自動控制第七章采樣控制系統(tǒng)

1、第七章第七章 離散控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng) 離散控制系統(tǒng)又分為采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)又分為采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng) 控制系統(tǒng)中有一部分信號不是時間的連續(xù)函數(shù)，控制系統(tǒng)中有一部分信號不是時間的連續(xù)函數(shù)，而是一組離散的脈沖序列或數(shù)字序列，這樣的系統(tǒng)而是一組離散的脈沖序列或數(shù)字序列，這樣的系統(tǒng)稱為稱為離散控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)。 由于爐子本身時間常數(shù)較大，爐溫上升很慢，由于爐子本身時間常數(shù)較大，爐溫上升很慢，當(dāng)爐溫升高到給定值時，閥門早已超過規(guī)定的開當(dāng)爐溫升高到給定值時，閥門早已超過規(guī)定的開度，因此爐溫繼續(xù)上升，造成超溫，又導(dǎo)致電動度，因此爐溫繼續(xù)上升，造成超溫，又導(dǎo)致電動機(jī)反過來旋轉(zhuǎn)。

2、機(jī)反過來旋轉(zhuǎn)。 根據(jù)同樣的道理，又會造成反方向超調(diào)，這根據(jù)同樣的道理，又會造成反方向超調(diào)，這樣引起爐溫震蕩。樣引起爐溫震蕩。以常規(guī)的爐溫系統(tǒng)為例以常規(guī)的爐溫系統(tǒng)為例 當(dāng)爐溫出現(xiàn)誤差時，誤差信號只有在開關(guān)閉合當(dāng)爐溫出現(xiàn)誤差時，誤差信號只有在開關(guān)閉合時才能使執(zhí)行電動機(jī)旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行爐溫調(diào)節(jié)。當(dāng)采樣時才能使執(zhí)行電動機(jī)旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行爐溫調(diào)節(jié)。當(dāng)采樣開關(guān)斷開，執(zhí)行電動機(jī)立即停下來，閥門位置固定，開關(guān)斷開，執(zhí)行電動機(jī)立即停下來，閥門位置固定，爐溫自動變化，直到下次采樣開關(guān)閉合，根據(jù)爐溫爐溫自動變化，直到下次采樣開關(guān)閉合，根據(jù)爐溫誤差大小再進(jìn)行調(diào)節(jié)。誤差大小再進(jìn)行調(diào)節(jié)。 采用離散控制，在誤差信號與電動機(jī)之間加一個采

3、用離散控制，在誤差信號與電動機(jī)之間加一個采樣開關(guān)，它周期性的閉合和斷開。采樣開關(guān)，它周期性的閉合和斷開。 由于電動機(jī)時轉(zhuǎn)時停，超調(diào)現(xiàn)象受到控制，即由于電動機(jī)時轉(zhuǎn)時停，超調(diào)現(xiàn)象受到控制，即使采用較大的開環(huán)放大系數(shù)仍能保持系統(tǒng)穩(wěn)定。使采用較大的開環(huán)放大系數(shù)仍能保持系統(tǒng)穩(wěn)定。一、一、 采樣過程采樣過程 采樣過程就是對連續(xù)信號進(jìn)行采樣得到一個脈沖采樣過程就是對連續(xù)信號進(jìn)行采樣得到一個脈沖序列的過程。采樣開關(guān)或采樣器可以看作是產(chǎn)生脈序列的過程。采樣開關(guān)或采樣器可以看作是產(chǎn)生脈沖序列的元件，采樣過程可以理解為脈沖調(diào)制過程沖序列的元件，采樣過程可以理解為脈沖調(diào)制過程，下圖表示采樣的基本過程。，下圖表示采樣的

4、基本過程。 *000( )( )()( ) ()() ()nnne te ttnTe ttnTe nTtnT 采樣過程相當(dāng)于一個采樣過程相當(dāng)于一個脈沖調(diào)制過程，其中輸脈沖調(diào)制過程，其中輸入信號入信號e（t）為被調(diào)制）為被調(diào)制信號，載波信號信號，載波信號 決決定采樣時刻。即采樣開定采樣時刻。即采樣開關(guān)輸出信號關(guān)輸出信號 的幅的幅值由值由e（t）決定，存在）決定，存在的時刻由的時刻由 決定。決定。( )Tt*( )et( )Tt采樣開關(guān)的輸出信號：采樣開關(guān)的輸出信號：*1()()snEjE sjnT二、二、 采樣定理采樣定理E*（j）采樣信號采樣信號e*（t）的頻譜；）的頻譜；E（j）連續(xù)信號連續(xù)

5、信號e（t） 的頻譜的頻譜 由圖可見，相臨兩部分頻譜彼此不能重疊的條由圖可見，相臨兩部分頻譜彼此不能重疊的條件是：件是： 采樣頻率采樣頻率s 必須大于或等于采樣開關(guān)輸必須大于或等于采樣開關(guān)輸入連續(xù)信號入連續(xù)信號e（t）頻譜中最高頻率）頻譜中最高頻率max的的2倍，即：倍，即：香農(nóng)（香農(nóng)（Shannon）采樣定理）采樣定理 如果如果 s 1|z|1）解解 因為因為 代入定義式中，得代入定義式中，得【例【例7-2】求】求 的的z 變換變換( )atf te()anTf nTe122( )1aTaTnaTnF zezezez 11()( )1aTaTaTzZ eF zezze11aTez11( )(

6、 )innziipTiiiAAzF sF zspze 利用級數(shù)求和公式寫成閉合形式，得利用級數(shù)求和公式寫成閉合形式，得【例【例7-3】已知】已知 ，試求其，試求其z變換變換1( )()F ss sa11 11( )()()F ss saa ssa1( )1atf tea21(1)( )1(1)aTaTaTaTzzzeF za zzea zeze解解 將將F（s）展開成部分分式形式）展開成部分分式形式其對應(yīng)的時間函數(shù)為其對應(yīng)的時間函數(shù)為由例由例7-1和和7-2可得可得1*( )( )()ZF zftf nT三、三、z反變換反變換由由F（z）求）求 f*（t）的過程稱為）的過程稱為 z 反變換，表

7、示為反變換，表示為 z變換只表征連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的特性，并不變換只表征連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的特性，并不反映采樣時刻之間的特性，所以反映采樣時刻之間的特性，所以z反變換也只能求反變換也只能求出采樣函數(shù)出采樣函數(shù)f*（t），不能求出連續(xù)函數(shù)），不能求出連續(xù)函數(shù)f（t）。）。1( )*( )ZF zft或表示為或表示為即即1( )*( )( )ZF zftf t對上式用分母去除分子，所得之商按對上式用分母去除分子，所得之商按 的升冪排列的升冪排列四、反變換方法四、反變換方法即把式即把式 展開成按升冪排列的冪級數(shù)。因展開成按升冪排列的冪級數(shù)。因為式為式 的形式通常是兩個的多項式之比，即的形式通常是兩個

8、的多項式之比，即 ( )F z110110( )()mmmmnnnnb zbzbF znma zaza( )F z1z120120( )kkkkkF zcc zc zc zc z最后求得相應(yīng)采樣函數(shù)的脈沖序列最后求得相應(yīng)采樣函數(shù)的脈沖序列例例7-8求求 的的反變換反變換( )(1)(2)zF zzz123456( )037153163F zzzzzzz解：解：*( )()3 (2 )7 (3 ) 15 (4 )fttTtTtTtT1212( )(1)(2)321 32zzzF zzzzzzz進(jìn)行長除得到進(jìn)行長除得到【例【例7-9】求】求 的的z反變換反變換0.5( )(1)(0.5)zF zz

9、z( )1110.5F zzzz( )10.5zzF zzz()1 0.5kf kT 解解 將將 F（z）/z 展開成部分分式為展開成部分分式為所以所以則對應(yīng)函數(shù)為則對應(yīng)函數(shù)為五、用五、用z變換法解差分方程變換法解差分方程 離散系統(tǒng)的動態(tài)過程用建立在差分、差商等概念離散系統(tǒng)的動態(tài)過程用建立在差分、差商等概念基礎(chǔ)上的差分方程來描述?；A(chǔ)上的差分方程來描述。 差分與連續(xù)函數(shù)的微分相對應(yīng)。分為前向差分和差分與連續(xù)函數(shù)的微分相對應(yīng)。分為前向差分和后向差分后向差分 ()(1) ()y nTy nTy nT()()(1) y nTy nTy nT一階前向差分一階前向差分一階后向差分一階后向差分k k階前向

10、差分階前向差分k k階階后后向差分向差分11()(1) ()kkky nTynTynT11()()(1) kkky nTynTynT11010() (1) (1) ()() (1) (),()kmc n k Ta c n kTac nTa c nTb r n mTbr nTbr nTm k k階線形差分方程的一般形式為階線形差分方程的一般形式為式中式中 r（nT）輸入量；輸入量； c（nT）輸出量輸出量2.2.差分方程差分方程 若方程的變量除了含有若方程的變量除了含有 本身外，還有本身外，還有 的的 各階差分，則此方程稱為差分方程。各階差分，則此方程稱為差分方程。( )f k( )f k各階差

11、分的變換函數(shù)各階差分的變換函數(shù) 10()( )( )nnkkZ r knzR zr k z例如例如 ()Z y kz Y zz yzy22201 ()Z y kzY zzy130(2)3 (1)2 ( )( )y ky ky kr k22( )(0)(1)3( )(0)2 ( )( )z Y zz yzyzY zzyY zR z22(32) ( )11zzzzY zzzz222( )(1)(32)(1)(2)(1)zzY zzzzzzz【例【例7-16】用】用z變換法求二階差分方程變換法求二階差分方程初始條件初始條件y(0)=0，y(1)=1，輸入為單位階躍函數(shù)，輸入為單位階躍函數(shù)解解 利用超

12、前定理，對差分方程進(jìn)行利用超前定理，對差分方程進(jìn)行z變換，得變換，得將已知條件代入上式，得將已知條件代入上式，得所以所以/6/22 /3( )112zzzY zzzz112()(1)( 1)( 2)623kkky kT ( )1/61/22/3112Y zzzzz所以所以利用部分分式法求利用部分分式法求Y（z）的）的z反變換反變換作作Z反變換反變換7.3 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ( )( )( )C zG zR z一、基本概念一、基本概念 與線形連續(xù)系統(tǒng)類似，與線形連續(xù)系統(tǒng)類似，在線形離散系統(tǒng)中，零在線形離散系統(tǒng)中，零初始條件下，系統(tǒng)輸出初始條件下，系統(tǒng)輸出信號的信號的z

13、變換與系統(tǒng)輸入變換與系統(tǒng)輸入信號的信號的z變換之比，稱為變換之比，稱為脈沖傳遞函數(shù)或稱脈沖傳遞函數(shù)或稱z傳遞傳遞函數(shù)。函數(shù)。 在實際的采樣系統(tǒng)中，系統(tǒng)的輸出信號常常是在實際的采樣系統(tǒng)中，系統(tǒng)的輸出信號常常是連續(xù)信號，為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，可以連續(xù)信號，為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，可以在系統(tǒng)的輸出端虛設(shè)一個同步采樣開關(guān)，這樣輸在系統(tǒng)的輸出端虛設(shè)一個同步采樣開關(guān)，這樣輸出為離散信號出為離散信號( )( ) ( )C zG z R z因為因為 從物理意義來看，離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)就從物理意義來看，離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)就是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)采樣值的是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)采樣值的z z變換，

14、即變換，即 0kkG zg kT z若系統(tǒng)的輸入若系統(tǒng)的輸入 ( )r tt則輸出信號的則輸出信號的z z變換變換 ( )C zG z二、二、 開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)(a)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān) 1212( ) ( )( )( )( )( ) ( )X zG z R zC zG z X zG z G z R z1、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)12( )( )( )( )( )C zG zG z G zR z(b) 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)1212( )( )( )( )( )( )C zG zZ G s G sG

15、G zR z)()()()()(212121zGzGzGGsGsGZ注意注意11( )G ssa21( )G ssb1211( )( )( )1()()()()aTbTaTbTaTbTG zZ G s G sZsa s bzzz eeb a zezeb a zeze12211( )( )( )()()aTbTaTbTG zG z G zZZsasbzzzzezezeze【例【例7-11】設(shè)在前圖中】設(shè)在前圖中求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。圖（圖（a）圖（圖（b）通過以上分析，可見通過以上分析，可見G1（z）G2（z）G1G2（z）1Tses1(1)s s*( )c t( )c t

16、*( )r t( )r t例例7-127-12試求下列開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)試求下列開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 122211111( )(1)(1)1111(1)11(1)1 (1)(1)TsTTTTTTeG zZzZss sssszTzzzTzzzzzezzeTezTezeze 2 2、并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)、并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù) 并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效 2( )G s1( )G s*( )c t( )r t*( )r t1( )r t2( )r t3( )r t3( )r t3( )r t3( )r t1( )r t2( )r t2( )r t1( )r t1( )r t2( )r t

17、12( )( )( )( )( )C zG zG zG zR z三、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)三、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)1.1.閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的一般計算方法閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的一般計算方法 例例7-137-13 離散控制系統(tǒng)如圖所示，求脈沖傳遞函數(shù)離散控制系統(tǒng)如圖所示，求脈沖傳遞函數(shù)( )( )( )1( )C zG zR zGH z( )( ) ( )C zE z G z( )( )( )B zE z GH z( )( )( )E zR zB z例例7-147-14 離散控制系統(tǒng)如圖所示，求脈沖傳遞函數(shù)離散控制系統(tǒng)如圖所示，求脈沖傳遞函數(shù)12( )( )( )C zE z G z11(

18、)( )( )E zE z G z21( )( )( )( )E zR zG H z E z1212( )( )( )( )1( )( )G z G zC zR zG z G H z 將離散系統(tǒng)中的采樣開關(guān)去掉，求出對應(yīng)連續(xù)將離散系統(tǒng)中的采樣開關(guān)去掉，求出對應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的輸出表達(dá)式；系統(tǒng)的輸出表達(dá)式； 表達(dá)式中各環(huán)節(jié)乘積項需逐個決定其表達(dá)式中各環(huán)節(jié)乘積項需逐個決定其“* *”號。號。方法是：乘積項中某項與其余相乘項兩兩比較，當(dāng)方法是：乘積項中某項與其余相乘項兩兩比較，當(dāng)且僅當(dāng)該項與其中任一相乘項均被采樣開關(guān)分隔時，且僅當(dāng)該項與其中任一相乘項均被采樣開關(guān)分隔時，該項才能打該項才能打“* *”號。否

19、則需相乘后才打號。否則需相乘后才打“* *”號。號。 取取Z Z變換，把有變換，把有“* *”號的單項中的號的單項中的s s變換為變換為z z，多項相乘后僅有一個多項相乘后僅有一個“* *”號的其號的其Z Z變換等于各項傳變換等于各項傳遞函數(shù)乘積的遞函數(shù)乘積的Z Z變換。變換。 2.閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的簡易計算方法閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的簡易計算方法 RCG1H1H3H2C*例例7-15系統(tǒng)如圖所示，求該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)如圖所示，求該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 解：顯然該系統(tǒng)可解：顯然該系統(tǒng)可用簡易法計算。去用簡易法計算。去掉采樣開關(guān)后，連掉采樣開關(guān)后，連續(xù)系統(tǒng)的輸出表達(dá)續(xù)系統(tǒng)的輸出表達(dá)式為：式

20、為： 111123( ) ( )( )1( )( )( )( )( )G s R sC sG s H sG s Hs H s對上式進(jìn)對上式進(jìn)行脈沖變行脈沖變換（加換（加“* *”） 111123*( ) *( )*( )1( )( ) *( )( )( ) *Gs RsCsG s H sGsHs H s變量置換得變量置換得 111123( ) ( )( )1( )( )( )G z R zC zG H zG z H Hz( )( )( )( )1( )( )C zG z D zR zGH z D z練習(xí)：系統(tǒng)如圖所示，求該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)練習(xí)：系統(tǒng)如圖所示，求該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 解：該系統(tǒng)

21、可用簡易法計算。解：該系統(tǒng)可用簡易法計算。連續(xù)系統(tǒng)的輸出表達(dá)式：連續(xù)系統(tǒng)的輸出表達(dá)式： ( )( )( )( )1( )( )( )G s D sC sR sG s H s D s脈沖變換脈沖變換（加（加“* *”） *( )( )( )( )1 ( )( )( )G s D sCsR sG s H sD s變量置換得脈變量置換得脈沖傳遞函數(shù)沖傳遞函數(shù)一、系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析一、系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析 與用拉普拉斯變換法分析連續(xù)系統(tǒng)的暫與用拉普拉斯變換法分析連續(xù)系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)相似，用態(tài)響應(yīng)相似，用z z變換法分析離散系統(tǒng)的暫態(tài)變換法分析離散系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，根據(jù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和輸入信號，響應(yīng)，根據(jù)閉

22、環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和輸入信號，求出離散系統(tǒng)輸出信號求出離散系統(tǒng)輸出信號 。 根據(jù)輸出信號根據(jù)輸出信號 ，可求出超調(diào)，可求出超調(diào)量量M Mp p，調(diào)節(jié)時間，調(diào)節(jié)時間t ts s等性能指標(biāo)。等性能指標(biāo)。7.4 采樣系統(tǒng)性能分析采樣系統(tǒng)性能分析 ( )c t( )c t( )( )( )1( )C zG zR zG z210.3860.264( )(1)(1)(0.368)TsezG zZsszz220.3680.2640.3680.264( )( )0.6320.6321zzzC zR zzzzzz1234567( )0.3681.41.41.1470.8950.802C zzzzzzzz解：系統(tǒng)閉環(huán)

23、脈沖傳遞函數(shù)為解：系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為而而由以上兩式可得由以上兩式可得取取z反變反變換得換得例例7-17 二階二階系統(tǒng)如圖所示，系統(tǒng)如圖所示，求單位階躍響求單位階躍響應(yīng)應(yīng)( )0.368 ()(2 )1.4 (3 )1.4 (4 )1.147 (5 )0.895 (6 )0.802 (7 )c ttTtTtTtTtTtTtT離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) ( )( ) ( )C zG z R z),1/()(zzzR其中01( )1niiizzC zAAzz（Ai為留數(shù)） 01()1( )nkiiiC kTAkA120121120121( )( )( )mmmmmnnnnnb

24、zb zb zbzbC zG zR za za za zaza閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與暫態(tài)響應(yīng)的一般關(guān)系閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與暫態(tài)響應(yīng)的一般關(guān)系極點(diǎn)極點(diǎn) 在在z平面不同位置時的暫態(tài)響應(yīng)情況平面不同位置時的暫態(tài)響應(yīng)情況（1） i為正實數(shù)為正實數(shù)輸出采樣信號的暫態(tài)分量為輸出采樣信號的暫態(tài)分量為當(dāng)當(dāng) i1時，時，ci(k)為發(fā)散的指數(shù)函數(shù)，為發(fā)散的指數(shù)函數(shù)， ik隨著隨著k的的增加而增加。增加而增加。當(dāng)當(dāng) i1時，時，ci(k)為衰減的指數(shù)函數(shù)，為衰減的指數(shù)函數(shù)， i距坐標(biāo)原距坐標(biāo)原點(diǎn)越近，點(diǎn)越近， ik衰減越快。衰減越快。i01()1( )nkiiiC kTAkA1( )ia kTkiiiiiizc kZA

25、AAez（2） i為負(fù)實數(shù)為負(fù)實數(shù) 當(dāng)當(dāng)k為偶數(shù)時，為偶數(shù)時， ik為正；當(dāng)為正；當(dāng)k為奇數(shù)時，為奇數(shù)時， ik為負(fù)為負(fù).隨隨著著k增加，增加， ik符號交替變化，當(dāng)符號交替變化，當(dāng)i 1時，時，ci(k)為發(fā)為發(fā)散振蕩；當(dāng)散振蕩；當(dāng)i 1時，時，ci(k)為衰減振蕩為衰減振蕩,振蕩的角頻振蕩的角頻率為率為 /T。（3）有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) 。 又因為又因為當(dāng)當(dāng)i 1時，時，ci(k)為發(fā)散振蕩函數(shù)；為發(fā)散振蕩函數(shù)；當(dāng)當(dāng)i 1時，時，ci(k)為衰減振蕩函數(shù)為衰減振蕩函數(shù)ii和11*( )kkkkzzCtZAAzz( )iikkjkjkkkiiiiiiiiic kAAAeAe

26、()()( )2cos()iiiikkj kj kiiiiikiiiic kAeAeAk,iijjiiiiAA eAA e 在離散在離散系統(tǒng)設(shè)計系統(tǒng)設(shè)計時時,應(yīng)把閉應(yīng)把閉環(huán)極點(diǎn)安環(huán)極點(diǎn)安置在置在z平面平面的右半單的右半單位圓內(nèi)位圓內(nèi),且且盡量靠近盡量靠近原點(diǎn)原點(diǎn)二、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析二、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1、線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件、線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件2、s平面與平面與z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系設(shè)設(shè)sj則則TsTj Tzeee ，即，即 s平面的虛軸平面的虛軸映射為映射為z平面上為以原點(diǎn)為圓心的單位圓周，為平面上為以原點(diǎn)為圓心的單位圓周，為臨界穩(wěn)定區(qū)域。臨界穩(wěn)定區(qū)域。01j

27、Tsjze當(dāng)，當(dāng)當(dāng) 時，時， ，即右半，即右半s平面映射為平面映射為z平面上平面上圓外域，為不穩(wěn)定區(qū)域。圓外域，為不穩(wěn)定區(qū)域。當(dāng)當(dāng) 時，時， ，即左半，即左半s平面映射為平面映射為z平面上平面上單位圓內(nèi)域單位圓內(nèi)域,為穩(wěn)定區(qū)域。為穩(wěn)定區(qū)域。01z 01z (1)Ks s*( )c t( )c t*( )e t( )r t( )e t例例7-18如圖所示系統(tǒng)中，設(shè)采樣周期如圖所示系統(tǒng)中，設(shè)采樣周期T=1秒，秒，試分析當(dāng)試分析當(dāng)K=4和和K=5時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 111TTKzeKG zZs szze開環(huán)脈沖傳函為開環(huán)脈沖傳函為 閉環(huán)脈沖傳函為閉環(huán)脈沖傳函為 ( )(1)( )1(

28、)(1)()(1)TTTG zKzezG zzzeKze系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為(1)()(1)0TTzzeKze21.160.3680zz120.5800.1780.5800.178zjzj ，K=4時時解得解得均在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。均在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。21.7920.3680zz120.2371.555zz ， K=5時時解得解得因為因為 在單位圓外，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。在單位圓外，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 2z3、勞斯穩(wěn)定判據(jù)在離散系統(tǒng)中的應(yīng)用、勞斯穩(wěn)定判據(jù)在離散系統(tǒng)中的應(yīng)用 離散系統(tǒng)不能直接使用勞斯穩(wěn)定判據(jù)。需要采用離散系統(tǒng)不能直接使用勞斯穩(wěn)定判據(jù)。需

29、要采用 變換，或稱雙線性變換，將變換，或稱雙線性變換，將z平面上單位圓周映平面上單位圓周映射到新坐標(biāo)系中的虛軸。射到新坐標(biāo)系中的虛軸。 分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，先令分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，先令 代代入離散系統(tǒng)的特征方程進(jìn)行入離散系統(tǒng)的特征方程進(jìn)行 變換，再用勞斯判變換，再用勞斯判據(jù)判其穩(wěn)定性。據(jù)判其穩(wěn)定性。雙線性變換雙線性變換11zz同時有同時有 11z11z(0.11)Kss*( )c t( )c t*( )e t( )r t( )e t例例7-19 設(shè)離散控制系統(tǒng)的方框圖如圖所示。采樣周設(shè)離散控制系統(tǒng)的方框圖如圖所示。采樣周期期T=0.1s，試求使系統(tǒng)穩(wěn)定的，試求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。

30、的取值范圍。1011( )()(0.11)10()1TKG zZZ KsssszzKzze解：開解：開環(huán)脈沖環(huán)脈沖傳遞函傳遞函數(shù)為數(shù)為將將T=0.1s代入上式可得代入上式可得20.632( )1.3680.368KzG zzz系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為( )( )( )1( )C zG zR zG z系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為1+G(z)=0，將，將G(z)代入上式，代入上式，整理得整理得 2(0.6321.386)0.3680zKz令令 代入上式得代入上式得211()(0.6321.368)()0.368011K11z化簡后得化簡后得根據(jù)上式寫出勞斯表為根據(jù)上式寫

31、出勞斯表為 2 0.632K 2.736-0.632K 1 1.264 0 2.736-0.632K要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第一列各項系數(shù)均要大要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第一列各項系數(shù)均要大于零。即于零。即 2.736-0.632K0所以所以 0K4.32使系統(tǒng)穩(wěn)定使系統(tǒng)穩(wěn)定K的取值范圍為的取值范圍為 04.32。20.6321.264(2.7360.632)0KK 比較加采樣開關(guān)前后系統(tǒng)的穩(wěn)定性可知，采樣開比較加采樣開關(guān)前后系統(tǒng)的穩(wěn)定性可知，采樣開關(guān)的引入會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變壞。關(guān)的引入會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變壞。 (2)Ks s*( )c t( )c t*( )e t( )r t( )e t練習(xí)練習(xí) 設(shè)

32、離散控制系統(tǒng)的方框圖如圖所示。采樣周期設(shè)離散控制系統(tǒng)的方框圖如圖所示。采樣周期T=0.5s，試求使系統(tǒng)穩(wěn)定的，試求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。的取值范圍。08.66K答案答案11( )lim( )lim(1) ( )lim(1)1( )sstzzR zee tzE zzGH z三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示設(shè)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示 系統(tǒng)的誤差脈沖傳系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為遞函數(shù)為 ( )1( )1( )E zR zGH z1( )( )1( )E zR zGH z由由Z變換終值定理得穩(wěn)態(tài)誤差為變換終值定理得穩(wěn)態(tài)誤差為誤差信號的誤差信號的z z變換為變換為

33、 ( )1zR zz101psspKKeK，10pssKe ，三種典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差三種典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差(1)單位階躍函數(shù)輸入單位階躍函數(shù)輸入r(t)=1(t),穩(wěn)態(tài)誤差為穩(wěn)態(tài)誤差為11111lim(1)lim1( )11( )1sszzPzezGH zzGH zK式中式中 為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)1lim( )PzKGH z對于對于0型系統(tǒng)型系統(tǒng)對于對于1型及以上系統(tǒng)型及以上系統(tǒng)2( )(1)TzR zz(2)單位斜坡函數(shù)輸入單位斜坡函數(shù)輸入r(t)=t，穩(wěn)態(tài)誤差為穩(wěn)態(tài)誤差為靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系數(shù)21111lim(1)lim1( ) (1)(1

34、) 1( )111lim(1)( )sszzVzTzTzezGH zzzGH zKzGH zT11lim(1)( )VzKzGH zT式中式中從定義式中可以看出，系統(tǒng)在斜坡輸入信號作用下，從定義式中可以看出，系統(tǒng)在斜坡輸入信號作用下，無差的條件是開環(huán)傳函中至少要有兩個無差的條件是開環(huán)傳函中至少要有兩個 的極點(diǎn)。的極點(diǎn)。1z 223(1)( )( )22(1)tT z zr tR zz，(3)單位拋物線函數(shù)輸入單位拋物線函數(shù)輸入穩(wěn)態(tài)誤差為穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)2312211(1)lim(1)1( ) 2(1)111lim(1)( )sszazT z zezGH zzKzGH zT2211lim(1)( )azKzGH zT式中式中系 統(tǒng) 在 拋系 統(tǒng) 在 拋物 線 函 數(shù)物 線 函 數(shù)輸 入 信 號輸 入 信 號作 用 下 ，作 用 下 ，無