重力加速度測定方法的分析與比較

1、重力加速度測定方法的分析與比較劉杰摘要：本文根據(jù)所測實驗數(shù)據(jù)對單擺法、落球法及傾斜氣墊導軌法這三種常用方法所測的重力加速度進行了分析、比較和修正。并對實驗所需儀器，方法及實驗原理作了簡要介紹。實驗測得數(shù)據(jù)分別用作圖法、最小二乘法及列表法進行了精確的處理，并對實驗中發(fā)現(xiàn)的問題進行了分析和說明。總結(jié)了實驗中需注意的事項及數(shù)據(jù)處理中的技巧，并分別對三種測定方法的實驗原理公式進行了修正。 關鍵詞：單擺 自由落體 氣墊導軌 作圖法 最小二乘法 列表法Gravity is the determination of the method of analysis and comparisonLiuJieAbs

2、tract: The measured data on the basis of experiments on pendulums and dropped the ball and falls of the present guide three common method of gravity is measured in the analysis and comparison and fixed. About the necessary instruments and methods and experiment make a brief introduction to the princ

3、iple of. Experiment to test data, for the law, the multiplication and the list out the exact handling, and about the question was analysed and instructions. Summed up the experiment to attention and data processing techniques and for three to the principle of the formula have been corrected .Keyword

4、: Simple pendulum Free falling body Air track Method of construction Least square method Tabulation method 目錄緒論 1第1章 單擺法 21.1 實驗器材介紹 21.2 實驗原理 21.3 數(shù)據(jù)處理及分析 31.4 誤差分析 81.5 公式修正 9第2章 落球法 112.1 實驗器材介紹 112.2 實驗原理 112.3最小二乘法分析處理數(shù)據(jù) 122.4 誤差分析 15第3章 傾斜氣墊導軌法 173.1 實驗器材介紹 173.2 實驗原理 183.3 列表法分析處理數(shù)據(jù) 193.4 誤差分

5、析 213.5 公式修正 21第4章 測量重力加速度方法的比較及拓展 244.1 前三種測量方法的優(yōu)缺點 244.2 測量重力加速度測量方法的改良簡述 25總結(jié) 29致謝 30參考文獻 31緒 論重力加速度是物理學中一個重要參量。地球上各個地區(qū)重力加速度的數(shù)值，隨該地區(qū)的地理緯度和相對海平面的高度而稍有差異。一般說，在赤道附近重力加速度值最小，越靠近南北兩極，重力加速度的值越大，最大值與最小值之差約為1/300。研究重力加速度的分布情況，在地球物理學中具有重要意義。利用專門儀器，仔細測繪各地區(qū)重力加速度的分布情況，還可以對地下資源進行探測。準確測定重力加速度g值對于計量學，地球物理學，地震預報

6、，重力探礦和空間科學都有著重要的意義。第一章 單擺法1.1 實驗器材介紹單擺法測重力加速度所用到的實驗儀器非常常見，包括鐵架臺、擺線、實心鋼球、鋼圓柱、游標卡尺、鋼卷尺及秒表。擺線應選用質(zhì)輕，拉伸性弱，韌性強的細線。擺球則需密度大，體積小。實驗中游標卡尺、鋼卷尺、秒表的型號和規(guī)格如下表所示：游標卡尺鋼卷尺秒表規(guī)格0-50cm0-1m型號1.2 實驗原理單擺是由一根不能伸長的輕質(zhì)細線和懸在此線下端體積很小的重球所構(gòu)成。在擺長遠大于球的直徑，擺球質(zhì)量遠大于線的質(zhì)量的條件下，將懸掛的小球自平衡位置拉至一邊（很小距離，擺角小于5°），然后釋放，擺球即在平衡位置左右作周期性的往返擺動，如圖1.

7、2.1所示。f =P sinf P = mgL圖1.2.1 單擺原理圖擺球所受的力f是重力和繩子張力的合力，f指向平衡位置。當擺角很小時（<5°），圓弧可近似地看成直線，f也可近似地看作沿著這一直線。設擺長為L，小球位移為x，質(zhì)量為m，則 （1.2.1）由，可知式中負號表示f與位移x方向相反。 單擺在擺角很小時的運動，可近似為簡諧振動，比較諧振動公式：可得 于是得單擺運動周期為： （1.2.2） （1.2.3）或 （） 利用單擺實驗測重力加速度時，一般采用某一個固定擺長L，在多次精密地測量出單擺的周期T后，代入（1.2.4）式，即可求得當?shù)氐闹亓铀俣萭。1.3 數(shù)據(jù)處理及分析

8、由式可知，T2和L之間具有線性關系，為其斜率，如對于各種不同的擺長測出各自對應的周期，則可利用T2L圖線的斜率求出重力加速度g。 公式法分析處理數(shù)據(jù)測得的實驗數(shù)據(jù)如表.1為：次數(shù)L1（cm）鋼柱高d(cm)初始測點x擺長 (cm)25個周期t (s)周期T(s)重力加速度g(cm/s2)1124.002.9981.008124.5156.0256.049.7882124.023.0001.00656.123124.023.0021.00456.184124.023.000 1.00855.925124.023.0001.00655.95平均124.023.0001.00656.04表1.3.1

9、.1 實驗數(shù)據(jù)1、多次測量引入的不確定度（A類不確定度）其中，=56.04，但n取15時，分別為56.02、56.12 56.18、55.92、55.95、56.04故=0.022秒而，=124.02cm，n取1至5時，分別為124.00、124.02、124.02、124.02、124.02故=0.0013cm。同理求得、2、儀器精度引入的不確定度（B類不確定度）鋼卷尺=0.2mm，卡尺=0.05mm，則秒表=0.1s，所以3、合成不確定度由知，故而有即，綜上所述有，即g值為 作圖法分析處理數(shù)據(jù) 用球作擺子時，測量球直徑d共3次，分別為2.320cm、2.312cm、2.316cm，測量擺長

10、L和周期t為表.1所示： 改變擺長n次每次測量次數(shù)m擺線長L/cm周期t/s 1 1121.20111.04 2121.32111.11 3121.22111.10 2 1112.15107.27 2112.10107.19 3112.08107.18 3 1101.88101.90 2101.90101.90 3101.90101.88 4 191.8096.78 291.8296.83 391.7996.76 5 180.5090.71 280.5590.75 380.5690.76表1.3.2.1 實驗數(shù)據(jù)其中d=1/3（2.320+2.312+2.316）=2.316則每次擺長L和周期

11、t平均值計算后為表.2所示：測量次數(shù)n擺長均值L+0.5d周期均值t1122.405111.0832113.268107.2133102.051101.893491.96196.790580.69190.740表1.3.2.2 計算表格又由于T的平方與L成正比，將它們化為最簡后處理后為表格.3所示：測量次數(shù)n擺長均值（L+0.5d）/m周期T的平方/1000011.224051.2339421.132681.1494631.020511.0382240.919610.9368350.806910.82337表1.3.2.3 處理表格根據(jù)上述實驗數(shù)據(jù)繪制圖像下圖.4所示：表1.3.2.4 L與t

12、方關系圖其中縱坐標為t方，橫坐標為L由上圖知L與t方是成正比的關系，而為其斜率，又（為測定時間的周期數(shù)），剛好與t方指數(shù)約掉，其斜率均值求得為1.0079，故而g=3.14159×3.14159/1.0079 m/s2，即g=9.7922 m/s2 當用圓柱體作擺子，測得圓柱體高h分別為：2.984cm、2.990cm、2.986cm，測得擺長、周期為表.5所示：改變擺長n次每次測量次數(shù)m擺線長L（cm）周期T（s） 1178.6289.83278.6689.85378.5989.88 2189.3095.62289.3495.62389.2995.64 3197.86100.052

13、97.84100.06397.90100.03 41108.00105.062108.08105.083108.08105.09 51118.87110.102118.81110.113118.80110.10表1.3.2.5 實驗數(shù)據(jù)其中d=1/3（2.984+2.990+2.986）=2.983cm經(jīng)計算有表格.6，如下表：測量次數(shù)n擺長均值L+0.5d/cm周期均值t/ms180.11589.850290.80295.627399.358100.0474109.545105.0775120.318110.103表1.3.2.3 計算表格又由于T的平方與L成正比，將它們化為最簡后得到表格.

14、7為：測量次數(shù)n擺長均值（L+0.5d）/m周期T的平方/1000010.801150.8073020.908020.9144530.993581.0009441.095451.1041251.203181.21227表1.3.2.7 處理表格根據(jù)上述實驗數(shù)據(jù)繪制圖像為圖.8所示：表1.3.2.8 L與t方關系圖其中縱坐標為t方，橫坐標為L由上圖知L與t方是成正比的關系，而為其斜率，又，剛好與t方指數(shù)約掉，其斜率均值求得為1.01175，故而g=3.14159×3.14159/1.01175 m/s2，即g=9.7550 m/s2 1.4 誤差分析 單擺測量g的方法依據(jù)的公式是,這個

15、公式的成立是有條件的，否則將使測量產(chǎn)生如下系統(tǒng)誤差: 1. 單擺的擺動周期與擺角的關系，可通過測量<5°時兩次不同擺角1、2的周期值進行比較。在本實驗的測量精度范圍內(nèi)，驗證出單擺的T與無關。 實際上，單擺的周期T隨擺角增加而增加。根據(jù)振動理論，周期不僅與擺長L有關，而且與擺動的角振幅有關，其公式為：T 式中T0為接近于0o時的周期，即2懸線質(zhì)量m0應遠小于擺球的質(zhì)量m，擺球的半徑r應遠小于擺長L，實際上任何一個單擺都不是理想的，由理論可以證明，此時考慮上述因素的影響，其擺動周期為： 3如果考慮空氣的浮力，則周期應為：式中T0是同一單擺在真空中的擺動周期，空氣是空氣的密度，擺球

16、是擺球的密度，由上式可知單擺周期并非與擺球材料無關，當擺球密度很小時影響較大。4忽略了空氣的粘滯阻力及其他因素引起的摩擦力。實際上單擺擺動時，由于存在這些摩擦阻力，使單擺不是作簡諧振動而是作阻尼振動，使周期增大。1.5 公式修正單擺原理的計算公式為，該式為一個近似公式，沒有考慮擺球的擺角大小，擺線的質(zhì)量，擺球的質(zhì)量分布及空氣的浮力，若考慮這些客觀存在的因素，則必須對該式進行公式修正： 擺角的修正 一個實際的擺不一定是理想的單擺，若將其看成剛體考慮，且擺角不容忽略時，則根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，則有，其中I為擺球的轉(zhuǎn)動慣量，則擺球的運動周期為，由于高次項對T影響可忽略不計，因此上式可寫為，整理該式可得，這便

17、基本修正了擺角引入的誤差。 非質(zhì)點修正 如擺線的質(zhì)量m，擺球的質(zhì)量M分布不能忽略時方程為則需變?yōu)橐蚨?，所以剛體的運動周期即，此式便是考慮了擺角、擺線所引入的誤差的修正公式。1.5.3空氣浮力修正 因為空氣浮力的影響，則剛體的運動方程則為： (.1)其中為空氣密度，V為擺球體積，為擺球密度，則剛體的周期為兩邊平方，略去高次項，得到 (.2)故而g值為，此式是考慮了擺角大小，擺線的質(zhì)量，擺球的質(zhì)量分布及空氣浮力這些因素后，對公式T2=L作出的修正。若令修正項，則單擺的修正公式可寫為 (.3)第2章 落球法 2.1 實驗器材介紹 該實驗用到自由落體測定儀，鋼卷尺以及數(shù)字毫秒計。自由落體實驗儀器裝置

18、主要由自由落體裝置和計時器兩大部分組成。自由落體裝置則由支柱、電磁鐵、光電門和捕球器構(gòu)成。其主體是一個有刻度尺的立柱，其底座上有調(diào)節(jié)螺絲可用來調(diào)豎直。立柱上端有一電磁鐵，可用來吸住小鋼球 電磁鐵斷電后，小鋼球即自由下落落入捕球器內(nèi)。立柱上裝有兩對可沿立柱上下移動的光電門。本實驗用的光電門由一個小的紅外發(fā)光二極管和一個紅外接收二極管組成， 并與數(shù)字毫秒計相接。 紅外發(fā)光二極管對準紅外接收二極管， 二極管前面有一個小孔可以減小紅外光束的橫截面。 小球通過第一個光電門時產(chǎn)生的光電信號觸發(fā)數(shù)字毫秒計開始計時， 通過第二個光電門時使之終止計時， 因此，數(shù)字毫秒計顯示的結(jié)果是兩次遮光之間的時間， 亦即小球

19、通過兩光電門之間的時間。數(shù)字毫秒計有二路光電門信號輸入（電脈沖信號輸入）和一路電頻率信號輸入。機器連接的光電門被擋光時，測時器可測得二次擋光之間的時間（范圍可在50us99s之間）。利用頻率輸入口，可測得輸入信號的頻率（可測頻率范圍1HZ500KHZ）。2.2 實驗原理在重力作用下，物體的下落運動是勻加速直線運動。這種運動可以表示為： （）式中s是在時間t秒內(nèi)物體下落的距離，g是重力加速度。如果物體下落的初速度為零，即，則 （2.2.2）可見，如果能測得物體在最初t秒內(nèi)通過的距離s，就可以算出重力加速度值g。實際中由于v0=0這一條件不易達到，往往造成小球通過第一光電門時有一初速度v0，測得的

20、時間值比小球?qū)嶋H下落時間短，使測得結(jié)果g值偏大。同時，測量s也有一定困難，所以我們可以采取測量兩次下落的高度差來消除誤差。若，兩式相減整理有，即 （ 2.2.3）上述測定重力加速度值的實驗，還可以用稍微不同的方式進行。如圖2.2.1所示，讓物體從O點開始自由下落，設它到達點A的速度為v1。從點A開始，經(jīng)過時間t1后，物體到達B點。令A、B間的距離為s1，則 （2.2.4）OOABs1ABs2圖2.2.1 自由落體示意圖 若保持前面所述的條件不變，則從點A起，經(jīng)過時間T2后，物體到達點B。令A、B間的距離為s2 ,則 （ 2.2.5） 將式(2.2.5)×t1-(2.2.4)×

21、;t2 ，得 ， 因而有 （）2.3 最小二乘法分析處理數(shù)據(jù)該實驗分兩次進行， A、B兩光電門的固定情況不同，那么小球下落時經(jīng)過相同的距離時所用時間不同，以此作比較。下落時A光電門不變用自由落體法測量重力加速度測定的實驗數(shù)據(jù)為表.1所示：/cm /ms50182.24182.22182.29182.23182.1870233.66233.56233.60233.43233.4990279.59279.62279.57279.76279.66110321.32321.32321.41321.37321.39表2.3.1.1實驗數(shù)據(jù)根據(jù)知當兩邊同時處以t時得到，又令，則有，該式為一直線方程?，F(xiàn)又令

22、，設誤差項為。故而有、 、將上述4個式子兩邊平方后求和得到2.3.1.1，其中、是最小二乘法估計值，是滿足使為極小求得的估計值。即有下列式子成立： 及，有此二式代入2.3.1.1中得到式子2.3.1.2及.2.3.1.3，聯(lián)立兩式得擬合直線的軸截距和斜率的最小二乘法估計值、為： 、 將單位標準化后得到、值如表格.2所示：12340.1822320.2335140.2796380.3213582.743762.997683.218453.42297表2.3.1.2計算表格由此可求得、 、 、 、 、 又因為、 故而有及代入數(shù)據(jù)求得、因此、，則而標準差為、，所以、綜上所述，則有、即、下落時B光電門

23、不變 測得的實驗數(shù)據(jù)為表.1所示：/cm /ms4087.87687.91387.89487.89187.91360139.33139.30139.34139.32139.3080199.08199.08199.13199.11199.14100273.63273.63273.62273.66273.61 表2.3.2.1實驗數(shù)據(jù)根據(jù)2.3實驗一中的實驗原理和處理方法處理數(shù)據(jù)，將單位標準化后得到、為下表.2所示：12340.0878970.1393180.1991080.2736304.5507814.3066944.0179203.654570表2.3.2.2計算表格 由此可求得、 、 、

24、、 、 、 又因為、 故而有及代入數(shù)據(jù)求得、因此、，則而標準差為、，所以、綜上所述，則有、即、2.4 誤差分析該實驗原理是運用運動方程，理論上公式不需要修正，但是實驗中不可免的存在測量誤差。包括儀器誤差和人為誤差、環(huán)境誤差。儀器誤差的大小需要改進實驗設備，人為誤差可以由多次測量來減小，這里主要說明環(huán)境誤差。實驗中應考慮空氣阻力問題，鋼球下降速度極快，會受到空氣阻力，由于空氣密度一定，一般不易改變，根據(jù)知，減小鋼球的體積可以減小阻力，所以實驗中應采用較小的鋼球。而其他的溫度因素及浮力因素對實驗的影響太小，可以忽略不計。故而實際上實驗測得的初速度偏小，加速度g也偏小。對于這個實驗中的兩次測量中，實

25、驗一測得的加速度g值更接近理論值（實驗一測得、實驗二測得），但實驗二測得的數(shù)據(jù)經(jīng)處理知，該組數(shù)據(jù)的各數(shù)據(jù)點更接近擬合直線（、），數(shù)據(jù)的誤差值更?。◤乃俣葋碚f，實驗一、實驗二）。故而從數(shù)據(jù)的測量準確度來說，第二組數(shù)據(jù)更理想。但是從實驗結(jié)果與理論值比較，實驗一卻更接近理論值。在都沒有考慮空氣阻力的情況下，產(chǎn)生這種實驗結(jié)果的最可能原因之一是：實驗儀器問題，兩次實驗并不是用同一實驗儀器完成。原因之二是：第二組實驗中B光電門不變，測得的是位于130cm處，但實際不到130cm。這個錯誤既使測得的加速度偏小，也不會影響實驗數(shù)據(jù)處理出來的直線擬合度及測量誤差。第3章 傾斜氣墊導軌法3.1 實驗器材介紹 實驗

26、所需器材如下表3.1.1所示表3.1.1 實驗儀器設備清單器材名稱型號規(guī)格數(shù)量氣墊導軌QG150-1690×120×174 mm1智能數(shù)字測時儀CS-Z50us99s1滑塊*3天枰*1墊塊*5光電門*2游標卡尺*1將氣墊導軌放置在實驗桌上，接通并啟動起源，將一滑塊放置在導軌的中點及距兩端的四分之一處，看滑塊是否靜止或作不定向的游動。如果是，則導軌已處于水平狀態(tài)。如果滑塊朝一個方向運動，可調(diào)節(jié)氣軌端部的旋鈕，就可將氣軌調(diào)平。調(diào)平導軌本應是將平直的導軌調(diào)成水平方向，但是實驗室現(xiàn)在的導軌都存在一定的彎曲，因此“調(diào)平”的意義是指將光電門A、B所在兩點，調(diào)到同一水平線上（如圖3.1.

27、2所示）.圖3.1.2導軌調(diào)平示意圖假設導軌上A、B所在兩點已在同一水平線上，則在A、B間運動的滑塊，因?qū)к墢澢鷮λ\動的影響可以抵消，但是滑塊與導軌間還存在少許阻力，所以以速度通過A門的滑塊，到達B門時的速度，將是，由于阻力產(chǎn)生的速度損失等于 （） 式中為粘性阻尼常量，s為光電門A、B的距離，為滑塊的質(zhì)量。參照上述討論，可以提出如下檢查調(diào)平的要求： （1）滑塊從A向B運動時，；相反時。由于擋光片寬相同，所以AB時，相反時（速度均取正值）。（2）由A向B運動時的速度損失，要和相反運動時的速度損失盡量接近。一般導軌上滑塊的值在（25）×之間，設，光電門A、B間的距離S=0.375m，=

28、0.3，則。3.2實驗原理傾斜軌上的加速度與重力加速度的關系：設導軌傾斜角為，滑塊質(zhì)量為，則 （） 上式是在滑塊運動時，不存在阻力時才成立。實際上滑塊在氣軌上運動雖然沒有接觸摩擦，其阻力F阻和平均速度成比例，即 （3.2.2）上式中的比例系數(shù)b，稱為粘性阻尼常量，考慮此阻力后，式為 （） 整理后，重力加速度等于 （） 測量加速度可參照下面三公式之一去進行 （） （） （）式中、為滑塊擋光片通過A、B門的時間長度，為擋光片第一前沿由A門到B門的時間。式3.2.5的依據(jù)是，由于用平均速度代替瞬時速度而存在系統(tǒng)誤差，系統(tǒng)誤差的大小和滑塊初始位置到A門距離及有關，越小誤差也越小。式3.2.6的依據(jù)是，

29、它也是由平均速度代替瞬時速度，但是分母項中的附加項就是針對此時的系統(tǒng)誤差而加入的修正項，即用式3.2.6計算加速度時，不存在由于用代替的系統(tǒng)誤差。3.3 列表法處理數(shù)據(jù) 調(diào)平氣軌后測出粘性阻尼測量，其次將氣軌一端墊高，測出二支點間距離,則 （）用幾個不同高度的墊塊，改變傾斜角，分別測量值。數(shù)字測時計用2pr檔，時標信號用1ms。在測完和后，要用一金屬片或黑紙將U形擋光片的豁口蓋住，去測。而且滑塊的起始位置要和前面的測量相同。傾斜氣墊導軌上測定重力加速度數(shù)據(jù)及處理（檔光片寬度）導軌前后腳距離L= 140 cm 滑塊質(zhì)量= 249 g = 測得的實驗數(shù)據(jù)為表所示：測量量數(shù)據(jù)墊塊高度次序（mm/s）

30、(mm/s)（）1300.253202.13849.29265.8529.7792300.751202.24949.5463300.432202.27749.3874300.263202.14749.2935300.667202.30149.4281420.544288.37199.546131.5289.6902420.229288.17399.4833420.600288.26899.8064420.251288.19499.4925420.597288.26399.8111552.712408.836151.525201.9459.7822552.644408.782151.517355

31、2.467408.594151.4524552.189408.302151.4455522.499408.616151.4581691.545531.784202.440270.0609.7942691.822531.941202.4733691.610531.806202.4344691.325531.717202.3085691.709531.552202.6151842.037681.648253.382337.6949.8012842.525682.003253.1843842.151681.709253.3744842.257681.944253.2585842.693681.889

32、254.159表3.3.1實驗數(shù)據(jù)據(jù)實驗數(shù)據(jù)得出重力加速度的平均值： 經(jīng)計算，平均值的標準不確定度為： 即氣墊導軌測得的加速度為： 本實驗是利用滑塊的重力加速度，進行測量的。反復實驗釋放滑塊的高度相同，整過實驗系統(tǒng)沒有太大變化。算后我采用列表的方法，這樣比較直觀，容易理解。 3.4誤差分析實驗中，由于系統(tǒng)誤差的存在，必然影響測量結(jié)果的精確性，特別是當隨機誤差較小時，系統(tǒng)誤差就成為影響測量精確度的主要因素。歷史上，一些物理常量精確度的提高，往往得益于系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和補正。因此，制訂實驗方案時， 如何發(fā)現(xiàn)和消除系統(tǒng)誤差就特別重要。但系統(tǒng)誤差的處理不像隨機誤差那樣有完整的理論和方法，需要根據(jù)具體情況

33、采取不同的處理方法。在某種意義上說，有賴于實驗者的實驗素質(zhì)，實際經(jīng)驗的積累和巧妙的實驗技巧。本實驗通過對存在于氣墊導軌實驗中的系統(tǒng)誤差的分析處理實例，學習分析發(fā)現(xiàn)并對系統(tǒng)誤差進行修正的方法。 3.5 公式修正氣墊導軌是目前力學實驗中一種較精密的儀器，在氣墊導軌實驗中，由于氣墊對滑塊產(chǎn)生的漂浮作用，避免了容易引起實驗誤差的滑動摩擦力的影響；另一方面，在計時上又采用了光電計時的方法，使時間測量達到很高的精度。照例，氣墊實驗理應得到更高的精確度。但事實上，如果實驗方法不合理，或者沒有對實驗過程中的系統(tǒng)誤差作適當?shù)难a正，則這些系統(tǒng)誤差也將在氣墊導軌這種靈敏的儀器上反映出來，造成實驗結(jié)果不理想。因此，深

34、入分析氣墊導軌實驗中系統(tǒng)誤差的來源和修正的方法成為氣墊導軌實驗中十分重要的問題。下面分別討論氣墊導軌實驗中常見的幾種系統(tǒng)誤差及修正方法。 滑塊在導軌上運動時，雖然沒有滑動摩擦阻力，但要受到粘性內(nèi)摩擦阻力的作用，從而對滑塊的運動產(chǎn)生一定的影響，造成附加的速度損失?？梢宰C明，當滑塊的速度不是很大時，單純在粘性內(nèi)摩擦阻力作用下，其相應的速度損失為 （）式中，為粘性阻尼常量，為滑塊的質(zhì)量，為滑塊運動所經(jīng)過的距離。 在一般的氣墊導軌實驗中，粘性內(nèi)摩擦力所引起的速度損失造成的系統(tǒng)誤差對結(jié)果的影響和具體實驗參數(shù)的選擇有關，舉例說明如下： 設導軌的阻尼常量=3.0g/s，滑塊的質(zhì)量=235.0g，則當滑塊運動

35、的距離分別為10.0cm和100.0cm時，速度損失分別為 s = 10.0cm s = 100.0cm 又如果滑塊的實測速度為u=10.0cm/s時，在以上兩個不同距離時速度損失所占的百分比分別為1.3%和13%，后者就非修正不可。另外，在實驗安排中，如使滑塊速度增大到50.0cm/s，則相應的百分比降為0.26%和2.6%。從本實例可知，在實驗中為了避免和減少粘性速度損失所引起的系統(tǒng)誤差，在不增加其他誤差的前提下，適當縮短距離和選用較大的速度是有利的。例如，在水平導軌上進行碰撞實驗時，應盡可能縮短滑塊自碰撞點到測速點之間的距離，并適當選用較大的碰撞速度。如果碰撞點到測速點的距離較大，則應加

36、以修正。 在傾斜導軌測重力加速度的實驗中，對粘性內(nèi)摩擦力所引起的系統(tǒng)誤差修正就更復雜些?；瑝K的運動方程為 （） 當存在粘性內(nèi)摩擦力作用時，實測滑塊經(jīng)過光電門及的速度為及（中同時包含有速度損失及因滑塊從運動到所用的時間的變化所帶來的影響）， t為有粘性內(nèi)摩擦力的情況下，滑塊從到的時間，它要比無阻尼力時長。對式（）作變換并積分： （2.3.3） （2.3.4） （2.3.5）上式中， 為有粘性內(nèi)摩擦后，測得的加速度用表示，為沒有粘性內(nèi)摩擦時，理論加速度值、即重力加速度沿斜面方向的分加速度，用a表示，最后一項的量綱為加速度的量綱，可看作粘性內(nèi)摩察力所引起的附加加速度，用表示，而為滑塊從到的平均速度，

37、 。因此，在傾斜導軌測量重力加速度的實驗中，考慮到粘性內(nèi)摩擦力的影響后，對實測加速度應作如下的修正，即 （2.3.6）測量中用平均速度代替瞬時速度所引起的系統(tǒng)誤差。如果不考慮粘性內(nèi)摩擦阻力的影響，用下式 （2.3.7） 測滑塊沿斜面下滑的加速度。公式（2.3.7）中，、均是瞬時速度，而則是相應于該兩瞬時的時間間隔。但在氣墊導軌實驗中，所測的和均是某段時間間隔內(nèi)的平均速度，因而代入公式（2.3.7）計算加速度時，就存在系統(tǒng)誤差。設以滑塊開始運動作為計時起點，則和分別表示置于滑塊上中間開槽的擋光片的前沿到達光電門的時間，而和分別表示寬度為s的擋光片經(jīng)過光電門A和B時擋光的時間。不能看作A點和B點的

38、瞬時速度?？紤]到勻加速運動的性質(zhì)，和應分別是及時刻的瞬時速度，而該兩瞬時相應的時間間隔為, 因而式（2.3.7）應修正為 （2.3.8）第4章 測量重力加速度方法的比較及拓展4.1 前三種測量方法的優(yōu)缺點一、從實驗的原理公式來說：由于單擺測重力加速度是一個近似公式，是將單擺看作一維振子的簡諧運動來處理。但是小球運動軌跡是圓弧，是二維的，因此原理公式需要修正。而自由落體法測量重力加速度和傾斜氣墊導軌法測量重力加速度的原理公式可由測量數(shù)據(jù)直接求出加速度，是標準公式。所以從實驗原理及公式準確性來說，無疑自由落體法和傾斜氣墊導軌法測量重力加速度比用單擺法要合理些。二、從對實驗儀器的要求來說：依據(jù)前三章

39、對各個實驗的介紹知道，單擺實驗只需要鐵架臺和秒表、游標卡尺、米尺、細線、小球等簡單的測量工具，而落球法測量重力加速度則還需要光電門和數(shù)字毫秒計這兩個電器設備，傾斜氣墊導軌測重力加速度所需儀器就更多了，有氣墊導軌、智能數(shù)字測時儀、天平、光電門、滑塊、游標卡尺、墊塊等。因此對實驗儀器的要求來說，單擺法對實驗儀器的要求低得多。三、從測量的簡易程度來說：落球法測量重力加速度是測量數(shù)據(jù)最少的，人工測量極少，主要數(shù)據(jù)均由數(shù)字毫秒計上讀出，且其原理簡單，故而測量的數(shù)據(jù)也較少。所以落球法是最節(jié)時省事的一種方法。四、從外界條件的影響來說：外界條件的影響，包括多個方面，環(huán)境因素、人為測量因素、儀器調(diào)節(jié)等方面。環(huán)境

40、因素的影響普遍存在，且難以修正，但是對測量結(jié)果影響不大。人為測量的誤差可以由多次測量來減小。實驗中儀器的調(diào)節(jié)是非常重要的，很容易產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，使得某些測量數(shù)據(jù)偏大或是偏小，從而影響實驗結(jié)果。通過分析，若實驗中存在因?qū)嶒瀮x器未能調(diào)節(jié)好而產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，對實驗結(jié)果影響最大的是落球法。最困難調(diào)節(jié)的是兩個光電門的水平，以及小球下落時，廣電門能否經(jīng)過小球中心。否則可能會使得小球?qū)嶋H下落距離大于或小于兩光電門的距離，而這段距離差會對結(jié)果產(chǎn)生較大影響。還有需注意光電門出有導線存在，如果小球下落時碰到導線更會使得加速度偏小，甚至是導致結(jié)果錯誤。并且落球法測量中，由于電磁鐵剩磁的影響，會使小球下落與光電門計時不同

41、步，并且光電門的光源不是理想的線光源，發(fā)散角大，光接收部分又易受干擾，還有，小球下落過程中，難以保證擋光部位都相同，因而實驗中距離和時間就不易測準。在不同的條件下需要采用不同的方法來測量重力加速度，每種方法均有其缺點和優(yōu)勢。4.2 測量重力加速度測量方法改良的簡述 單擺法、落球法及傾斜氣墊導軌法是我們較常用的測量重力加速度值的方法。此外還有許多其他測量重力加速度的方法。例如：可逆擺測量、MCS-51單片機系統(tǒng)測量、打點計時器測量、圓錐擺測量、傳感器測量等測量重力加速度的方法，這里我利用傳感器對單擺法和落球法這兩種方法測量進行改良。 單擺法測重力加速度方法改良：設計思想單擺法測重力加速度實驗中主

42、要誤差來源于計時誤差，因此我們可以采用計算機來采集和處理數(shù)據(jù)，得出實驗結(jié)果，如利用朗威數(shù)字化物理實驗平臺、微機。 其實驗裝置為： 4.2.2.1改良單擺法測重力加速度實驗裝置 實驗原理：根據(jù)單擺周期公式可得：，測出擺長和周期即可求出重力加速度。實驗過程：（1）取出單擺傳感器，接入數(shù)據(jù)采集器的第一輸入口。（2）選擇“設置”-“雙次計數(shù)”。（3）如圖1，在單擺擺球的下面安裝10毫米長的絕緣棒（質(zhì)量最好稍大），調(diào)整擺長和光電門的位置，使火柴桿可通過光電門之間的窄縫，在其間的平面內(nèi)自由擺動。（4）讓單擺自由擺動，點擊“開始計時”。（5）讓單擺振動十次，點擊“結(jié)束計時”，并記錄數(shù)據(jù)。（6）測出擺長即可求出重力加速度。用落球法測量重力加速度的方法改良1、設計思想 實驗采用自制激光光電計時器，可以避免原發(fā)光二極管光電門、易受干擾等缺點，激光光電計時器準確度高，調(diào)整方便，穩(wěn)定可靠，抗干擾能力強，適合于測量物體運動的時間。激光束線性好，直觀性強，擋光位置容易確定，并可以訓練學生調(diào)節(jié)光路。實驗原理物體由靜止自由下落時，其運動方程為 （4.2.2.1）式中為物體下落的路程，為重力加速度，為物體下落時間，若物體下落時具有初速度，自由下落時，其運動方程為 （.2）實驗裝置介紹與原實驗比較，該實