定積分概念與牛頓-布萊尼茨公式

1、第九章 定積分§1 定積分概念與牛頓-布萊尼茨公式例1 證明：若，且，則存在，使證 采用反證法，倘若在任何上都使，則導(dǎo)致任一積分和，于是當(dāng)時(shí)極限亦為非正，即，這與已知條件相矛盾。 例2 通過對積分和求極限來驗(yàn)證：， （1.6）解 首先,本題的解法與牛頓-萊布尼茨公式無關(guān),按題意,需假設(shè)(1.6)式左邊的定積分存在，然后根據(jù)前面問題2的（5），可以通過對聯(lián)某一特殊積分和求極限而得到該定積分的值。為簡單起見，取T為等分分割：，并取，則有 例3 設(shè)，與僅在有限個(gè)點(diǎn)處取值不同，試由可積定義證明，且有證 不失一般性，設(shè)g與f只在一點(diǎn)處取值不同，而且為記，因，故，當(dāng)時(shí)，對一切有；于是又有由于當(dāng)時(shí)

2、，而當(dāng)時(shí)無論或，都有，因此只要，就能保證這即為，且 本例說明：一個(gè)可積函數(shù)，當(dāng)它的有限個(gè)函數(shù)值發(fā)生改變時(shí)，既不會(huì)影響它的可積性，也不會(huì)影響它的定積分之值，這個(gè)重要性性質(zhì)在以后常會(huì)用到例4 通過化為定積分后求極限： （1.7）解 這類問題的解題思想，是要把所求極限化為某個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間上的積分和的極限，然后利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算的值。由于（1.7）式中的根式不是一個(gè)和式，而是一個(gè)連乘積，因此可望通過求對數(shù)后化為累加形式，為此記,不難看出，In是函數(shù)在區(qū)間0，1上對應(yīng)于n等分分割，并取，的一個(gè)積分和同于在0，1上連續(xù)，且存在原函數(shù)，故由定理9.1知道，且有 于是就可求得 注 上面In也可看作在

3、1，2上的一個(gè)積分和，或者是在2，3上的一個(gè)積分和，亦即例5 試求由曲線以及直線x=2和x軸所圍曲邊梯形（圖9-1）的面積S。解 由于因此依據(jù)定積分的幾何意義，可求得 例6 設(shè)在0，1上可積，且為凸函數(shù)，試證： （1.8）證凸函數(shù)的特征是：，恒有；特別當(dāng)時(shí)，滿足 （1.9）要想證明不等式(1.8)，可以先把左邊的定積分表示成某一積分和的極限，以便能用（1.9）把積分和中各項(xiàng)與相聯(lián)系，為方便起見，我們將0，1等分為2n個(gè)小區(qū)間，并取為第I個(gè)小區(qū)間的中點(diǎn)（i=1,2,2n）,則有由于， 因此由（1.9）得到于是就證得即不等式（1.8）成立。 注 把本例中的區(qū)間0，1改為一般的a,b時(shí)，在同樣的條件

4、下，類似地可證得請讀者自行寫出推導(dǎo)過程。§2可積條件例1 設(shè)，試用兩種方法證明證證法一因，故，使，；于是有，因此由微分值定理推知 （其中） （2.2）根據(jù)可積第二充要條件（必要性），某分割T，可使；對于同一分割T，據(jù)（2.2）式便有 再由可積第二充要條件(充分性),證得 證法二 利用復(fù)合函數(shù)可積性質(zhì)(教材第235頁例2),已知為連續(xù)函數(shù)，在a,b上為可積函數(shù)，則 例2 證明：若，則證 ，因，故分割T，使把兩點(diǎn)加入T而成，則由是T的加密，知道與此同時(shí)，在上的那部分分點(diǎn)構(gòu)成對的一個(gè)分割，并有這就證得 例3 設(shè)是定義在a,b上的一個(gè)階梯函數(shù)，意即有一a,b的分割T，使在T所屬的每個(gè)小區(qū)間上

5、都是常的值可以是任意的，它對的積分無影響），證明：（1）若，則任給，存在階梯函數(shù),使得 （2.3）(2)若對任給的,存在階梯函數(shù),使得,則證 (1)由,使得由于,因此, (2.4)所以只要取階梯函數(shù)和為 , ,就有, 把它代入(2.4)式，就證得（2.3）式成立。（2）滿足題設(shè)條件的階梯函數(shù)和存在，根據(jù)階梯函數(shù)的定義，分別存在分割和，使令T=T1+T2，把T看作既是T1的加密，又是T2的加密，于是有 ，這就證得說明 由以上（1）的結(jié)論，立即得到，再與（2）相聯(lián)系，便有如下命題的充要條件是：存在兩個(gè)階梯函數(shù)和，滿足，由以上（1）與（2）的證明看到，這個(gè)命題其實(shí)就是可積第二充要條件的另外一種表達(dá)方

6、式。例4 證明：若，則對任給的，存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)，使得證 根據(jù)例3（1），取一階梯函數(shù)h,滿足，由f在a,b上可積，從而有界，設(shè)，若在上為常數(shù)，取,則可構(gòu)造一個(gè)連續(xù)函數(shù)（如圖9-4所示）：在上；在和上，滿足的線性函數(shù)，于是有； 請讀者自行證明：當(dāng)時(shí)，存在連續(xù)函數(shù)，滿足例5 本題的最終目的是要證明：若f在a,b上可積，則f在a,b上必定存在無限多個(gè)連續(xù)點(diǎn)，而且它們在a,b上處處稠密，這可以用區(qū)間套方法按以下順序逐一證明：（1）若分割T能使，則在T中存在某個(gè)小區(qū)間，使在其上有；（2）存在區(qū)間，使得；（3）存在區(qū)間，使得；（4）繼續(xù)以上方法，求出一區(qū)間序列，使得，；可證是一個(gè)區(qū)間套，其公共點(diǎn)是f的一

7、個(gè)連續(xù)點(diǎn)；（5）按上面方法求得的f的連續(xù)點(diǎn)在a,b上處處稠密。*證 （1）倘若在小區(qū)間上都有,則將出現(xiàn)矛盾： （2）由（1），在其上有，現(xiàn)按如下規(guī)定來得到：若，則??；若，則取，其中為滿足的任意數(shù)，則有若，則取，其中為滿足的任意數(shù)，同樣有由此得到的，必定有（3）用代替（1）中的a,b，根據(jù)例2，知道，同理可證：上的分割T使得；且有中的某個(gè)小區(qū)間，使類似于（2），滿足（4）因以上分割可以做得無限細(xì)密，故當(dāng)時(shí)，由，可知；又因，所以為一區(qū)間套。根據(jù)區(qū)間套定理，；且對，當(dāng)時(shí)，有，以及由的構(gòu)造特征：，保證，現(xiàn)取，當(dāng)、時(shí)，必有，所以f在上連續(xù)。（5），以代替a,b，由于，因此由以上（1）（4）可證得f在內(nèi)至

8、少有一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，所以f的連續(xù)點(diǎn)在a,b中處處稠密。說明 1.本例所證得的命題是十分重要的，它進(jìn)一步指明了可積與連續(xù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。2如果一個(gè)函數(shù)f，它在a,b上的連續(xù)點(diǎn)不是處處稠密的，那么就可斷言，例如函數(shù)如圖9-5所示，它在中的連續(xù)點(diǎn)為， 這些連續(xù)點(diǎn)雖有無限多個(gè)，但它們并不處處稠密，所以f在上是不可積的。§3定積分的性質(zhì)例1 試求解 利用積分區(qū)間可加性，有再由，可得 例2 利用積分中值定理證明： （3.6）分析 如果由積分值公式(3.4)來估計(jì)定積分的值,只能得出, (3.7)其中M與m分別是在a,b上的最大值與最小值，顯然這是一個(gè)很粗略的估計(jì)，如果改由中值公式（3.5）來估計(jì)，設(shè)

9、，,則有 （3.8）一般說來,估計(jì)式(3.8)比(3.7)較為精細(xì).證 這里使用估計(jì)式(3.8),取,算出, ,由此看到，（3.6）的右部不等式得證；而左部不等式尚差稍許，為此可用以下方法來彌補(bǔ)：，這就證得（3.6）的左部不等式也成立。 說明 如果改取，是否同樣能證得結(jié)論成立？讀者不妨自己去試一試，此外，在上面證明左部不等式時(shí)，還用到了定積分性質(zhì)之4°和5°，請讀者自行指出它們用在何處？例3 證明：若，則有在其連續(xù)點(diǎn)處恒為零。證 用反證法，倘若為f的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，使，則可證得，導(dǎo)致與條件相矛盾（證明見教材第217頁中的例2）所以在其連續(xù)點(diǎn)處的值恒為零。根據(jù)本章§2中

10、范例5所證得的結(jié)論（可積函數(shù)存在處處稠密的連續(xù)點(diǎn)），而在假設(shè)非負(fù)函數(shù)f在連續(xù)點(diǎn)處的值恒為零，故對a,b上的任何分割T，f在T所屬的每個(gè)小區(qū)間上的下確界，這導(dǎo)致，又因f在a,b上可積，所以證得 例4 利用施瓦茨（Schwarz）積分不等式證明：， （3.9）其中f為上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且，實(shí)數(shù)證 已知施瓦茨積分不等式為，其中、（見教材第237頁第6題），由此得到,兩式相加后立即證得 說明 若把本例中的f改為非負(fù)可積函數(shù)，則由證明過程看到，只要指出在a,b上亦為可積函數(shù)（為什么？）就仍可利用施瓦茨不等式證明（3.9）式成立。*例5 設(shè)在0，1上為非負(fù)、嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù)，且記由積分第一中值定理，使,

11、試證：證 由條件，對每一n,在0 ，1上也都是非負(fù)、嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù)，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，有從而又有再由為嚴(yán)格遞增，得知時(shí)滿足這就證得， 說明 若把為嚴(yán)格遞增改為嚴(yán)格遞減，試問是否有（如何證明）？又若把區(qū)間0，1改為a,b，情形又如何？例6 證明：分析 設(shè)，由解出，不難知道，且 如圖9-6所示，為相對于的一族圖像，如果把積分區(qū)間分拆成兩部分：，當(dāng)足夠小時(shí)，上式右邊第一個(gè)積分依賴而為任意??；第二個(gè)積分依賴在，上的遞減性（對充分大的n,使），且由而為任意小。證 ，取，因，故，當(dāng)時(shí)，這時(shí)，在0，上有又因，故，當(dāng)時(shí)，有，于是時(shí)，得到再有，當(dāng)時(shí)，在上遞減，因而要使 ,只要即可所以當(dāng)時(shí)，就有，即證得成立。

12、 *例7 設(shè)f在a,b上連續(xù)，且，試證： （3.10）證 設(shè)(若M=0,則,(3.10)式顯然成立)。，使得，于是有又因，所以;由此得到由于，因此由的任意性，便證得（3.10）式成立. 說明 設(shè),由,是否又可類似地推出由極限的唯一性，這個(gè)結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的，請你指出推導(dǎo)過程在何處無法通過。例8 證明：若，則有 （3.10）證 這里只證(3.11)的前一等式，在證明之前，先對此極限式作一幾何解釋：如圖9-7所示，當(dāng)振動(dòng)頻率無限增大時(shí)，的圖形位于x軸上方部分的正面積與位于x軸下方部分的負(fù)面積將趨于正、負(fù)相抵消而為零。首先，由f可積，使得記T所屬小區(qū)間，而于 ， ，因此得到 又因?yàn)楫?dāng)分割T隨而確定后，

13、為一非負(fù)常數(shù)，故當(dāng)時(shí)，于是便證得當(dāng)時(shí)，有，即（3.11）的第一式成立。 說明 本例結(jié)論（3.11）又叫做勒貝格(Lebesgue)引理，在以后證明傅里葉（Fourier）級數(shù)收斂定理時(shí)，這是一個(gè)不可缺少的預(yù)備知識(shí)。§4微積分學(xué)基本定理·定積分計(jì)算（續(xù)）例1 求解 由上面對問題3（2）的提示，設(shè)法把積分區(qū)間移到上去，為此設(shè)，利用f 周期性質(zhì)（以2為周期），首先有又因經(jīng)換元可使，經(jīng)換元，可使，所以有再令，便求得 = 例2 求解 在無法直接求出原函數(shù)，也無法直接使用換元積分法與分部積分法的情形下，常采用分段積分，而后消去難以積出的部分，為此設(shè)由于，因此消去后得到 例3 證明：（1

14、），；（2）若f在0，1上連續(xù)，且滿足，則有證 （1）利用換元積分法，可得 （2）首先，由條件可知；又由積分第一中值定理，使得 ；再由上面（1），又得；這就證得 例4 設(shè)f在a,b上有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，且，證明：（1）；（2）證 （1）利用分部積分法，可得 ，移項(xiàng)后即得結(jié)論成立。 （2）一種證法是直接利用（1）的結(jié)論： ，其中的 例5 利用積分第二中值定理證明：（1）；（2），使證 （1）由積分第二中值公式（4.5）,使得 （2）作變換，化為適宜用積分第二中值定理的形式：由積分第二中值公式（4.4）,使有取，顯然，從而證得 例6 設(shè)f在（A，B）內(nèi)連續(xù)，證明證 由于f在（A，B）內(nèi)連續(xù)，因此在（A，B）內(nèi)處處可導(dǎo)，且，據(jù)此便有，于是就可證得 = 例7 設(shè)f在a,b上可導(dǎo)，且，（1），（2）證 （1）由可積，據(jù)牛頓-萊布尼茨公式便有；， （2）類似地，再由施瓦茨不等式又得 ，例8 設(shè)f是上的連續(xù)函數(shù)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)積分與y無關(guān)時(shí)，f為周期函數(shù)（周期2）。證 首先有如果與y無關(guān)，則必使，由此知道y為一以2為周期的周期函數(shù)。反之，如果f為一周期函數(shù)（周期為2），則滿足由此又可反推知，說明與y無關(guān) 例9 設(shè)f為0，上的任一凸函數(shù)，證明：在（0，）上也是一個(gè)凸函數(shù)。證 由