可分為兩類：(1)平面應(yīng)力問題 ：很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力。這一類 問題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存在二x、二y、 F二yx三個(gè)應(yīng)力分

6、量。（2）平面應(yīng)變問題 ：很長的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變化的面力，而且體力 也平行于橫截面且不沿長度變化。這一類問題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問題。例如擋土墻和重力壩的受力分析。該種問題.池二 ZX = 0； yz二 zy = 0而一般 二z并不等于零8什么是圣維南原理？其在彈性力學(xué)的問題求解中有什么實(shí)際意義？圣維南原理可表述為：如果把物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主 矩也相同），那麼近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì).彈性力學(xué)的問題求解中可利用圣維南原理將面力分布不明確的情況轉(zhuǎn)化為靜力等效但分布表達(dá)明確的

7、情況而將問題解決。還可解決邊界條件不完全滿足的問題的求解。9 什么是平面應(yīng)力問題？其受力特點(diǎn)如何，試舉例予以說明。答：平面應(yīng)力問題 是指很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，這 一類問題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存在；x、二y、xy二yx三個(gè)應(yīng)力分量。10.什么是“差分法”？試寫出基本差分公式。答；所謂差分法，是把基本方程和邊界條件（一般為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來表示, 把求解微分方程的問題改換成為求解代數(shù)方程的問題?；静罘止饺缦拢篺fl - f3x o - 2h/ 2 >d2f 也 + f

8、3 -2f°叫 2r2<cx 丿0hr 2 s丿。2hf2f42foh2、計(jì)算題1 .已知過P點(diǎn)的應(yīng)力分量匚x =15Mpa=y =25Mpa,xy =20Mpa。求過P點(diǎn)，l 二 cos300、m =cos60°斜面上的 XN、YN、二 N、N解：XN =lx m xcos300 15 cos60020 = 22.99MpaYn S I xy =cos600 25 cos300 20=29.82Mpa2 2N = I X my 2lm xy二 cos2 30°15 cos2 60°252 cos300 cos60° 20=34.82Mp

9、aN =lm(；y - Cx) (I2 -m2) xy二 COS300 cos600 (25 -15) (cos2 30° - cos2 60°) 20=14.33Mpa2 在物體內(nèi)的任一點(diǎn)取一六面體,x、y、z方向的尺寸分別為 dx、dy、dz。試依據(jù)下圖證明:yY=0。dyy證明：' Fy = 0 ：y(；y- dy ) dx dz -( ；y) dx dzzy(zydz) dx dy 一 ( zy) dx dyczCTxy(xy dx ) dy dz - ( xy) dy dzexYdxdydz = 0化簡(jiǎn)并整理上式，得：3 .圖示三角形截面水壩，材料的比重為

10、：、，承受比重為 液體的壓力，已求得應(yīng)力解為Cx 二ax by=cx+dy _ fgy，試與出直邊及斜邊上的邊界條件°隔=-dx _ay解：由邊界條件l( Cx)s +m(Tyx)s =X< _m(by)s+|( Txy )s =Y左邊界：I 二cos：,m - sin :cosB(ax + by sin P( - dx -ay)s = 0-sin B(cx + dy _ Pgys + cosP (_dx _ ay)s = 0右邊界：I - -1,m =0二(ax + by)s = ygy、(dx+ay)s =0二2以及二14.已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量= 30Mpa, ；y - -

11、25Mpa, . xy = 50Mpa試求主應(yīng)力 -1與x軸的夾角。解：2二 30 - 25 .30252 VV22 (50 )2 = 59.56 Mpa1I 二 tgi - °xX - by22亠 Ty 一一 55 .06 Mpa也心）L30.59。505 在物體內(nèi)的任一點(diǎn)取一六面體,x、y、z方向的尺寸分別為 dx、dy、dz。試依據(jù)下圖證明:z=0 。.:zyxIT yz|ltx +_dzzxWdz衛(wèi)'xz dxP證明:匚XBzy*+竽yxi ；x ox冷 一燈-：二yx dyy、' Fz =0:(二 z- dz) dx dy - (；z) dx dy一zcT(

12、xzx dx ) dy dz -( & ) dy dzexdyz(yz dy ) dz dx - ( yz) dz dxZdxdydz = 0化簡(jiǎn)并整理上式:Z = 06.圖示懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為二，設(shè)應(yīng)力函數(shù)二Ax3 Bx2y Cxy2 Dy3恒能滿足雙調(diào)和方程。試求應(yīng)力分量并寫出邊界條件。解：所設(shè)應(yīng)力函數(shù)。相應(yīng)的應(yīng)力分量為:.2 :二=2Cx+6Dyy2 :；y 二七 _ py 二 6Ax 2By _ pyxy 二-芍=-2Bx -2Cy邊界條件為：上表面（y=0），要求Xn= ( - xy)y=0=O，B = 0YN =( Yy)y£=0，斜邊界：y二xtg

13、a,丨二-si n，m二cos，邊界條件得:-(2Cx 6Dy)sin： -2Cycos： = 0 2Cysin ： - pycos： = 0彈性力學(xué)試題參考答案（ 答題時(shí)間：100分鐘）、填空題（每小題4分）1 最小勢(shì)能原理等價(jià)于彈性力學(xué)基本方程中：平衡微分方程,應(yīng)力邊界條件。2 一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足：平衡微分方程 ,相容方程（變形協(xié)調(diào)條件）。3.等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中，fdxd M的物理意義是 桿端截面上剪應(yīng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩等于桿截面內(nèi)的扭矩M 。4平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，Airy應(yīng)力函數(shù)在邊界上值的物理意義為邊界上某一點(diǎn)（基準(zhǔn)點(diǎn)）到任一點(diǎn)外力的矩。5 彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量

14、表示為：1Gj,jXi = 0，；ij =2（Ui，j Uj'i）。、簡(jiǎn)述題（每小題6分）1 試簡(jiǎn)述力學(xué)中的圣維南原理，并說明它在彈性力學(xué)分析中的作用。圣維南原理：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但 靜力等效的面力（主矢與主矩相同），則近處的應(yīng)力 分布將有 顯著的改變，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力 所受影響可以忽略不計(jì)作用：（1）將次要邊界上復(fù)雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。2 圖示兩楔形體，試分別用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)寫出其應(yīng)力函數(shù)的分離變量形式。題二（2）圖（a）e（x, y） =ax2 +bxy + cy2（r,B） =r

15、2f（日）（x, y） = ax3 +bx2y + cxy2 +dy3（b）3#（r,B） = r3 f 但）3 圖示矩形彈性薄板，沿對(duì)角線方向作用一對(duì)拉力P,板的幾何尺寸如圖，材料的彈性模量E、泊松比已知。試求薄板面積的改變量S。題二（3）圖設(shè)當(dāng)各邊界受均布?jí)毫?q時(shí)，兩力作用點(diǎn)的相對(duì)位移為l。由；二* （1 -：）q得, : 2l = ； . a2 b2 =一 （1 _）E設(shè)板在力P作用下的面積改變?yōu)镾，由功的互等定理有：q ：S = P 討將劇代入得：1 _ 卩；22SP a b顯然，二S與板的形狀無關(guān)，僅與 E、.二、丨有關(guān)。4圖示曲桿，在r =b邊界上作用有均布拉應(yīng)力 q,在自由端作

16、用有水平集中力 P。試寫出其邊界條 件（除固定端外）。題二（4 ）圖rTb a=psi nbH亠bydr= -PcoSa2b5 試簡(jiǎn)述拉甫（Love）位移函數(shù)法、伽遼金（Galerkin ）位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想，并指出各自的適用性Love、Galerkin位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想：（1） 變求多個(gè)位移函數(shù)u（x, y）, v（x, y）, w（x, y）或ur（r, R, ujr J）為求一些特殊函數(shù)， 如調(diào)和函 數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。（2）變求多個(gè)函數(shù)為求單個(gè)函數(shù)（特殊函數(shù)） 。適用性：Love位移函數(shù)法適用于求解軸對(duì)稱的空間問題；Galerkin位移函數(shù)法適用

17、于求解非軸對(duì)稱的空間問題。二、計(jì)算題1 圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的值為 P,設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。（提示：取應(yīng)力函數(shù)為（13 分）題三（1）圖=Asin 2二 B v解：；d很小，.M =Pd，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶M的情形。將應(yīng)力函數(shù)（rc）代入，可求得應(yīng)力分量:牙=0 ；cr.:r(2Aco 2二 B)邊界條件:(1)V"0 = 0,"r蟲-'-0,*： r 二兀"r-0- r =0-0代入應(yīng)力分量式，有(1)4t（2A B） =0 r（2）取一半徑為r的

18、半圓為脫離體,邊界上受有：匚r , B，和MPd由該脫離體的平衡，得n2-.r2dd M -0'2 -將.心代入并積分，有Asin" B7122聯(lián)立式（1）、（ 2）求得:代入應(yīng)力分量式，得2Pd sin2二2. 2-2 r(2Acos2 二 B)r2dr M = 0M ._Pd , Pd2Pd sin J(2)結(jié)果的適用性：由于在原點(diǎn)附近應(yīng)用了圣維南原理，故此結(jié)果在原點(diǎn)附近誤差較大,處可適用。2 圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應(yīng)力二X由材料力學(xué)公式給出,求出 xy,匚y ,并檢驗(yàn)該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的相容方程。離原點(diǎn)較遠(yuǎn)試由平衡微分方程（12 分）解:（1

19、）求橫截面上正應(yīng)力匚x任意截面的彎矩為 M - - 也X361（2）由平衡微分方程求.幼Ay平衡微分方程:題三（2 ）圖3截面慣性矩為1 =務(wù)，由材料力學(xué)計(jì)算公式有=Mr 一經(jīng) x x i ih3 x(1)二 x:xJyx：xyX = 0 yU yy Y =0其中，X =0,Y =0。將式（1）代入式（2),有- xy 6q°2x y_3yih積分上式，得xy舍 x2y2lh3fi(x)利用邊界條件：.xyyj =0，有一2荼 x2fl(x"°fi(x)=型 x2h24lh33q0 2 2 1 2 八看x(y -;h )(4)將式（4）代入式（3），有XW2-*2

20、)二=0lh34:y或cy6q30x(yh2)Ih347積分得6qo . y3lh3x（專-4h2y）f2（x）利用邊界條件:qox，得:h3 1 33 x（-丄丄h3）f2（x）lh3248 丿 2V 16qo '-36qoqox由第二式，得將其代入第一式，得lh3x（%lh3）+f2（x）f2（X） |x2l x 2l xq0x將f2（X）代入二y的表達(dá)式，有Cy6qolh3所求應(yīng)力分量的結(jié)果:_ My 2qor -3xyxy啤 x2（y2h2）lh34）Cy校核梁端部的邊界條件：（1）梁左端的邊界（x = o）：hx2=0自然成立。31.2qo4hy）px（5）趣"&#

21、39;計(jì)y） 一養(yǎng)（2）梁右端的邊界（x = l）：h_-x 2x=tdy =_h3x（ lh332 2qoh2hxy2代入后可見：自然滿足。3xlhyh - xy "2h2xy 二x 丄 ydy2 3q0x z 2 h2ih3 (yh2dyX丄q°l2q°xdy 二-2q°lx43lh3 yq°i可見，所有邊界條件均滿足。檢驗(yàn)應(yīng)力分量Cx, xyy是否滿足應(yīng)力相容方程:常體力下的應(yīng)力相容方程為2 _2-a j'(二x Yy) =(22)(；x ；y) =0條cy將應(yīng)力分量Cx，xyy式（6）代入應(yīng)力相容方程，有12q£，；yUy)lh2G “6予岸皆0顯然，應(yīng)力分量-x, xyy不滿足應(yīng)力相容方程，因而式（6）并不是該該問題的正確解。3. 一端固定，另一端彈性支承的梁,其跨度為I,抗彎剛度EI為常數(shù),梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為k。1項(xiàng)待定系數(shù)）（13 分）題二（3 ）圖梁受有均勻分布載荷 q作用，如圖所示。試:（1）構(gòu)造兩種形式（多項(xiàng)式、三角函數(shù)）的梁撓度試函數(shù)w（x）；（2）用最小