第4章實(shí)體三鉸拱

1、指桿的軸線為曲線，且指桿的軸線為曲線，且的結(jié)構(gòu)。的結(jié)構(gòu)。 (1) 拱的軸線為曲線，而梁一般為直線拱的軸線為曲線，而梁一般為直線（有時(shí)也有曲線的）；（有時(shí)也有曲線的）； (2) 拱在豎向荷載的作用下能產(chǎn)生水平推拱在豎向荷載的作用下能產(chǎn)生水平推力，而梁不能。例如：力，而梁不能。例如： 水平推力的存在，是拱結(jié)構(gòu)區(qū)別于梁的一個(gè)重要標(biāo)志。水平推力的存在，是拱結(jié)構(gòu)區(qū)別于梁的一個(gè)重要標(biāo)志。因此，通常又把拱結(jié)構(gòu)因此，通常又把拱結(jié)構(gòu)。直梁直梁曲梁曲梁拱拱工程中常見(jiàn)的拱結(jié)構(gòu)形式有工程中常見(jiàn)的拱結(jié)構(gòu)形式有 無(wú)鉸拱無(wú)鉸拱 在帶拉桿的三鉸拱中，在帶拉桿的三鉸拱中，代替了支座的水平代替了支座的水平推力，因此，在豎向荷載的

2、作用下支座只產(chǎn)生豎向反力，推力，因此，在豎向荷載的作用下支座只產(chǎn)生豎向反力，結(jié)構(gòu)內(nèi)部的受力與拱完全一樣。結(jié)構(gòu)內(nèi)部的受力與拱完全一樣。 三鉸拱三鉸拱二鉸拱二鉸拱帶拉桿的三鉸拱帶拉桿的三鉸拱帶拉桿的三鉸拱帶拉桿的三鉸拱拱趾拱趾 拱兩端支座稱為拱兩端支座稱為拱趾拱趾；拱頂拱頂 拱中間的最高點(diǎn)稱為拱中間的最高點(diǎn)稱為拱頂拱頂； 矢高矢高 拱頂?shù)絻芍ёB線的拱頂?shù)絻芍ёB線的豎向豎向距離距離 f 稱為稱為矢高矢高；矢跨比矢跨比 矢高矢高 f 與跨度與跨度 l 之比之比 f/l，稱為，稱為矢跨比矢跨比。矢跨比是。矢跨比是拱的基本參數(shù)，工程中大多數(shù)為拱的基本參數(shù)，工程中大多數(shù)為 f/l =（1 0.1）。）。

3、 需比梁更堅(jiān)固基礎(chǔ)或支承結(jié)構(gòu)，外形比梁復(fù)雜，需比梁更堅(jiān)固基礎(chǔ)或支承結(jié)構(gòu)，外形比梁復(fù)雜，施工難度較大。施工難度較大。 (1)較為省材料，自重減輕，能跨越較大的空間；較為省材料，自重減輕，能跨越較大的空間；(2)由于有水平推力的存在，其各個(gè)截面上的彎矩比由于有水平推力的存在，其各個(gè)截面上的彎矩比相應(yīng)的曲梁或梁要小，因此可利用抗壓性能好、抗相應(yīng)的曲梁或梁要小，因此可利用抗壓性能好、抗拉性能差的材料（如磚、石、混凝土等）來(lái)建造。拉性能差的材料（如磚、石、混凝土等）來(lái)建造。 fl 曲梁部分在材料力學(xué)中已講過(guò)，主要應(yīng)注意曲梁部分在材料力學(xué)中已講過(guò)，主要應(yīng)注意。這里主要介紹三鉸拱的有關(guān)計(jì)算。這里主要介紹三鉸

4、拱的有關(guān)計(jì)算。三鉸拱為靜定拱，下面以兩拱趾在同一水平線上的平拱三鉸拱為靜定拱，下面以兩拱趾在同一水平線上的平拱（兩拱趾不在同一水平線上方法一樣）為例介紹三鉸拱的（兩拱趾不在同一水平線上方法一樣）為例介紹三鉸拱的反力及內(nèi)力計(jì)算。反力及內(nèi)力計(jì)算。 如圖所示三鉸拱如圖所示三鉸拱 得由0FMBiipiAbFlV1 得由0FMAiipiBaFlV1由由X=0 得得HHHBAAClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHB由補(bǔ)充方程由補(bǔ)充方程MC =0得得(考慮左考慮左半部分拱半部分拱) 02121111fHalFalFlVAppAfalFalFlVHppA2121111得我們

5、來(lái)分析與之相對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)支梁我們來(lái)分析與之相對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)支梁對(duì)于簡(jiǎn)支梁易得對(duì)于簡(jiǎn)支梁易得 iipiAbFlV10iipiBaFlV10212111100alFalFlVMppAC比較可知比較可知 iipiAbFlV1iipiBaFlV1AClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHBVB0VA0ABFp1Fp2FpnCKK 由上式可知，推力等于相應(yīng)由上式可知，推力等于相應(yīng)簡(jiǎn)支梁截面簡(jiǎn)支梁截面C的彎矩的彎矩 MC0 除以除以矢矢高高f，在一定荷載作用下，推力只，在一定荷載作用下，推力只與三個(gè)鉸的位置有關(guān)，而與各鉸與三個(gè)鉸的位置有關(guān)，而與各鉸間的拱軸曲線形式無(wú)關(guān)。間的拱軸曲線形

6、式無(wú)關(guān)。fMHC0(4-1)00BBAAVVVV 由于推力與矢高由于推力與矢高 f 成成反比反比關(guān)系，因此，拱愈低推力關(guān)系，因此，拱愈低推力愈大，當(dāng)愈大，當(dāng) f0時(shí)，推力時(shí)，推力H。此時(shí)。此時(shí)A、B、C三鉸在同三鉸在同一直線上，一直線上，。AClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHBVB0VA0ABFp1Fp2FpnCKK 用用截面法截面法可求出拱任一截面可求出拱任一截面的內(nèi)力。對(duì)于任一截面的內(nèi)力。對(duì)于任一截面K取研究取研究對(duì)象如圖對(duì)象如圖(b)所示。所示。K 拱的任一截面內(nèi)力拱的任一截面內(nèi)力符號(hào)規(guī)定符號(hào)規(guī)定為為：彎矩：彎矩M，使拱內(nèi)纖維受拉的，使拱內(nèi)纖維受拉的

7、為正；剪力為正；剪力FQ，對(duì)隔離體產(chǎn)生順，對(duì)隔離體產(chǎn)生順時(shí)針矩的為正（時(shí)針矩的為正（與梁相同與梁相同），），軸軸力力F FNN，受壓為正，受壓為正。 得由0FMKKKpKAKyHaxFxVM111100axFxVMKpKAK11axFxVKpKAKKKyHMM0(4-2) MKyKxKVAHxyFp1FQKFNK KK圖圖(b)VA0Fp1F0QK0KMAClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHB1100pApAQKFVFVFKKQKQKKKQKNKHFFHFFsincoscossin00(4-3) 有了上述任意截面的內(nèi)力方程，不難畫(huà)出其內(nèi)力圖。有了上述任意截面

8、的內(nèi)力方程，不難畫(huà)出其內(nèi)力圖。與梁剛架類似，與梁剛架類似，在集中力作用處在集中力作用處，F(xiàn)NK和和FQK圖將圖將突變突變，在集中力偶作用處在集中力偶作用處，M圖將圖將突變突變。由于拱軸為曲線，可。由于拱軸為曲線，可采用描點(diǎn)法來(lái)作內(nèi)力圖。采用描點(diǎn)法來(lái)作內(nèi)力圖。下面舉例說(shuō)明。下面舉例說(shuō)明。 所有的力向所有的力向FNK方向投影得方向投影得KKpANKHFVFcossin1所有的力向所有的力向FQK方向投影得方向投影得KKpAQKHFVFsincos1圖圖(c)VA0Fp1F0QKMKyKxKVAHxyFp1FQKFNK KK 三鉸拱及受載如圖示，求支反力并作內(nèi)力圖。三鉸拱及受載如圖示，求支反力并作內(nèi)

9、力圖。)(42xlxlfy拱軸線為拋物線 (1)求支座反力求支座反力kN7162412810AAVVkN5161244810BBVVkN648822100ACVfMH(2)求內(nèi)力方程求內(nèi)力方程AC段：段：yxxHyqxxVyHMMA6217212200sin6cos7sincos0 xHFFQQcos6sin7cossin0 xHFFQN4mxAC4mB8m4mq=1kN/mFp=4kNDyHVBVAHABFpCqD相應(yīng)簡(jiǎn)支梁相應(yīng)簡(jiǎn)支梁VB0VA0CD段：段：yxxHyxqxVyHMMA6) 4( 87) 4( 800sin6cossincos0HFFQQcos6sincossin0HFFQN

10、DB段：段：yHMM0sin6cos5sincos0HFFQQcossin0HFFQN上述各式中上述各式中 16161616442xxxxy88arctanarctanxdxdyyxHyxVB6)16(5)16(0cos6sin5kN7162412810AAVVkN5161244810BBVVkN648822100ACVfMH610HFQ650HFQ4mxAC4mB8m4mq=1kN/mFp=4kNDy 利用上述方程可以求出任一截面的內(nèi)力，為了方便繪利用上述方程可以求出任一截面的內(nèi)力，為了方便繪圖，圖，通常列表通常列表求出有限個(gè)截面的內(nèi)力數(shù)值，然后根據(jù)表中求出有限個(gè)截面的內(nèi)力數(shù)值，然后根據(jù)表中

11、數(shù)據(jù)，采用數(shù)據(jù)，采用描點(diǎn)法描點(diǎn)法即可得到內(nèi)力圖（有限個(gè)截面選取時(shí)要即可得到內(nèi)力圖（有限個(gè)截面選取時(shí)要注意，有些注意，有些關(guān)鍵截面關(guān)鍵截面內(nèi)力突變截面不要漏掉）。若八內(nèi)力突變截面不要漏掉）。若八等分，則計(jì)算結(jié)果如下表所示。等分，則計(jì)算結(jié)果如下表所示。 123456789M圖（圖（kN.m）1.521.50.520.5FQ 圖（圖（kN）0.710.40.491.00.491.791.790.40.70 FN 圖（圖（kN）9.197.86.76.066.06.065.817.67.87.78注意：注意：在在FQ=0處，處，M圖有極值圖有極值; 在集中力作用處，在集中力作用處，F(xiàn)Q圖和圖和FN圖均

12、發(fā)生突變。圖均發(fā)生突變。 在固定荷載作用下，使拱處于無(wú)彎矩狀態(tài)時(shí)在固定荷載作用下，使拱處于無(wú)彎矩狀態(tài)時(shí)的拱軸線，稱為的拱軸線，稱為。 因此，若拱軸為合理拱軸線，根據(jù)定義，因此，若拱軸為合理拱軸線，根據(jù)定義，則任一截面有則任一截面有00yHMM即即 HxMy)(0(4-4) 這就是這就是。下面舉例說(shuō)明如何確定合理拱軸線。下面舉例說(shuō)明如何確定合理拱軸線。 xy 對(duì)稱三鉸拱受載如圖示，求其合理拱軸線。對(duì)稱三鉸拱受載如圖示，求其合理拱軸線。 建立如圖所示坐標(biāo)系建立如圖所示坐標(biāo)系 相應(yīng)簡(jiǎn)支梁任一截面相應(yīng)簡(jiǎn)支梁任一截面的彎矩方程為的彎矩方程為 2021xlxqxM820qlMCfqlfMHC820代入（代

13、入（4-4）式即得合理拱軸線為）式即得合理拱軸線為 xlxlfHxMy204HxMy)(0(4-4) qACBlf 求圖示對(duì)稱三鉸拱的合理拱軸線。其上所受的分布荷求圖示對(duì)稱三鉸拱的合理拱軸線。其上所受的分布荷載為載為q=qd+ .y（ 為填料的容重）。為填料的容重）。 由于荷載由于荷載 q 也與拱軸的形狀也與拱軸的形狀有關(guān)，故此時(shí)無(wú)法直接應(yīng)用有關(guān)，故此時(shí)無(wú)法直接應(yīng)用（4-4）式。）式。 HxMy)(0202)(1dxxMdHy ： 也與拱軸形狀有關(guān)，即也是也與拱軸形狀有關(guān)，即也是x的函數(shù)，的函數(shù)，這里僅是近似處理，形狀的微小改變，對(duì)水平推力的影這里僅是近似處理，形狀的微小改變，對(duì)水平推力的影響

14、較小，忽略不計(jì)。響較小，忽略不計(jì)。 fqMHC)(0qdxMd22 HyqHxqyd (a)HxMy)(0(4-4) fACBlxyqqdq=qd+ .y(x)整理可得整理可得 (b)式的解可由式的解可由表示為表示為 Hqykyd 2(b) 其中其中 Hk(c) 2shchkHqkxBkxAyd或或 dqkxBkxAyshch(d) 邊界條件為：邊界條件為： 00 xy00 xy由邊界條件得：由邊界條件得： dqA0B1chxHqyd代回代回(d)式得式得 上式表明，三鉸拱在上式表明，三鉸拱在的作用下，合理拱軸線為的作用下，合理拱軸線為一一。 圖示三鉸拱沿拱軸的法向受均布?jí)毫?，試圖示三鉸拱沿拱

15、軸的法向受均布?jí)毫?，試證明證明合理合理拱軸線為圓弧線。拱軸線為圓弧線。因?yàn)橐驗(yàn)閝不是豎向荷載，不能不是豎向荷載，不能直接應(yīng)用（直接應(yīng)用（4-4）式。設(shè)拱軸）式。設(shè)拱軸的曲率半徑為的曲率半徑為 ，取出為段，取出為段ds為研究對(duì)象。如圖示為研究對(duì)象。如圖示FN FQMFN+dFNFQ+dFQM+dMoxyd 由由X=0 得得 d 很小很小 ,22sindd12cosd2cos2cosddFFqdsdFQQQ02sinddFFFNNN(a)因此因此(a)式整理可得式整理可得 qFdsdFNQ(b)HxMy)(0(4-4) ACqB由由Y=0得得 02sin2cos2cosddFFFddFFdFQQQ

16、NNN(c)上式整理可得上式整理可得QNFdsdF(d) 0oFM由由 得得02cos22cos2ddsdFFddsFMdMMQQQ(e)上式整理可得上式整理可得QFdsdM(f)分析分析：當(dāng)拱軸為合理軸線時(shí)，有當(dāng)拱軸為合理軸線時(shí)，有M=0，由，由(f)式式知，知， FQ =0；將其代回將其代回(d)式式知，知， FN =常數(shù)；常數(shù)；由由(b)式式知，知， =FN /q=。故當(dāng)拱軸為合理軸線時(shí)，其曲率半徑故當(dāng)拱軸為合理軸線時(shí)，其曲率半徑 為為。 qFdsdFNQ(b)FN FQMFN+dFNFQ+dFQM+dMoxyd 三鉸剛架是桿軸線為折線形式的三鉸剛架是桿軸線為折線形式的。它的支座。它的支

17、座反力計(jì)算與三鉸拱一樣，而內(nèi)力的計(jì)算與剛架相同。下面反力計(jì)算與三鉸拱一樣，而內(nèi)力的計(jì)算與剛架相同。下面舉例說(shuō)明。舉例說(shuō)明。 如圖示對(duì)稱剛架，作如圖示對(duì)稱剛架，作M圖。圖。：可把此結(jié)構(gòu)視為由虛鉸：可把此結(jié)構(gòu)視為由虛鉸A 和和B 實(shí)鉸實(shí)鉸C相連的三鉸剛架。相連的三鉸剛架。kN386410AAVVkN182410BBVVkN4 . 2474tan4741430fMHC利用所求虛鉸的約束反力，可求利用所求虛鉸的約束反力，可求出虛鉸中各鏈桿的內(nèi)力。出虛鉸中各鏈桿的內(nèi)力。 B VA A fHHVB FE11ABCDGH33331q=1kN/m (長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度單位m)圖圖(a)VA 0VB 0圖圖(b)VA

18、 A HVA FNDE圖圖(c)由圖由圖(c)得得kN4534 . 2sinHFNDEkN2 . 65443cosNDEAAFVVB HVB VBFNDF圖圖(d)由圖由圖(d)得得 kN4534 . 2sinHFNDFkN2 . 45441cosNDFBBFVV這樣可求得剛架的受力如圖這樣可求得剛架的受力如圖(e)所示。所示。ABCEFGq=1kN/mVA VB FNDEFNDE圖圖(e)H：0GEGAMMkN.m7 . 512112qVMMAECEG0HFHBMMkN.m2 . 41BFCFHVMMkN3AVkN1BVkN4 . 2H：如圖如圖(f)所示。所示。5.7 4.2 ：求約束反力時(shí)，也可取：求約束反力時(shí)，也可取AC、BC兩剛片分別作為研究對(duì)兩剛片分別作為研究對(duì)象如圖象如圖(g)所示。所示。 考慮圖考慮圖(g)左半部分左半部分,由由MA =0得得考慮圖考慮圖(g)右半部分右半部分,由由MB =0得得8435CCVH(a)0435CCVH(b)聯(lián)立聯(lián)立(a)和和(b)解得解得kN4 . 2CHkN1CVM圖圖(kN.m) 圖圖(f)112/8=0.125 132/8=1.125 ABCEFGq=1kN/mVA VB FNDEFNDE圖圖(g)HCVC V