2020-2021九年級(jí)數(shù)學(xué)二模試題分類匯編——銳角三角函數(shù)綜合及答案

1、2020-2021九年級(jí)數(shù)學(xué)二模試題分類匯編一一銳角三角函數(shù)綜合及答案一、銳角三角函數(shù)1.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A 3,0 ,B 3,0 ,C 3,8 ,以線段BC為直徑作圓,圓心為E ,直線AC交e E于點(diǎn)D ,連接OD .(1)求證：直線OD是eE的切線；(2)點(diǎn)F為x軸上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接 CF交e E于點(diǎn)G ,連接BG :1當(dāng)tan ACF 7時(shí)，求所有f點(diǎn)的坐標(biāo) (直接寫出)； BG求的最大值.CF【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)F1 33,0 , F2(5,0);吧的最大值為-.31CF2【解析】【分析】(1)連接DE ,證明/EDO=90即可；(2)分'F位于AB上”和F位

2、于BA的延長(zhǎng)線上”結(jié)合相似三角形進(jìn)行求解即可；作GM BC于點(diǎn)M ,證明 ANFiABC ,得當(dāng)-,從而得解.CF 2【詳解】(1)證明：連接DE ,則: BC為直徑BDC 90BDA 90OA OB OD OB OAOBD ODBEB EDEBD EDBEBD OBD EDB ODB即： EBO EDO CB x 軸 EBO 90EDO 90 ,直線OD為e E的切線.(2)如圖1,當(dāng)F位于AB上時(shí)：ANF1 ABCAN NF1 AF1"AB BC AC.設(shè) AN 3x,則 NR 4x,AFi 5x CN CA AN 10 3x1031F1N4x. tan ACF - CN 10

3、3x. AF15x 50 31O F1,031如圖2,當(dāng)F位于BA的延長(zhǎng)線上時(shí): AMF2 ABC設(shè) AM 3x,則 MF24x, AF2 5x CM CA AM 10 3xF2M4x 1. tan ACFCM 10 3x 72解得：x 一5 AF2 5x 2OF2 3 2 5即 F2（5,0）* wS2如圖，作GM BC于點(diǎn)M , BC是直徑 CGB CBF 90CBF CGBBG MG MGCF BC 8 MG 半徑 4BG MG 4 1 -CF 88 2BG的最大值為-.CF2【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和

4、 性質(zhì)和相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn) 題.2.如圖，從地面上的點(diǎn) A看一山坡上的電線桿 PQ,測(cè)得桿頂端點(diǎn) P的仰角是45。，向前 走6m到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得桿頂端點(diǎn) P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°.A B(1)求/ BPQ的度數(shù)；(2)求該電線桿PQ的高度(結(jié)果精確到1m) .備用數(shù)據(jù)： 拒 ,裊14【答案】(1) /BPQ=30;(2)該電線桿PQ的高度約為9m.【解析】試題分析：(1)延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得即可；(2)設(shè)PE=x米，在直角4APE和直角4BPE中，根據(jù)三角函數(shù)利用 x表示出A

5、E和BE,根 據(jù)AB=AE-BE即可列出方程求得 x的值，再在直角 4BQE中利用三角函數(shù)求得 QE的長(zhǎng)，則 PQ的長(zhǎng)度即可求解.試題解析：延長(zhǎng) PQ交直線AB于點(diǎn)E,(1) / BPQ=90 -60 =30°(2)設(shè) PE=x米.在直角 APE中，則 AE=PE=x米； / PBE=60 °/ BPE=30 °BE百 pE=3x 米,在直角4BPE中，,.AB=AE-BE=6 米， 則 x-ix=6,解得：x=9+3 33 .則 BE= (3£+3)米.在直角 4BEQ中，QE=3 BE=3 (373+3) = (3+8)米. . PQ=PE-QE=9

6、+373- (3+百)=6+2 73 =9(米).答：電線桿PQ的高度約9米.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用 -仰角俯角問(wèn)題.3.小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角為 120時(shí)，感覺(jué)最舒適(如圖 1),側(cè)面示意圖為圖 2;使用時(shí)為了散熱，她在底板下面墊入散熱架ACO后，電腦轉(zhuǎn)到 AO，B，位置(如圖3),側(cè)面示意圖為圖 4.已知OA=OB=24cm,。/ C± OA 于點(diǎn) C, O/ C=12cm.(1)求/ CAO/的度數(shù).(2)顯示屏的頂部 B，比原來(lái)升高了多少？(3)如圖4,墊入散熱架后，要使顯示屏。/ B/與水平線的夾角仍保持 120。，則顯示屏

7、。/ B，應(yīng)繞點(diǎn)。/按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)多少度?【答案】(1) /CAO =30； (2) (36- 123)cm； (3)顯示屏O 面繞點(diǎn)。'按順時(shí)針 方向旋轉(zhuǎn)30°.【解析】試題分析：(1)通過(guò)解直角三角形即可得到結(jié)果；(2)過(guò)點(diǎn)B作BD, AO交AO的延長(zhǎng)線于 D,通過(guò)解直角三角形求得BD=OBsin/ BOD=24Xg=12j5,由 G O'、B'三點(diǎn)共線可得結(jié)果；(3)顯示屏O 而繞點(diǎn)O'按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 30°,求得/EO B'/干O A=30；既是顯示屏O'應(yīng)繞點(diǎn)O'按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 30°.試題解

8、析：(1) -0,(1OA 于 C, OA=OB=24cm,O'C .sin / CAO'二一 ./CAO' =30 °(2)過(guò)點(diǎn)B作BD, AO交AO的延長(zhǎng)線于一 .,BD D, sinZ BOD= , . BD=OBsin/ BOD, on '' / AOB=120 ,° Z BOD=60 : 二 BD=OBsin/ BOD=24 xl =12O' LOA,/CAO' =30 ° ./AO' C=6 0：/AO' B' =120 Z AO' 叱 AO' C=1&am

9、p; 0 °.O， B' +O3 D=24+12- 12 冉=36-12/，顯示屏的頂部 B比原來(lái)升高了( 36-12后)cm；(3)顯示屏O面繞點(diǎn)O'按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 30°,理由：顯示屏O'內(nèi)水平線的夾角仍保持 120。， ./EO' F=120 ° ./FO' A=CAO' =30 ° / AO' B' = 120 ° ./EO' BZ FO' A=3 0 ° 顯示屏O'底繞點(diǎn)O'按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 30：5就J* >PJ * R

10、:./ / 盧F:y/ ：/ :c o D考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).4.如圖，在平行四邊形ABCD中，"平分,交"于點(diǎn)"，"廠平分乙，交仞于點(diǎn)F, "E與"F交于點(diǎn)P連接EF PD.(1)求證：四邊形是菱形；若丹H = < /1D - 力"=60求GMdDP的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析【解析】 試題分析：(1)根據(jù)AE平分/ BAD> BF平分/ABC及平行四邊形的性質(zhì)可得 AF=AB=BE 從而可知ABEF為平行四邊形，又鄰邊相等，可知為菱形(2)由菱形的性質(zhì)可知 AP的長(zhǎng)及/PAF=60,過(guò)點(diǎn)P

11、作PHI± AD于H,即可得到 PH、DH的長(zhǎng)，從而可求tan/ADP試題解析：(1).AE平分/ BAD BF平分/ABC/ BAE=Z EAF / ABF=Z EBF1.AD/BC/ EAF=Z AEB ZAFB=Z EBF/ BAE=Z AEB Z AFB=Z ABF.AB=BE AB=AF.AF=AB=BE1.AD/BC.ABEF為平行四邊形又 AB=BE.ABEF為菱形(2)作 PH，AD于 H由/ABC=60 而已(1)可知 /PAF=60, PA=2,貝U有 PH= , AH=1, . DH=AD-AH=5/ a”小tanZ ADP= 考點(diǎn)：1、平行四邊形；2、菱形；3

12、、直角三角形；4、三角函數(shù)5.如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A (0, - 6),點(diǎn)B (6, 0) . RtACDE中， ZCDE=90,° CD=4, DE=4幾，直角邊CD在y軸上，且點(diǎn)C與點(diǎn)A重合.RtCDE沿y軸 正方向平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng).解答下列問(wèn)題：(1)如圖(2),當(dāng)RtA CDE運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) D與點(diǎn)。重合時(shí)，設(shè) CE交AB于點(diǎn)M,求/ BME 的度數(shù).(2)如圖(3),在RtA CDE的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng) CE經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求BC的長(zhǎng).(3)在RtACDE的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè) AC=h, OAB與 CDE的重疊部分的面積為 S,請(qǐng)寫出S與h之間的函數(shù)關(guān)系

13、式，并求出面積S的最大值.國(guó)1國(guó)2鄴【答案】(1) / BME=15 ;(2BC=4百；(3) hW2時(shí)，S=-吏 T h2+4h+8,4當(dāng) h>2時(shí)，S=18- 3h.【解析】試題分析：(1)如圖2,由對(duì)頂角的定義知，/BME=/ CMA,要求/BME的度數(shù)，需先求出/CMA的度數(shù).根據(jù)三角形外角的定理進(jìn)行解答即可；(2)如圖3,由已知可知/OBC=/ DEC=30,又OB=6,通過(guò)解直角 BOC就可求出BC的 長(zhǎng)度；(3)需要分類討論：hW2時(shí)，如圖4,作MNy軸交y軸于點(diǎn)N,作MFLDE交DE于點(diǎn) F, S=Sedc- Saefm; 當(dāng) h>2時(shí)，如圖 3, S=Sobc.試

14、題解析：解：(1)如圖2,圖2在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A (0, - 6),點(diǎn)B (6, 0).OA=OB,Z OAB=45 ； / CDE=90,° CD=4, DE=47i ,/ OCE=60 ；/ CMA=Z OCE- / OAB=60 -45 =15 ；/ BME=/CMA=15 °如圖3,邸/ CDE=90,° CD=4, DE=4百,/ OBC=Z DEC=30,°,.OB=6,BC=4百；(3)hW2時(shí)，如圖4,作MNy軸交y軸于點(diǎn)N,作MF, DE交DE于點(diǎn)F,圖4. CD=4, 口£=4石，AC=h, AN=NM, ，CN=4-

15、FM, AN=MN=4+h - FM, .CMNACED史二里.CD 0E4-FM 4+b-FM解得FM=4 走二!方,2S=Sedc- Saefm= X 4>y4j - (44h) X (4-丸)=-h +4h+8,工工24如圖3,當(dāng)hR2時(shí)，1 1 S=Sobc= _ OCX OB= (6 - h) X 6=18 3h.考點(diǎn)：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形6.如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn) C, D是半圓O的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) C作。的切線交 AD的 延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DU AB于點(diǎn)F,交。O于點(diǎn)H,連接DC, AC.(1)求證：/AEC=90;(2)試判斷以點(diǎn) A,

16、O, C, D為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(3)若DC=2,求DH的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)四邊形AOCD為菱形;(3) DH=2"【解析】試題分析：（1）連接OC,根據(jù)EC與。O切點(diǎn)C,則/OCE=90,由題意得11/DAC=/ CAB,即可證明 AE/OC,貝U / AEC+/ OCE=180,從而得出Z AEC=90（2）四邊形AOCD為菱形. 平行四邊形，再由 OA=OC 形是菱形）；（3）連接OD.根據(jù)四邊形由（1）得，E二E 則/DCA=/CAB可證明四邊形 AOCD是即可證明平行四邊形 AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊AOCD為菱形，得4OAD是

17、等邊三角形，則 Z AOD=60 ,再由DHLAB于點(diǎn)F, AB為直徑, 試題解析：（1）連接OC,DF在 RtOFD 中，根據(jù) sin/AOD，",求得DH的長(zhǎng).CD.EC與。O切點(diǎn)C,OCX EC,/ OCE=90,°點(diǎn)CD是半圓O的三等分點(diǎn),（3Z DAC=Z CAB, .OA=OC,Z CAB=Z OCA,Z DAC=Z OCA, .AE/ OC (內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行) / AEC叱 OCE=180,°/ AEC=90;°(2)四邊形AOCD為菱形.理由是：郎Z DCA=Z CAB,.CD/ OA,又. AE/ OC,四邊形AOCD是平行四邊

18、形，,.QA=OC,平行四邊形AOCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)；(3)連接OD. 四邊形AOCD為菱形， .OA=AD=DC=2 .OA=OD, .OA=OD=AD=2, .OAD是等邊三角形，/ AOD=60 ； DHL AB于點(diǎn)F, AB為直徑, .DH=2DF,DF1在 RtOFD中，sin/AOD=門_ _ ，_ .3DF=ODsinZ AOD=2sin60 = , . DH=2DF=2V'3考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)2等邊三角形的判定與性質(zhì)3.菱形的判定與性質(zhì) 4.解直角三角形.7.如圖13,矩形 即s的對(duì)角線ac ,相交于點(diǎn)口，XCOD關(guān)于8的對(duì)稱圖形為 ACED

19、 .E(1)求證：四邊形0C即是菱形；(2)連接 AE ,若用月=6cm ,=.求出匚Eg的值；若點(diǎn)尸為線段HE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) 八重合)，連接°尸，一動(dòng)點(diǎn)2從點(diǎn)。出發(fā)，以匕的速度沿線段。尸勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P ,再以1.5cm占的速度沿線段巴4勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) 工,到達(dá)點(diǎn) 工后停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn) 。沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) H所需要的時(shí)間最短時(shí)，求 /F的 長(zhǎng)和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間.一一一小【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）加/£必心F和P走完全程所需時(shí)間為【解析】試題分析：（1）利用四邊相等的四邊形是菱形；（2）構(gòu)造直角三角形求sin4ElD ; 先確定點(diǎn)。沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) M所需要的時(shí)間

20、最短時(shí)的位置，再計(jì)算運(yùn)到的時(shí)間.試題解析：解：（1）證明：/四邊形是矩形.二且。二初與刀般交于點(diǎn)。，且3cg關(guān)于。對(duì)稱.-.DO =CO=DO = DE.OC = EC:.DO = OC = EC = ED二四邊形OCED是菱形.（2）連接,直線0E分別交AS于點(diǎn)F，交DC于點(diǎn)G-ACOD關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為CED:.0E ± DC=v DC H AB r.OF L鉆工F J .ID.在矩形1MS 中，&為刁C的中點(diǎn)，且。為AC的中點(diǎn)二。G為nC5的中位線 OGGE= 2同理可得：F為的中點(diǎn)，OF = L, dF=32二34加+萬(wàn)=$不¥二f5in £EA

21、D = sin ZAEF = -=9 3過(guò)點(diǎn)P作FM - as交上£3于點(diǎn)M二。由口運(yùn)動(dòng)到P所需的時(shí)間為3s2二由可得，=,且產(chǎn)二點(diǎn)。以L5匚陋"的速度從P至ij A所需的時(shí)間等于以1c陽(yáng)1百?gòu)腗運(yùn)動(dòng)到AOP £4即：-， -.-.-二。由。運(yùn)動(dòng)到P所需的時(shí)間就是 OP+MA和最小.;如下圖，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到月，即月。二WB時(shí)，所用時(shí)間最短./. I =0P= 3在£ 碧"中,設(shè)= 2工.建=3M.拉f 二JC3x):=(2x)-K £ )2解得：-一 -一 22，且F =：和0走完全程所需時(shí)間為A 一也 一“F考點(diǎn)：菱形的判定方法；構(gòu)造直

22、角三角形求三角函數(shù)值；確定極值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的特殊位置8.如圖，四邊形 ABCD是菱形，對(duì)角線 AC與BD交于點(diǎn)O,且AC= 80, BD=60.動(dòng)點(diǎn)M、N分別以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn) A D同時(shí)出發(fā)，分別沿 A- O-D和D-A運(yùn)動(dòng)，當(dāng) 點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)求菱形ABCD的周長(zhǎng)；(2)記4DMN的面積為S,求S關(guān)于t的解析式，并求 S的最大值；(3)當(dāng)t=30秒時(shí)，在線段 OD的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P,使得/ DPO=/ DON?若存在，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出點(diǎn) P到線段OD的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.ABCD 中,= 3。2 + 4。？ = 5。當(dāng)0&

23、lt;t04時(shí)，如答圖1 ,. AC1BD, AC=80, BD=60, . AD，菱形ABCD的周長(zhǎng)為200。(2)過(guò)點(diǎn)M作MPLAD,垂足為點(diǎn) P.MP AO 4 sinOAD =二 一MD AD 5,.MP=AM?sinZOAD=?to 當(dāng)40vtV5時(shí)，如答圖2, MD=70t,1，MP=? (70-t)。I1 I1 I1 4040/.Sadmn=7dN?MP，X PX(70 t) =50t2+28t=50 (t 35) 2+490。3”、，s關(guān)于t的解析式為。Jr . 4-:t-35)'+4M|40<t<50|當(dāng)0vtW4時(shí)，S隨t的增大而增大，當(dāng)t=40時(shí)，最大

24、值為480；當(dāng)40Vt W50寸,S隨t的增大而減小，最大值不超過(guò)480。綜上所述，S的最大值為480。(3)存在2個(gè)點(diǎn)P,使得/ DPO=/ DON。如答圖3所示，過(guò)點(diǎn)N作NFLOD于點(diǎn)F,維3“E 40 C 則 NF=ND?sinZ ODA=30=245。，一 一 30DF=ND?cos/ ODA=3OX =18。50，OF=12。OX =12# o.t3nNOD = -= 21 = 2OF 12作/NOD的平分線交 NF于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作GHON于點(diǎn)H,則 FG=GH111111111Sa onf=7OF?NF=S ogf+Sa ogn='OF?Fg+oN?GH= ( OF+ON)

25、 ?FG。OF NF 12x2424.rli = 八OF 十ON 12-1?仍 1-出1111設(shè)OD中垂線與OD的交點(diǎn)為K,由對(duì)稱性可知:/ DPK= / DPO= / DON=Z FOG,taiZDPK = PK PK根據(jù)菱形的對(duì)稱性可知，在線段OD的下方存在與點(diǎn) P關(guān)于OD軸對(duì)稱的點(diǎn)P'。一 ,"一+ 口 15（拜-“，存在兩個(gè)點(diǎn)P到OD的距離都是飛1【解析】試題分析：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形、等腰三角形、中垂線、勾股定理、解直角三角形、二次函數(shù)極值等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度.第（2）問(wèn)中，動(dòng)點(diǎn)M在線段AO和OD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是兩種不同的情形，需要分類

26、討論；第（3）問(wèn)中，滿足條件的點(diǎn)有 2個(gè)，注意不要漏解.（1）根據(jù)勾股定理及菱形的性質(zhì)，求出菱形的周長(zhǎng)；（2）在動(dòng)點(diǎn) M、N運(yùn)動(dòng)過(guò)程中： 當(dāng)0vtW40寸，如答圖1所示，當(dāng)40vtW50寸，如 答圖2所示.分別求出S的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；（3）如答圖4所示，作ON的垂直平分線，交 EF于點(diǎn)I,連接OI, IN.過(guò)點(diǎn)N作NGXOD, NHLEF,垂足分別為 G, H.易得DNGsDAO,由EF垂直平分 OD,得到OE=ED=15 EG=NH=3,再設(shè) OI=R, EI=x,根據(jù)勾股定理，在 RtOEI和 RtNIH 中，得到 關(guān)于R和x的方程組，解得 R和x的值，把二者相加

27、就是點(diǎn) P至IJOD的距離，即PE=P%P,到IE=R+X又根據(jù)對(duì)稱T可得，在BD下方還存在一個(gè)點(diǎn) P也滿足條件，故存在兩個(gè)點(diǎn)OD的距離也相同，從而問(wèn)題解決.1OD=BD=30,1試題解析：（1）如圖）在菱形ABCD中，OA=AC=40,.ACXBD,.AD=J*? + W=50,菱形ABCD的周長(zhǎng)為200；圖(2)(如圖)過(guò)點(diǎn)M作MHLAD于點(diǎn)H.(如圖甲)當(dāng)Ov t W 4時(shí)，MH 0D 3sin Z oad'MD隼，3.MH= Jt,|13.S=DN MH=1(1t2.(如圖乙)當(dāng)40vt W5時(shí)，MD=80-t ,Mil AO. sin/ADO。/”,4.MH='>

28、;(70-t),111SpDN MH,2=A2+28t121= -%35)2+ 490.3而。<1m4。2g(t - 35尸 + 49。. 4°<t- 5° S二,當(dāng)0vtW4(時(shí)，S隨t的增大而增大，當(dāng)t=40時(shí)，最大值為480.當(dāng)40vtW5咐，S隨t的增大而增大，當(dāng)t=40時(shí)，最大值為480.綜上所述，S的最大值為480;(如圖)作ON的垂直平分線，交 EF于點(diǎn)I,連接OI, IN.過(guò)點(diǎn)N作NGOD, NHLEF,垂足分別為 G, H.當(dāng) t=30 時(shí)，DN=OD=30,易知DNGsDAO,，NG=24, DG=18.G舒q.EF垂直平分OD,，OE=ED

29、=15, EG=NH=3,設(shè) OI=R, EI=x,則在RtOEI中，有R2=l52+x2，在 RtNIH 中,有 R2=32+ (24-x)2，1(5與一 2v2由，可得：，15(5 +1)2'，PE=PI+IE=-根據(jù)對(duì)稱性可得，在 BD下方還存在一個(gè)點(diǎn) P也滿足條件,1505 +1)，存在兩個(gè)點(diǎn)P,到OD的距離都是 .考點(diǎn)：相似性綜合題9.某條道路上通行車輛限速 60千米/時(shí)，道路的AB段為監(jiān)測(cè)區(qū)，監(jiān)測(cè)點(diǎn) P到AB的距離 PH為50米（如圖）.已知點(diǎn) P在點(diǎn)A的北偏東45方向上，且在點(diǎn) B的北偏西60 °方向 上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東75°方向上，那么車輛通過(guò)

30、AB段的時(shí)間在多少秒以內(nèi)，可認(rèn)定為 超速？（參考數(shù)據(jù)：J3=i.7 J2、.4）.【答案】車輛通過(guò) AB段的時(shí)間在8.1秒以內(nèi)，可認(rèn)定為超速【解析】分析：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，然后利用解直角三角形的應(yīng)用，解 直角三角形即可.詳解：如圖，由題意知 /CAB=75, /CAP=45, / PBD=60 ,/ PAH=Z CAB-/ CAP=30 ,°50 / PHA=Z PHB=90 ； PH=50,AH= 73 =5073 ,tan PAH 31. AC/ BD,/ ABD=180CAB=105/ PBH=Z ABD/ PBD=45 ,貝U PH=BH=50,AB=

31、AH+BH=505/3+50,5050 J3 50.一60 千米/時(shí)=,米/秒，時(shí)間 t= 50=3+3 J3 = 8.1(秒)，3即車輛通過(guò)AB段的時(shí)間在8.1秒以內(nèi)，可認(rèn)定為超速.點(diǎn)睛：該題考查學(xué)生通過(guò)構(gòu)建直角三角形，利用某個(gè)度數(shù)的三角函數(shù)值求出具體邊長(zhǎng)，即 實(shí)際路程，并進(jìn)行判斷相關(guān)的量。10.水庫(kù)大壩截面的迎水坡坡比(DE與AE的長(zhǎng)度之比)為1： 0.6,背水坡坡比為1： 2,大壩高DE=30米，壩頂寬CD=10米，求大壩的截面的周長(zhǎng)和面積.【答案】故大壩的截面的周長(zhǎng)是(664+30遙+98)米，面積是1470平方米.【解析】試題分析：先根據(jù)兩個(gè)坡比求出AE和BF的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求

32、出AD和BC,再由大壩的截面的周長(zhǎng)=DC+AD+AE+EF+BF+BC梯形的面積公式可得出答案.試題解析：二.迎水坡坡比(DE與AE的長(zhǎng)度之比)為1: 0.6, DE=30m,，AE=18 米，在 RTA ADE 中，AD=JDE2 AE2=6734 米背水坡坡比為1: 2, .BF=60 米，在 RTA BCF中，BC=7CP=3075 米，. .周長(zhǎng)=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+30 而+88= (6 734+30 石+98)米，面積=(10+18+10+60) X30+2=1470平方米).故大壩的截面的周長(zhǎng)是(6 J34+30 J5+98)米，面積是1470平方米

33、.11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) 點(diǎn)A、點(diǎn)B ,且 ABO的面積為O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y kx 4交x軸、y軸分別于8.象限直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PO,將線段OP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至線段OC,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m ,求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量t的取值范圍)；(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn) B作直線BM OP ,交x軸于點(diǎn)M ,垂足為點(diǎn)N ,點(diǎn)K 在線段MB的延長(zhǎng)線上，連接 PK ,且PK KB 0P, PMB 2 KPB，連接MC , 求四邊形BOCM的面積.【答案】(1) k 1 ； (2)m t 4； (3)Sybocm 32.【解析】【分析】(1)

34、先求出A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出k的值；(2)過(guò)點(diǎn)P作PD x軸，垂足為D ,過(guò)點(diǎn)C作CE x軸，垂足為E ,證 PODOCE可彳導(dǎo)OE PD ,進(jìn)一步得出 m與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)過(guò)點(diǎn)O作直線OT AB ,交直線BM于點(diǎn)Q ,垂足為點(diǎn)T ,連接QP ,先證出QTB PTO ；再證出 KPB BPN ;設(shè) KPB x ,通過(guò)計(jì)算證出 PO PM ;再過(guò)點(diǎn)P作PD列式可求得t=4；x軸，垂足為點(diǎn) D ,根據(jù)tan OPD tan BMO得到02 -BO ,PD MO所以0M=8進(jìn)一步得出四邊形 BOCM是平行四邊形，最后可得其面積為32.【詳解】解：(1)把x 0代入ykx 4, y 4

35、,B0 4,又，SABO 41 - AO BO 4 , AO 4,2A( 4,0),把 x 4, y 0代入 y kx 4,得 0 4k 4,解得k 1.故答案為1；解：把 x t 代入 y x 4, y t 4, P(t,t 4)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD x軸，垂足為D,過(guò)點(diǎn)C作CE x軸，垂足為E,二線段OP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至線段OC ,POC 90 , OP OC,POD EOC 90 , OPD EOC, POD OCE , OE PD , m t 4. 故答案為m t 4.(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn) O作直線OT AB ,交直線BM于點(diǎn)Q ,垂足為點(diǎn)T ,連接QP ,由（1）知，AO BO

36、4, BOA 90 ,ABO為等腰直角三角形，ABO BAO 45 , BOT 90 ABO 45 ABO ,BT TO ,BTO 90 ,TPO TOP 90 , PO BM ，BNO 90 ,BQT TPO ,QTBQT TP ,POPQTQPTPO PKQB PKQK KP ,KQPKPQPQTKQPQPT KPQTQB TPK ,KPB設(shè) KPBBPNPMB2 KPBPMBPOMPAOAPO 45 xNMO 90POM 45 x ,PMOPMBNMO45POM ， PO PM , 過(guò)點(diǎn)P作PDx軸,垂足為點(diǎn) OM 2OD2t,OPD 90POD 45tan OPDtan BMO ,OD

37、 BOPDMOt 4,t 4 2tt14,t22 （舍） OM8,由(2)知，m8 OM ，c CMp y軸,. PNM POC 90 , BM POC ,，四邊形BOCM是平行四邊形,SYB0cMBO OM 4 8 32.故答案為32.本題考查了一次函數(shù)和幾何的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì), 當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.解直角三角形，添加適12.如圖，在？ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O, AC± BC于點(diǎn) AEC,連接 DE.(1)求證：四邊形 ACED是矩形；(2)若 AC= 4, BC= 3,求 sin/ABD 的值.C, W ABC沿AC翻折得到ADBCS【答案】

38、(1)證明見(jiàn)解析(2) 6365【解析】【分析】(1)根據(jù)？ABCD中，AC± BC,而AB8 4AEC不難證明；(2)依據(jù)已知條件，在 4ABD或4AOC作垂線AF或OF,求出相應(yīng)邊的長(zhǎng)度，即可求出 ZABD的正弦值.【詳解】(1)證明： WAABC沿AC翻折得到aAEC,，BC= CE, AC± CE, 四邊形ABCD是平行四邊形， .AD/BC, AD= BC,.AD=CE, AD/CE,四邊形ACED是平行四邊形， .ACXCE, 四邊形ACED是矩形.(2)解：方法一、如圖 1所示，過(guò)點(diǎn) A作AF± BD于點(diǎn)F, ,. BE=2BC= 2X2 6, DE

39、=AC= 4, 在 RtBDE 中，BD BE2DE2.62 422.13 S；ABDE= 1 X DE?AD - AF?BD,22AF =2 .136/313 .RtABC中，AB= 73242=5， RtA ABF 中，AF 6、136 .13sin/ABF= sin/ABD= ab1365 .5方法二、如圖2所示，過(guò)點(diǎn)。作OF, AB于點(diǎn)F,同理可得，OB= - BD Ji3, 21 1一Saaob= _OF AB OA BC ,22.OF=65.在 RtBOF 中,0F 66.13sin / FBO= OB 5,1365 .sin/ABD= 6 癡.65【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形翻折變

40、化后所得圖形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì) 和解直角三角形求線段的長(zhǎng)度，關(guān)鍵是正確添加輔助線和三角形面積的計(jì)算公式求出sin/ABD.13.如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60。方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛 1000米到達(dá)C處后，因前方 無(wú)法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西 45。方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在 D處成功 攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn) D處到公路的距離(結(jié)果不取近似值).D【答案】攔截點(diǎn) D處到公路的距離是(500 + 500V2)米.【解析】試題分析：過(guò)B作AB的垂線，過(guò)C作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)E;過(guò)C作AB的垂線,過(guò)D作AB的平行線，兩線交于點(diǎn) F,則/ E=Z F=90。，攔截點(diǎn)D處到公路的距離DA=BE+CF 解 RtBCE 求出 BE=- BC= X 1000=50冰；解 RCDF,求出22、叵 _ _ _ _ _ rCF=±CD=500j2 米，則 DA=BE+CF=(500+50072)米試題解析：如圖，過(guò) B作