2020年北京高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)壓軸題

1、2017年11月22日金博高數(shù)20的高中數(shù)學(xué)組卷一.解答題(共6小題)1 .設(shè) an和bn是兩個(gè)等差數(shù)列，記 cn=max bi ain, b2 a2n，,bn ann (n=1,2 , 3,)，其中maxx1, X2,，xs表示x，X2,，xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù).(1)若an=n, bn=2n - 1 ,求C1, C2, C3的值，并證明cn是等差數(shù)列；(2)證明：或者對(duì)任意正數(shù) M,存在正整數(shù)m,當(dāng)nm時(shí)，M；或者存 在正整數(shù)m,使得Cm, Cm+1, Cm+2, 是等差數(shù)列.3 .設(shè)數(shù)列 A: a1，a2,，aN (N2).如果對(duì)小于 n (20n&N)的每個(gè)正整 數(shù)k都有aka1，則G

2、 (A)半？(田)證明：若數(shù)列A滿足an-an _101 (n=2, 3,，N),則G (A)的元素個(gè) 數(shù)不小于aN - a1.4 .已知數(shù)歹！J an?兩足：a1 C N , a&36,且 an+1=,(n=1,2,)，記集合 M=an| n N*.(I )若a1=6,寫出集合M的所有元素；(II)如集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)； (田)求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.5 .對(duì)于數(shù)對(duì)序列P:(a1,4),(a2,b2),，(an,bn),記T1(P)=a+b1, 4(P) =bk+maxTk 1 (P), a1+a2+- +ak (2 km時(shí)，gM；或者存在正整數(shù)

3、m,使得Cm, Cm+1 , Cm+2, 是等差數(shù)列.【分析】(1)分別求得a1=1, 82=2, a3=3, b1二1, b2=3, b3=5,代入即可求得C1,C2, C3； 由 (bknak) 一 (b1一 na1) 0, d1m, 9M,分類討論，采用放縮法即可求得因此對(duì)任 n意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,使得當(dāng)nm時(shí)，&M. n【解答】 解：(1) a1=1, a2=2, a3=3, b1=1, b2=3, b3=5,當(dāng) n=1 時(shí)，C1 =max b1 a1 =maX 0 =0,當(dāng) n=2 時(shí)，C2=maxb1 2a1, b2 2a2 =max 1, - 1 = - 1,當(dāng) n=3 時(shí)，

4、C3=maxb1 3a1, b2- 3a2, b3 - 3a3=max - 2, 3, 4 = 2,下面證明：對(duì)？ nCN*,且n2,都有。= - na1，當(dāng) n C N*,且 20k&n 時(shí)，貝 (bk-nak) 一 (b1-na1)，=(2k- 1) - nk - 1+n,=(2k-2) - n (k- 1),=(k1) (2 n),由 k10,且 2 n00,第3頁(共12頁)貝1! (bk nak) (bi nai) bk nak,因此，對(duì)？ nCN*,且 n2, Cn=bi - nai=1 n,Cn+1 - Cn= - 1 , C2 - C1= - 1 ,.二 Cn+1 - Cn=-

5、 1 對(duì)？ n C N* 均成立，:數(shù)列6是等差數(shù)列；(2)證明：設(shè)數(shù)列an和bn的公差分別為d1, d2,下面考慮的cn取值，由 b1一am, b2-a2n,，bn - ann,考慮其中任意ban, (i C N*,且1 0 i& n),貝1J bi ain= b1+ (i 1) d 一 a+ (i 1) d2 x n,=(b1 - am) + (i-1) (d2-dxn),下面分d1二0, d0, d10三種情況進(jìn)行討論，若 d1=0,貝U bi - an( b1 a1n) + (i 1) d2,當(dāng)若 d200,貝 U (bi an) ( b1 - am) = (i 1) d20, (bi

6、 an) ( bn ann) = (in) d20,則對(duì)于給定的正整數(shù)n而言，Cn=bn- ann=bn- am,止匕時(shí) Cn+1 Cn=d2- a1 ,數(shù)列cn是等差數(shù)列；此時(shí)取m=1,則C1, C2,，是等差數(shù)列，命題成立；若d10,則此時(shí)-dm+d2為一個(gè)關(guān)于n的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的一次函數(shù)，故必存在mCN*,使得nm時(shí)，-d1n+d2m 時(shí)，(bi an) ( b1 am) = (i 1) ( dm+d2) 0, (i N*, 1 im時(shí)，Cn=b1 - am,此時(shí)Cn+1 - Cn= - a1,故數(shù)歹U Cn從第m項(xiàng)開始為等差數(shù)列，命題成立；若d10,則當(dāng) ns時(shí)，(bian) (bn

7、ann) = (i1) ( din+d2)0, (iCN*, 1 s時(shí)，Cn=bn - ann, .t , b-. -Bv,止匕時(shí)=匚=-an+JL, nn， ,、 L d?=d2n+ (di ai+d2)+-n令di=A 0, di - ai+d2=B, bi - d2=C,下面證明：&!=An+B+上對(duì)任意正整數(shù)M ,存在正整數(shù)m,使得nm,：2M, n nn若C0,取m=J +i , x表示不大于x的最大整數(shù)，當(dāng) nm 時(shí)，-An+BAm+B=A(-LlzLL+i+BA?+B=M, nAA此時(shí)命題成立；若 Cm時(shí)，區(qū)An+B+-Am+B+C A? ! MC-B +B+C M - C- B

8、+B+C=M, nnA此時(shí)命題成立，因此對(duì)任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,使得當(dāng)nm時(shí)，&M;n綜合以上三種情況，命題得證.【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查與不等式的綜合應(yīng)用, 考查 放縮法”的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題及解決問題的能力，考查分類討論及轉(zhuǎn) 化思想，考查計(jì)算能力，屬于難題.2.設(shè)數(shù)列 A: ai, a2,，aN (N2),如果對(duì)小于 n (20n&N)的每個(gè)正整 數(shù)k都有ayan,則稱n是數(shù)列A的一個(gè)“叫刻”，記G (A)是數(shù)列A的所有“G 時(shí)亥廠組成的集合.(I )對(duì)數(shù)列A: - 2, 2, - i, i, 3,寫出G (A)的所有元素；(H )證明：若數(shù)列A中存在a

9、使得anai,則G (A)豐?(田)證明：若數(shù)列A滿足an-an-i&i (n=2, 3,，N),則G (A)的元素個(gè) 數(shù)不小于aN - ai.【分析】(I )結(jié)合“G時(shí)刻”的定義進(jìn)行分析;(n)可以采用假設(shè)法和遞推法進(jìn)行分析； (田)可以采用假設(shè)法和列舉法進(jìn)行分析.【解答】 解：(I)根據(jù)題干可得，ai = -2, a2=2, a3=- 1, a4=1, a5=3, aia3不滿足條件，3不滿足條件，a2a4不滿足條件，4不滿足條件，ai, a2, a3, a4,均小于a5,因此5滿足條件， 因此 G (A) =2, 5.(n )因?yàn)榇嬖赼nai,設(shè)數(shù)列A中第一個(gè)大于ai的項(xiàng)為ak,則aka

10、iai,其 中 20&k 1,所以 kC G (A), G (A)豐？(田)設(shè)A數(shù)列的所有“叫刻”為iii2ai ai (i=2, 3,，ii-i),則3一ai& - 8 _i&i11x i 1對(duì)于第二個(gè)“G時(shí)刻”ij有&一 社.ai (i=2, 3,，ii - i),則a -一工0a： _ a - _尸1.工2工2 1類似的 a - - a - 01,，a - - a 01.X乜 Lh-1第7頁(共12頁)一ai.對(duì)于a*若N C G (A),則色- =aN.乜若N?G (A),則aN a - ai aN - ai.【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新定義題型，重點(diǎn)在于對(duì) “G時(shí)刻”定義的把握，難度較大.3.

11、已知數(shù)歹U an滿足：aiC N*, ai&36,且 an+i =2小2a -36,n18(n=1,2,)，記集合 M=an| n C N*.(I )若ai=6,寫出集合M的所有元素；(II)如集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù); (田)求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.一 fa186, 12, 24;(n)因?yàn)榧螹存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù)，由一an+i=(n=1,2,)，可歸納證明對(duì)任息nk, an是3的倍數(shù)；(m)分ai是3的倍數(shù)與ai不是3的倍數(shù)討論，即可求得集合 M的元素個(gè)數(shù)的 最大值.、一 ，一a k, an是3的倍數(shù).如果k=i, M的

12、所有元素都是3的倍數(shù)；如果ki,因?yàn)閍k=2ak i,或ak=2a1, an是3的倍數(shù)；綜上，若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，則集合M的所有元素都是3的倍數(shù),、一f2an-r一，(田)對(duì)ai036, an=(n=1, 2,)，可歸納證明對(duì)任息n2%.36,%1號(hào)k, an36 (n=2, 3,)因?yàn)閍i是正整數(shù),所以a2是2的倍數(shù). 從而當(dāng)n2時(shí)，an是2的倍數(shù).如果ai是3的倍數(shù)，由(H)知，對(duì)所有正整數(shù)n, an是3的倍數(shù).因此當(dāng)n3時(shí)，anC12, 24, 36,這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過5.如果ai不是3的倍數(shù)，由(H)知，對(duì)所有正整數(shù)n, an不是3的倍數(shù).因此當(dāng)n3時(shí)，anC4, 8,

13、 16, 20, 28, 32,這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過8.當(dāng) a1=1 時(shí)， M= 1， 2， 4， 8， 16， 20， 28， 32，有8個(gè)元素綜上可知，集合M 的元素個(gè)數(shù)的最大值為8【點(diǎn)評(píng)】 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，突出考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及推理、運(yùn)算能力，屬于難題4.對(duì)于數(shù)對(duì)序列P:(ai,bi), (%,b2),，(an,bn),記Ti(P)=ai+bi,Tk(P) =bk+maxTk i (P), ai+m+Tak (20k& n),其中 maxTk i (P), ai+a2+- +ak 表示Tk-1 (P)和ai+a2+ak兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，(I)對(duì)于數(shù)對(duì)序列 P:

14、 (2, 5), (4, i),求 Ti (P), T2 (P)的值；(H )記m為a, b, c, d四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)(a, b), (c, d) 組成的數(shù)對(duì)序列P： (a, b), (c, d)和P： (c, d), (a, b),試分別對(duì)m=a和 m=d兩種情況比較T2 (P)和T2 (P)的大小；(田)在由五個(gè)數(shù)對(duì)(ii, 8), (5, 2), (i6, ii), (ii, ii), (4, 6)組成的 所有數(shù)對(duì)序列中，寫出一個(gè)數(shù)對(duì)序列 P使T5 (P)最小，并寫出T5 (P)的值(只 需寫出結(jié)論)【分析】(I )利用Ti(P)=ai+bi,Tk(P)=bk+maxT

15、ki(P),ai+a2+- +ak(2k n),可求 Ti (P), T2 (P)的值；(H) T2 (P) =max(a+b+d, a+c+d , T2 (P) =max(c+d+b, c+a+b,分類討論， 利用新定義，可比較T2 (P)和T2 (P)的大??；(m)根據(jù)新定義，可得結(jié)論.【解答】解：(I ) Ti (P) =2+5=7, T2 (P) =i+maxTi (P), 2+4 =i+max7, 6=8;(n ) T2 (P) =maXa+b+d, a+c+d , T2 (P) =maXc+d+b, c+a+b.當(dāng) m=a 時(shí)，T2 (P) =max(c+d+b, c+a+b =c

16、+d+b,a+b+dc+d+b,且 a+c+d&c+b+d, . T2 (P) T2 (P)；當(dāng) m=d 時(shí)，T2 (P) =max c+d+b, c+a+b =c+a+b, a+b+dc+a+b,且 a+c+d c+a+d,T? (P) T2 (P)；. .無論 m=a 和 m=d, T? (P) T? (P);(m)數(shù)對(duì)(4, 6), (11, 11), (16, 11), (11, 8), (5, 2), T5 (P)最小；T1( P) =10， T2( P) =26； T3( P) 42， T4( P) =50， T5( P) =52【點(diǎn)評(píng)】 本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力

17、，正確理解與運(yùn)用新定義是解題的關(guān)鍵5.已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前 n項(xiàng)的最大值記為An,第 n項(xiàng)之后各項(xiàng)an+1, an+2的最小值記為Bn, dn=An - Bn.(I)若an為2, 1, 4, 3, 2, 1, 4, 3，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意nCN*, an+4=an),寫出 d1, d2, d3, d4 的值；(H)設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dn=- d (n=1, 2, 3)的充分必要條件為an是公差為d 的等差數(shù)列；(田)證明：若a1二2, dn=1 (n=1, 2, 3,)，則an的項(xiàng)只能是1或者2,且有無窮多項(xiàng)為1【分析】(I )根據(jù)條件以及dn=An-

18、Bn的定義，直接求得d1 , d2, d3, d4的值.(H )設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，若an是公差為d的等差數(shù)列，則an=a1+ (n- 1) d, 從而證得dn=An - Bn= - d ,(n=1, 2, 3, 4).若 dn=An- Bn= - d, ( n=1, 2, 3, 4可得an是一個(gè)不減的數(shù)列，求得dn=An- En = - d,即an+1 - an=d,即an是公差為d的等差數(shù)列，命題得證.(田)若a1二2, dn=1 (n=1, 2, 3,)，則an的項(xiàng)不能等于零，再用反證法得到an的項(xiàng)不能超過2,從而證得命題【解答】解：(I )若an為2, 1, 4, 3, 2, 1, 4,

19、3，是一個(gè)周期為4的數(shù) 列，d1=A1- Bi=2- 1=1,d2=A2- E2=2- 1=1, d3=A3B3=4 1=3, d4=A4B4=4 1=3.(n)充分性：設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，若an是公差為d的等差數(shù)列，則an=a1+ (nT) d, An=an=ai+ (n 1) d, Bn=an+i=ai+nd,dn=An- Bn=- d, (n=1, 2, 3, 4).必要性：若 dn=An- Bn= - d, (n=1, 2, 3, 4).假設(shè) ak是第一個(gè)使 ak ak iak i - ak0,這與 dn=-d00 相矛盾，故an是一個(gè)不減的數(shù)列dn=An - Bn=an - an+i=-

20、 d,即 an+i - an=d,故an是公差為 d 的等差數(shù)列.(田)證明：若ai=2, dn=i (n=i, 2, 3,)，首先，an的項(xiàng)不能等于零，否 貝(J di=2 0=2,矛盾.而且還能得到2的項(xiàng)不能超過2,用反證法證明如下：假設(shè)an的項(xiàng)中，有超過2的，設(shè)am是第一個(gè)大于2的項(xiàng)，由于an的項(xiàng)中一定 有i,否則與di=i矛盾.當(dāng)nm時(shí)，an2,否則與dm=i矛盾.因此，存在最大的i在2到m-i之間，使ai=i,此時(shí)，di=Ai- Bi=2- B2 - 2=0,矛盾綜上，an的項(xiàng)不能超過2,故an的項(xiàng)只能是i或者2.下面用反證法證明an的項(xiàng)中，有無窮多項(xiàng)為i.若ak是最后一個(gè)i,則ak

21、是后邊的各項(xiàng)的最小值都等于2,故dk=Ak- Bk=2 - 2=0,矛盾，故 an 的項(xiàng)中，有無窮多項(xiàng)為i綜上可得，aj的項(xiàng)只能是i或者2,且有無窮多項(xiàng)為i.【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查充分條件、必要條件的判斷和證明，等差關(guān)系的確定，用反證法和放縮法證明數(shù)學(xué)命題，屬于中檔題6.設(shè)A是由mXn個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大 于i,且所有數(shù)的和為零，記s (m, n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對(duì)于 A C S (m , n),記ri (A)為A的第i行各數(shù)之和(i& i &m), Cj (A)為A的第 j 列各數(shù)之和(iwjwn);記 K (A)為| ri (A) | , | 及

22、(A) | , | Rm (A) | ,第 9頁(共12頁)| Ci (A) | , | C2 (A) | ,，| Cn (A) | 中的最小值.(1)如表A,求K (A)的值；11-0.80.1-0.3- 1(2)設(shè)數(shù)表ACS (2, 3)形如11cab-1求K (A)的最大值；(3)給定正整數(shù)t,對(duì)于所有的AC S (2, 2t+1),求K (A)的最大值.【分析】(1)根據(jù) ri (A), C (A),定義求出 門(A), r2 (A), C1 (A), C2 (A), C3 (A),再根據(jù) K (A)為| 門(A) | , | R2 (A) | , | R3 (A) | , | C1 (A) | , | C2(A) |, |C3(A) |中的最小值，即可求出所求.(2)先用反證法證明k (A) 1,然后證明k (A) =1存在即可；(3)首先構(gòu)造滿足卜值)二義L的A=(ai, j (i=1, 2, j=1, 2,，2t+1),然后證明組-是最大值即可.t+2【解答】解：(1)由題意可