第3章一元函數(shù)積分學312(第二換元積分法(2)與分部積分法)

1、中南大學開放式精品示范課堂高等數(shù)學建設組中南大學開放式精品示范課堂高等數(shù)學建設組高等數(shù)學高等數(shù)學A A3.1.4 3.1.4 換元積分法換元積分法3.1.5 3.1.5 分部積分法分部積分法第二第二換元積分法換元積分法積分法積分法 換元換元積分法習例積分法習例1-53.1 3.1 不定積分不定積分3.1.4 不定積分的換元積分法不定積分的換元積分法分部積分法分部積分法 分部積分法習例分部積分法習例6-193.1.5 不定積分的分部積分法不定積分的分部積分法小結與思考題小結與思考題換元積分法與分部積分法換元積分法與分部積分法 )()()()(xtdtttfdxxf 則有換元公式則有換元公式并且并

2、且0)( t ，一、第二換元積分法一、第二換元積分法應用過程應用過程:( )( ) ( )( )xtf x dxftt dt dttg )(Ct )(. )()(Cxxt 第二換元積分法習例第二換元積分法習例例例1 計算計算dxxx 251例例2 計算計算.11dxex 例例3 計算計算dxxx )2(17例例4 計算計算.1124dxxx 例例5 計算計算.)1(13dxxx 積分中為了消去根式并不一定采用三角積分中為了消去根式并不一定采用三角代換，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定代換，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.例例1 計算計算dxxx 251（三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣）21 xt 令令,

3、122 tx,tdtxdx xdxxxdxxx 242511 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.)1()1(32)1(51212325222Cxxx 解解(1)224251211dxxxdxxx 解解(2)222211)1)(1(21dxxxx 222211)1(121dxxxx 222211)21(121dxxxx )1(11)12)1(21222223xdxxx .)1()1(32)1(51212325222Cxxx 例例2 計算計算解解.11dxex xet 1 令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122Ctt 11ln.11ln2

4、Cxex ,1ln2 txCeexx 1111ln當分母的階較高時當分母的階較高時, 可采用倒代換可采用倒代換.1tx 例例3 計算計算dxxx )2(17tx1 令令,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解例例4 計算計算解解.1124dxxx dxxx 1124tx1 令令,12dttdx dtttt 22411111（分母的階較高）（分母的階較高）dttt 231222121dttt 22211121dttt )1()111(21222tdtt Ctt 2321)1(31.11312

5、32Cxxxx 當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時時,可采用令可采用令 (其中其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)) lkxx,ntx n例例5 計算計算.)1(13dxxx 解解 令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 二、不定積分的分部積分法二、不定積分的分部積分法問題問題 ?dxxexxe dxxxde和和哪一個計算簡單？哪一個計算簡單？解決思路解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則可將利用兩個函

6、數(shù)乘積的求導法則可將 化為容易積分的化為容易積分的 形式形式.xxdexe dxxxxdxee dxxdexxxxdedxee dx即即兩邊積分，得兩邊積分，得xxxxxxdedxee dxxeeCxxe dx 設設函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv , vdxudxuvdxvu定理定理 ,)(),(則則有有分分部部積積分分公公式式具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)設設xvvxuu .duvuvudv 注意注意 (1)分部積分法用于求兩類不同函數(shù)乘積的積分分部積分法用于求兩類不同函數(shù)乘積的積分.(2

7、)用分部積分法計算的不定積分類型常見的有用分部積分法計算的不定積分類型常見的有:,dxexxk ,lndxxxmk ,sindxaxxk ,cosdxaxxk ,arctandxbxxk .sindxbxex (3)分部積分法與換元法經(jīng)常穿插著使用分部積分法與換元法經(jīng)常穿插著使用.(4)分部積分法常用來推導遞推公式分部積分法常用來推導遞推公式.(5)( )( ).f x g x dxudvuvvdu分部積分法習例分部積分法習例例例7 計算計算.2 dxexx例例8 計算計算.arctan xdxx例例9 計算計算.ln) 13(3 xdxxx例例10 計算計算.sin xdxex例例11 計算

8、計算例例6 計算計算.cos xdxx22 dxax 例例12 計算計算.)(arcsin2 dxx例例13 計算計算.)sin(ln dxx例例14 計算計算.sec3 xdx例例15 計算計算 .1arctan2dxxxx例例18計算計算).( )(22NnaxdxInn .)(,)(2 dxxfxexfx求求的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)為為設設例例19例例16 計算計算例例17 計算計算1(lnln).lnxdxx 2ln.(1 ln )xdxx 例例6 計算計算.cos xdxx解解(1)令令,cos xu ,212 xdxdxdv )21(coscos2xxdxdxx xdxxxxsin

9、2cos222顯然，顯然， 選擇不當選擇不當，積分更難進行，積分更難進行.vu ,解解(2)令令,xu ),(sincosxdxdxdv xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 例例7 計算計算.2 dxexx解解,2xu ,xxdedxedv dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法）,xu xxdedxedv 總結總結 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設冪函就考慮設冪函數(shù)為數(shù)為 , 使其降冪一次使其降

10、冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))u xxdexdxex22 dxxeexxx22 xxxdeex22)(22 dxexeexxxx.)(22Cexeexxxx xdex2例例8 計算計算.arctan xdxx解解令令,arctan xu ),2(2xdxdxdv )21(arctanarctan2xxdxdxx)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例9 計算計算.ln)13(3 xdxxx解解)2341(lnln)13(243xxxx

11、dxdxxx 總結總結 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為數(shù)或反三角函數(shù)為 .udxxxxxxxxx 1)2341(ln)2341(2424dxxxxxxx )12341(ln)2341(324.43161ln)2341(2424Cxxxxxxx 例例10 計算計算.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexx

12、sin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式總結總結 若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積時，可任若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積時，可任意令意令u，但要兩次使用分部積分，且，但要兩次使用分部積分，且u的設法相同的設法相同.解題技巧解題技巧:的一般方法及選取vu把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 , 按 “ 反對冪指三反對冪指三” 的順序,前者為 后者為u.v反: 反三角函數(shù)對: 對數(shù)函數(shù)冪: 冪函數(shù)指: 指數(shù)函數(shù)三: 三角函數(shù)反對冪三指反對冪三指反對不要碰，三指動一動反對不要碰，三指動一動22d . Ixax 例例1111求積分求積分解解22222

13、22dd xxIxaxxxaxa 2222222()d xaaxxxaxa 2222222dd xxxaxaxaxa 22222 ln|xxaIaxxa 22222221dln| . 22aIxaxxxaxxaC 例例12 計算計算.)(arcsin2 dxx方法方法1 dxx2)(arcsin 22)(arcsin)(arcsinxxdxx.2arcsin12)(arcsin22Cxxxxx dxxxxxx221arcsin2)(arcsin 221arcsin2)(arcsinxxdxx)arcsin1arcsin1(2)(arcsin222 xdxxxxx)arcsin1(2)(arcs

14、in22 dxxxxx方法方法2 tdttdxxxttxcos)(arcsin2arcsinsin2 tdtsin2 tdttttsin2sin2 ttdttcos2sin2)coscos(2sin2 tdtttttCttttt sin2cos2sin2.2arcsin12)(arcsin22arcsinCxxxxxxt 總結總結 若被積函數(shù)是超越函數(shù)若被積函數(shù)是超越函數(shù)(指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),三角三角函數(shù)函數(shù),反三角函數(shù)反三角函數(shù))時，直接令超越函數(shù)為時，直接令超越函數(shù)為u.例例13 計算計算.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxd

15、xx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx dxxxx)cos(ln)sin(ln例例14 計算計算.sec3 xdx解解 xdx3sec xdxxsecsec2 xxdtansec xdxxxxsectantansec2 xdxxxxsec)1(sectansec2 dxxxxx)sec(sectansec3 xdxxdxxxsecsectansec3 xdxxxxdxsec21tansec21sec3.tan

16、secln21tansec21Cxxxx 例例15 計算計算 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 221arctan1xdxxxxx arctan12 .)1ln(2Cxx 解解 dxxxdxln1lnln原式原式 dxxxxdxxln1)ln(lnlnln dxxdxxxxxxln11ln1lnln dxxdxxxxln1ln1lnln.lnlnCxx 例例16 計算計算1(lnln) .lnxdxx解解 dxxxxx2)ln1(ln原式原

17、式 )ln11(lnxxdx )ln(ln11ln1lnxxdxxxx dxxxxxxln11lnln1ln.ln1lnCxxxx 例例17 計算計算2ln.(1 ln )xdxx解解dxaxxnaxxaxdxnnn )()1(2)()(222122122 dxaxaaxdxnaxxnnn)()()1(2)(222122122 nnnnIaInaxxI211221)1(2)( 即即 11222)32()()1(21nnnInaxxnaI.arctan11CaxaI 且且利用分部積分法可以得到某些積分的遞推公式利用分部積分法可以得到某些積分的遞推公式例例18 計算計算).( )(22NnaxdxInn 例例19 .)(,)(2 dxxfxexfx求求的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)為為設設解解,)(2的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是xfex )()(2 xexf.22xxe .)(12Cedxxfx dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex )(xxdf小結：小結：第二換元法的形式第二換元法的形式還有倒代換、根式代換等其它還有倒代換、根式代換等其它.