2019屆黑龍江省學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2019屆黑龍江省學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)（理）試題、單選題22 _ x y1 .橢圓C : 1的離心率是（）94A.巫B.C.更DT3939【答案】C22【解析】由橢圓C： L 1 ,可得a、b的值，求出c的值，可得離心率.94【詳解】22解：由橢圓 c : 1 ,可得 a=3, b=2 , c=J0b2=732_22=J5,94故離心率e c -, a 3故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓離心率的相關(guān)知識(shí)，求出c的值是解題的關(guān)鍵2.兩平行直線2x y 1 0與2x y 3 。間的距離為（C.3.55D.4.55【解析】 運(yùn)用兩平行直線的距離公式即可得到結(jié)論.根據(jù)兩平行線間的距離公式得：d1 322

2、 124415,55本題考查兩平行直線的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.22c一一 一一 x y33.若雙曲線C:0 - 1 a 0的漸近線方程為y -x , a292的值為（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A22【解析】由雙曲線C ：X- y_ 1 a 0可得雙曲線的焦點(diǎn)在 x軸上，設(shè)漸近線方程為, a29b 3y -x ,由漸近線萬(wàn)程為 y -x ,可得a的值.a2【詳解】22解：由雙曲線C:xy 1 a 0 ,可得雙曲線的焦點(diǎn)在 x軸上，a 9b3設(shè)漸近線方程為 y x ,又已知漸近線方程為 y -x, b 3, a2可得a 2,故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線漸

3、近線的求法，相對(duì)不難4.當(dāng)圓C:x2 y24x 2my2m 0的面積最小時(shí)，m的取值是()A. 4B. 3C. 2D.1【答案】D【解析】 將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓的半徑，從而可得圓面積最小時(shí)m的取值.【詳解】22_斛：由圓 C :xy 4x 2my2m0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x 2)2 (y m)2 m2 2m 4,可得：r2 m2 2m 4 (m 1)2 3 3可得當(dāng)m 1時(shí)，r2最小，即圓的面積最小，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化，相對(duì)不難，注意運(yùn)算準(zhǔn)確5. P %,y0是拋物線y2 4x上一點(diǎn)，點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是點(diǎn) P到y(tǒng)軸距離的3倍,B. 1則 X

4、o ()D. 2【答案】A【解析】由拋物線方程為y2 4x,計(jì)算出P的值與準(zhǔn)線方程，由點(diǎn) P到焦點(diǎn)的距離是點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的3倍列出關(guān)于xo的方程，可得答案.【詳解】解：由拋物線方程：y2 4x,可得P 2,準(zhǔn)線方程為：x 1,可得點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離：x0 1,由點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的3倍,1可信.xo 1 3x0 ,斛仔：x0 , 2故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，相對(duì)不難2x6 .已知F1, F2 雙曲線C ： 2 a2y_ 1 ab2 1 a0,b 0的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn)，且【答案】CPF1 PF2,若PF1F2的面積是9,則b ()A. 1B. 2C. 3D

5、. 4【答案】C【解析】由雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式，代入可得b的值.解：設(shè) F1PF2，由 PF1 PF2,可得90°,由雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式b2tan 29,可得：b 3,故選：C.【點(diǎn)睛】 本題主要考查考查雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積，注意牢記公式，運(yùn)算準(zhǔn)確7.以拋物線x210y的焦點(diǎn)為圓心， 而為半徑的圓，與直線2mx my 1 0相切,A . Z 或 115c . 2或2口.2或115 55【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)和圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑列出方程，可得m的值.解：可得拋物線xx2 (y 5)2 5, 5、 一10y的焦點(diǎn)為(0, 2),可得圓的方程為:當(dāng)直線

6、2 mx my1 0相切時(shí)，可得圓心到直線的距離:5m 124m2 m222f-,斛仔：m或m-,5155故選：C.本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系，相對(duì)不難，注意運(yùn)算準(zhǔn)確8.已知兩點(diǎn)2,0 ,B 0,4 ,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P x,y在線段AB(不含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),過(guò)P點(diǎn)分別向x, y軸作垂線，垂足分別為 M ,N ,則四邊形PMON的面積的最大值為()A. 5/2B. 2C. 2 &D. 8【答案】B【解析】 設(shè)P(x, y),根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得 x、y之間的關(guān)系y 4 2x ,可得Spomn x y，代入可得四邊形 PMON的面積的最大值.【詳解】解：如圖：x

7、4 y設(shè)P(x,y),根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得：- -4y，整理可得：y 4 2x,22_故：Spomn x y x (4 2x) 2x 4x 2(x 1)2 ,當(dāng)x 1 ,可得Spomn的最大值為：2,故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)在幾何中的應(yīng)用，注意建立合適的函數(shù)模型并運(yùn)算準(zhǔn)確9 .雙曲線x2 3y2 3t的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,4 ,則1 （）A.4B.2C. 2D. 4【答案】A【解析】由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,4 ,可得t<0,將將雙曲線的方程 x2 3y2 3t化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得4t 16,可得答案.【詳解】解:由雙曲線x2 3y2 3t的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為 0,4 ,可得焦

8、點(diǎn)在y軸上，故t<0,22將雙曲線的方程x2 3y2 3t化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得：- 1 , t 3t由雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,4，可得4t 16, t 4,故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的焦點(diǎn)的性質(zhì)和求法，相對(duì)簡(jiǎn)單10.直線l過(guò)拋物線C : y22x的焦點(diǎn)F ,且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第象限）若BF 2,則AF （）2B.C.12D.【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程，由BF 2可彳導(dǎo)B的坐標(biāo)，求出AB的直線方程與拋物線聯(lián)立，可得 xa的值，可得 AF的值.【詳解】211解：可得拋物線 C：y2 2x的焦點(diǎn)F （一 ,0）,準(zhǔn)線方程為：x 一,22由拋物線C交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A

9、在第一象限），故點(diǎn)B在第四象限， 設(shè)B（x1，）,（為>0, y1<0）,由BF 2,由拋物線定義可得:Xi 1 2 , Xi 3 ,代入拋物線方程可得：y1-石，故B（3, J3）,設(shè)AB的直線方程為:y_0_、3 01x 一2-,化簡(jiǎn)可得：y3 1y聯(lián)立直線與拋物線:3x2x,可得 3x2 5x -40,一 3斛得：x 一或x2故A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1616'AF故選：B.本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線與拋物線解題，屬于中檔題11.若直線l : x22y 0與雙曲線x2ay 4 a 0的右支僅有一個(gè)公共點(diǎn),2 2取值范圍是(A. (4,B. 4,)C. 0,

10、4D. 0,4利用直線與雙曲線的右支僅有個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的漸近線，可得答案解：由雙曲線方程為:x2 ay2 4 a 0 ,可得漸近線方程：xVay ,直線方程為l：x 2y0且與雙曲線的右支僅有一個(gè)公共點(diǎn),0<a<4,故選：C.本題主要考查雙曲線漸近線的求法及直線與雙曲線的位置關(guān)系,注意運(yùn)算準(zhǔn)確,屬于中檔題.12.已知點(diǎn)M1,2和拋物線過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn)，若AMB 90 ,B. 2C. 3D. 4【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線方程為:y k(x 1),聯(lián)立直線與方程，可得% X2, % X2的值，同時(shí)求出y1 、2, y y2的值，由 amb 9

11、0，可得ma mb 0 ,代入各值可得k的值.【詳解】解：由拋物線C:y2 4x,可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn)的直線方程為：y k(x 1),聯(lián)立可得：y 4X , k2x2 2(2 k2)x k2 0, y k(x 1)4 2k2,設(shè) A(xi, yi),B(x2,y2),可得x1x22,xx21,k24可信：y V2k(x1x22) 廣，k小 y2 k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)14,由 M 1,2 ,且 AMB 90 ,可得 MA Mur 0,可得：(x1 1)(x2 1) (W 2)( y2 2) 0,整理可得：x1x2(x

12、1x2)yy22(yy?)5 0 ,4.8 _2可得：1 22"4 5 0,即 k 2k 1 0 , k2kk 1 ,故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題，注意運(yùn)算準(zhǔn)確.2213.己知雙曲線C1 :占當(dāng) 1 aa b0,b 0的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線C2：x2 2py p 0 交于 A,B 兩點(diǎn)，若 AF BF程為()1vA. y x B. y x 2C. y6 OF ,則雙曲線C1的漸近線方、2x2【答案】B22【解析】把x2 2py p 0代入與之1 a 0,b 0可得 a b2 2_ . 22. 2_b ,a y2pb ya b0,

13、利用根與系數(shù)的關(guān)系與拋物線的性質(zhì)可得一的值，可得答a案.【詳解】解：把 x2 2py p2一 X0代入與a2 y_ b1可得：a2y2 2 pb2y a2b2 0,故 yA yB2pbJ，a又 |AF |BF| 6OF ,故 yA yB 2 pi 22b 八 b ,2p 2p , 21 ,aap2可得雙曲線Ci的漸近線方程為y x,故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線漸近線的性質(zhì)及拋物線的相關(guān)性質(zhì)，屬于中檔題2214.已知過(guò)橢圓、4 1(aa bb 一b 0)的左焦點(diǎn)且斜率為一的直線l與橢圓父于A, Ba兩點(diǎn).若橢圓上存在一點(diǎn)P ,滿足uuuOAuur unnOB OPr0 (其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原

14、點(diǎn))，則橢圓的離心率為(B.3C.分析:根據(jù)平方差法得到直線OM的方程為yb 、一x,聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)P a的坐標(biāo),再根據(jù)uuu uurOA OBurnr rOP 0，uurOPuuuv 2OM. 一bc、,把點(diǎn)P(c,)代入橢圓的方a程，即可求解離心率的值M(X0,y。)，詳解：設(shè) A(Xi, y) B(X2,y2),AB 的中點(diǎn)2222由題意知x2 * 1，與當(dāng)1, a2b2a2b2兩式相減得(XiX2)2Xi X2)2)0, abxiX2yiy2bx°y。入J 2 2 kAB0 , 而 kAB _，所以 一220，a ba a bbbc2a，by x所以直線OM的方程為y b

15、x ,聯(lián)立 a ，解得xPab /、uuuv 2OMy -（x c）auuu uu uur r uuu 又因?yàn)镺A OB OP 0，所以O(shè)Pbc、所以點(diǎn)P（c,）代入橢圓的方程,aa2 2c2,所以e -,故選A. a 2點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)離心率的求解，求雙曲線的離心率（或離心率的c取值范圍），常見(jiàn)有兩種萬(wàn)法：求出a,c，代入公式e ；只需要根據(jù)一個(gè)條件a得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為 a, c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式）,解方程（不等式），即可得e（e的取值范圍）.二、填空題215.已知雙曲線C : y2 1左、右焦點(diǎn)分別為 FiE ,點(diǎn)P x, y在C右支上，

16、若3PF2I 2,則 |PFi .【答案】2 2,3【解析】由雙曲線的定義結(jié)合雙曲線的方程可得PF1的值.【詳解】2解:由雙曲線方程 C : y2 1 ,可得a 33,3由 Px,y 在 C 右支上，若 PF2 2,則 |PF PF2 2a 2 A可得：PF12 2石，故答案為：2 2,3.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，相對(duì)簡(jiǎn)單222216.已知圓 C1：x y 2x 4y 4 0,圓 C2：x y 2x 2y 2 0,則兩圓的公切線條數(shù)是.【答案】2【解析】首先把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步求出兩圓的位置關(guān)系，可得兩圓的公切線條數(shù).【詳解】22斛：由圓 Ci：x y 2x

17、4y 4 0 ,可得：(x 1) (y 2)9,可得其圓心為(1, 2),半徑為3;22由 C2：x y 2x 2y 2 0,可得(x 1)2 (y 1)2 4,可得其圓心為(1,1),半徑為2；所以可得其圓心距為：d J(1 1)2 ( 2 1)2 而，可得：3 2 1<d<3 2 5,故兩圓相交，其公切線條數(shù)為2,故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系及兩圓公切線條數(shù)的判斷，屬于中檔題17 點(diǎn)P x, y在拋物線y2 4x上，則點(diǎn)P到0,3的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線距離之和的 最小值是.【答案】10【解析】利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可得當(dāng)三點(diǎn)共線的時(shí)候距離之和最小，可得答案.

18、【詳解】解:如圖，由拋物線y2 4x ,可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)F (1,0)，準(zhǔn)線為l : x 1 ,過(guò)點(diǎn)P做PM l ,垂足為M ,則PM PF ,設(shè)Q(0,3),此時(shí)當(dāng)F、P、Q三點(diǎn)共線時(shí),PFPQ取得最小值,故：(PF |PQ)min QF3 12 V10,故答案為：.10.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義及三點(diǎn)共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題2218.已知橢圓C:x2 L 1 a 2左、右焦點(diǎn)分別為 Fi,F2,若橢圓C上存在四個(gè) a24不同的點(diǎn)P滿足Svpf抵4 J3,則a的取值范圍是 .【答案】4,1一【解析】由橢圓C上存在四個(gè)不同的點(diǎn) P滿足SVPFF 4 J3 ,可得一b 2c>4/3,

19、122可得c的取值范圍，可得a的取值范圍.【詳解】22解：由題意：橢圓 C :與1 a 2 ,可得b 2,a 4又橢圓C上存在四個(gè)不同的點(diǎn) P滿足SVPFF 4 J3,VPF1F21 C可得：-b 2c> 4/3,即 c> 2由，c2 >12，可得：a2 b2 c2>16，a> 4,故答案為：4,.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及橢圓基本量的計(jì)算，相對(duì)不難19 .已知定點(diǎn)F1 2,0 ,F2 2,0 ,N是圓O:x2 y2 1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M，線段FM的垂直平分線與直線 F2M相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡方程是23【解析】連接ON,可得點(diǎn)N為M

20、Fi的中點(diǎn)，故MF2 2,由線段FiM的垂直平分線與直線F2M相交于點(diǎn)P ,可得PFi PM ,可得PF2 PF1 PF? PM MF2 2<FF2,可得點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，可得其方程【詳解】解：如圖，連接ON ,由題意可得：ON 1,且點(diǎn)N為MFi的中點(diǎn)，故MF2 2,又線段FiM的垂直平分線與直線 F2 M相交于點(diǎn)P ,可得：PFi PM ,故 PF2 PF1|PF2 PMMF2 2V FF2,故其軌跡為雙曲線，且 a 1, c 2,且焦點(diǎn)在x軸上，b J32可得其軌跡方程為：x2 1 ,32故答案為：X2 1 . 3【點(diǎn)睛】本題以圓為載體，考查了雙曲線的定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用2

21、20.過(guò)拋物線C ： y 2px p 0的焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A, B兩點(diǎn)，且A, B兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為M,N, fVMFN-,-SBFN-，則一 .SVAFMSVMFN【答案】41 2 .【解析】設(shè) MAF , AF a, BF b,可得 S MAF 一 a sin ,2c1 .2.S NBF -b sin ,21(Smnf)2 -MF2 NF2 a2b2 sin2 ，可得一的值.4【詳解】設(shè) MAF ,AF a, BF b,由拋物線定義可得：AM a, BN b, MFO NFO MFA NFB -,2在 MAF中，由余弦定理可得：MF2 2a2(1 cos ),同理：MF2 2

22、b2(1 cos ),1 2-1 2故 S MAF -a Sin , S nbf -b sin ,22_21_ 2_ 22 22(S MNF)-MF NF a b sin ,4故(S MNF )24S MAF S NBF故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)，屬于中檔題，注意余弦定理的靈活運(yùn)用.三、解答題21 .已知直線 l:J3x y 2 0,圓 C:x2 y2 4x 4y 1 0.(1)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并證明；(2)若直線l與圓C相交，求出圓C被直線l截得的弦長(zhǎng)；否則，求出圓上的點(diǎn)到直線l的最短距離.【答案】(1)相交，證明見(jiàn)解析；(2) 2娓【解析】(1)將

23、圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心到直線的距離 d ,判斷其與半徑的大小，可得直線l與圓C的位置關(guān)系；(2)由(1)可得圓心到直線的距離 d ,再由弦長(zhǎng)公式可得圓 C被直線l截得的弦長(zhǎng)【詳解】解：(1)相交，證明如下； 2222可將圓的一般萬(wàn)程 C:x y 4x 4y 1 0化為：(x 2) (y 2)9,可得其圓心：(2,2),半徑為：3,由直線l:j3x y 2 0,2 _273 2 2 L可得圓心到直線l的距離：d 43, .1 3故：d<r ,可得直線l與圓C相交；(2)由(1)得直線l與圓C相交，且圓心到直線l的距離d "3,故弦長(zhǎng)為：2價(jià)2 d2 2的3 2褥，【點(diǎn)睛】

24、本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)需用到點(diǎn)到直線的距離公式與弦長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.22.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，離心率為 J2,過(guò)點(diǎn)（4, J10）.（1）求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線y k x 1與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求 k的取值范圍.x2 y230 / 一 30【答案】（1） 一 匕 1；（2）, 11,11,.665522【解析】（1）雙曲線的方程為：勺 為1（a>0,b>0）,由e J1 （b）2 我可得a b'.aa b,代入點(diǎn)（4, 洞，可得a、b的值，可得答案；（2）聯(lián)立直線與雙曲線，可得（1 k2）x2 2k2x k2 6 0,可得

25、1 k2 0,且 >0, 解不等式可得k的取值范圍.【詳解】解：（1）由雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，離心率為 J2,過(guò)點(diǎn)（4, J10）,1y2 1(a>0,b>0),由 e J12設(shè)雙曲線的方程為：與a可得a b,由其過(guò)點(diǎn)（4, J10）,曰16可得a10 爐1,可將a22故雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：二L 1；6622（2）聯(lián)立直線y k x 1與雙曲線： ±2 1, 662222可得：(1 k )x 2kx k 6 0,可得：1 k2 0,且 >0,可得：4k4 4(1 k2)( k2 6)>0,可得：k 1,且應(yīng) <女< 旦 551,1

26、故k的取值范圍是:【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法及其簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.22223.已知拋物線C：y 2Px p 0的焦點(diǎn)F為圓x 1 y 1的圓心，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)拋物線C焦點(diǎn)F ,作斜率為f的直線l交C于A,B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在第一象限)，若 3uuuiuirAF FB ,求 的值.2【答案】(1) y 4x ； (2) 4.一，一一一 一22【解析】(1)可得圓x 1 y 1的圓心，可得F的坐標(biāo)，進(jìn)而求出P,可得拋物線的方程；4 4(2)設(shè)過(guò)拋物線 C焦點(diǎn)F ,作斜率為一的直線l為：y (x 1),聯(lián)立直線與拋

27、物 33線，求出a, b兩點(diǎn)坐標(biāo)，由Auu FB,可得的值.【詳解】22解：(1)可得圓x 1 y 1的圓心為(1,0),故拋物線C : y 2px p 0的焦點(diǎn)F(1,0),可得艮1, P 2, 2故拋物線方程為：y2 4x；4八 ,4(2)設(shè)過(guò)拋物線 C焦點(diǎn)F ,作斜率為一的直線l為：y (x 1), 332 一2代入拋物線：y 4x,可得：4x 17x 4 0,1_ 1解得：x 4 或 x 一，可得：A(4,4),B(一, 1), 44,uuuuir1由 AF FB ,可得 14(- 1),4可得： 4.【點(diǎn)睛】聯(lián)立直線與拋物線是解題的關(guān)本題主要考查拋物線的定義及直線與拋物線的位置關(guān)系,

28、鍵.22a b 0 ,點(diǎn)A 0,2與點(diǎn)P在橢圓C上.已知B 2,0 , O24 .已知橢圓x2 1 1a2b2uuu uur為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 OA OBJ6uuu op.2(1)求橢圓C的方程;(2)已知M 0,8 ,若Q是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求 QM的最大值，并寫出此時(shí) Q點(diǎn)坐221 ；(2)Q 0, 2 時(shí)，max 10.【答案】(1)土 L84【解析】(1)將A點(diǎn)代入方程可得uur uuu b，再根據(jù)OA OB6 uur OP2,求出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程可得a的值，可得答案，一1-2(2)由題意表不出QM ,再由二次函數(shù)的最值求出最大值即可221 a b 0 ,可得 b2 4 ,解：(1)將

29、點(diǎn)A 0,2代入橢圓三4 a buuu uuu 、6 uur. 6 uuu又 OA OB ，OP，即(0,2) (2,0)OP,2222故橢圓C的方程：L L 1；84(2)設(shè)Q(x, y),由其在橢圓上，可得 x2 8 2y2,f r_29則：QM x2 (y 8)22y2 16y 72(y 8)2 136,其中 2< y < 2, 一，八,2可得當(dāng)y 2時(shí)，QM最大，此時(shí)為100,即此時(shí)Q(0, 2),QM的最大值為10.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法與基本性質(zhì)，屬于中檔題25.如圖，已知直線l與拋物線y2 x相交于A Xi,% B x2,y2兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線

30、l與x軸相交于點(diǎn) M ,且yy21.(1)求證：OA OB ;(2)求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；(3)過(guò)A,B點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線交于點(diǎn)Q ,求kQM kAB.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) 1； (3)1 .4【解析】(1)設(shè)直線的方程為：x my t ,代入拋物線y2 x,運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合條件t 1,再由斜率數(shù)量積垂直的性質(zhì)，即可證明；(2)由直線x my t,令y 0,可得M的橫坐標(biāo)；(3)求出拋物線上的點(diǎn)的切線的斜率和方程，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)，再由直線的斜率公式 可得答案.【詳解】證明：(1)設(shè)直線的方程為：x my t,代入拋物線y2 x,可得：y2 my t 0 ,由 A x1,

31、y1 B x2,y2 , hy1 ,可得 y y2 m, yy2t 1 , t 1,22由 Xx2 (y1y2)1 ,可得 xx2 0丫2=(丫1丫2)+y1y2 110,uuu uur可得 OA OB 0,即：OA OB；(2)由直線x my t,令y 0,可得x 1 ,即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：1；一,2'1(3)由y x,兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得2yy 1,即y ,2y 1 ，八、1可得A處切線的斜率為 ，切線方程為：y y1 (x x1)，212y由 yi2xi,同理可得:2iy2x2,可得 yiy 2(x iB處切線方程為 y2y (xx1)dx2) 由可得：yxi X2yiy22( yiy2)2xyi y xi myi2 yi(yi y2)yi2 yiyiy2故Q( i,m), 2可得:i i xi x2yiy2本題主要考查直線與拋