“洛必達(dá)法則”巧解高考恒成立問(wèn)題

1、“洛必達(dá)法則”巧解高考恒成立問(wèn)題程漢波楊春波(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢430079 )含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題是高考的一個(gè)難點(diǎn)與熱點(diǎn)，歷年高考中該問(wèn)題層出不窮、精彩紛呈.參數(shù)分離一一討論最值(數(shù)形結(jié)合)是該類(lèi)問(wèn)題的慣用方法，然而，筆者發(fā)現(xiàn)一個(gè) 奇特的現(xiàn)象是許多高考試題采用參數(shù)分離法求解入手容易，思路簡(jiǎn)單，但皆因中途函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)性或極值難以求出而致使解答半途而廢.筆者研究后發(fā)現(xiàn)若借助高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則往往能化險(xiǎn)為夷，柳暗花明.本文結(jié)合近幾年全國(guó)各地高考中的恒成立問(wèn)題，談?wù)劇奥灞剡_(dá)法則”在其中的美妙應(yīng)用.以下定理在數(shù)學(xué)分析(高等數(shù)學(xué))即可查到，故將其證明略去.定理 若函數(shù)

2、f(x)、g(x )在定義域D內(nèi)可導(dǎo)，awD,滿(mǎn)足f(a)=g(a)=0, f (a卜g(a 而在且 g'(a )# 0 ,貝U lim flimj(x)= lim "x) xagx x - x x”gx例1 (2012年湖南卷理22)已知函數(shù)f(x)=eax_x,其中a¥0.(1)若對(duì)一切xWR, f(x心1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：f (x巨1等價(jià)于eax >x +1 .當(dāng)xM1或x = 0時(shí)，不等式eax之x +1對(duì)一切a w R恒成立；當(dāng)x> 1且x#0時(shí)，不等式eax主x+1等價(jià)于ax主ln(x + 1),也即等價(jià)于：當(dāng)ln x 1ln

3、x 1，- 1<x<0 時(shí)，a <當(dāng) x>0 時(shí)，a >.所以xx一方面， a w lim lnx1)= lim =1= a W1 ；x10 - x x 0 -x 1ln x 11 一a 之 lim/= lim /=1= a 之 1-故 a = 1.x J0x x 0 x 1另一方面，當(dāng) a =1 時(shí)，令 g (x )=ex x -1 ,則 g (x )=ex -1,當(dāng) x < 0 時(shí)，g (x )< 0 ；當(dāng)x>0時(shí)，g (x )>0 ,所以g(x)至g(x min = g(0 )= 0 ,即不等式3、一*之1恒成立.綜上：實(shí)數(shù)a的取值范

4、圍為a=1.例2 (2012年天津卷理20)已知函數(shù)f(x)=xTn(x+a )的最小值為0,其中a> 0 .(1)求a的值.(2)若對(duì)任意的xW0,+望)，有f(xHkx2恒成立，求實(shí)數(shù)k的最小值.解：易得 a=1,過(guò)程略去；f (xkx2即為 x ln(x+1 kx2 .當(dāng)x=0時(shí)，即0=0,不等式對(duì)一切kwR恒成立；只需考略 x>0的情形，原不等式即等價(jià)于k >xlnx+1)對(duì)一切x>0恒成立.所以， x1 -= limU=Lx w 2 x 12x -ln x 1x 1一方面,k - lim 2二 limx1x Q- x2 x P . 2x.1 一.1 2.,，1

5、另一方面，當(dāng)k= 一時(shí)，令 g(x)= x x + ln(x + 1),則 g(x)=x 1 +22x 1x212. 一 , 一一 . -1 ,之0n g(x )之g(0 )=0 ,所以xln(x+1x對(duì)一切x之0成立.顯然當(dāng)k之一時(shí), x 1221 0不等式x ln僅+1 )-x < kx對(duì)一切x之0恒成立.,，一一1綜上：實(shí)數(shù)k的最小值為k =一.2例3 (2012年大綱全國(guó)卷理 20)設(shè)函數(shù)f (x )= ax+cosx,xw b,n 1(1)討論f (x )的單調(diào)性.(2)設(shè)f(x)M1+sinx,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)略去；f (x )W1+sin x 即為 ax E1

6、+ sin x cosx.當(dāng)x=0時(shí)，即0=0,不等式對(duì)一切aWR恒成立；只需考略 x>0的情形，原不等式即等價(jià)于aJ+sinx - C0sx對(duì)一切0<xwn恒成立.所以， x1 sinx -cosx一萬(wàn)面， a < lim,= lim/cosx-sinx)=1= a <1;x)0 'xx j0 .1 sinx - cosx22 痂 2a < lim=一= a < 故 a <x -：- x二二二一 、一 ,22 i力一萬(wàn)面，當(dāng)a=一時(shí)，f (x )= x+cosx,x= 0,n】皿屋即x 二jin0 < x - M ，則2231當(dāng)0Wx&

7、#163;一時(shí)，由y = sinx上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)斜率大小關(guān)系易得 22 一 2、”二一sinx之x,所以 f (x )= x+cosxMsinx+1;當(dāng)一Mxn 時(shí),二二2 221 冗】1一，f (x )=x +cosx W1 + x i-sin x |1 1 +sin x .所以當(dāng) 0 Wx 蕓兀時(shí)，有冗冗12 J <2).22 一 .2f(x)=x+cosxEsinx+1成乂 顯然當(dāng) aW時(shí)，f(x)= ax + cosx E x +cosx Wsin x +1對(duì)于0 w x w兀恒成立.一 ，一一 2綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍為a <-,國(guó)aln x b例4 (2011年新課標(biāo)

8、全國(guó)卷理 21)設(shè)函數(shù)f(x)=+一，曲線(xiàn)y=f(x )在點(diǎn)x 1 x(1, f(1 )處的切線(xiàn)方程為x+2y3=0.(1)求a, b的值.ln x k(2)如果當(dāng)乂>0且乂01時(shí)，有f(x)>+,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.x -1 x解：(1)易得 a =1,b =1 ,過(guò)程略去；f(x)>"x+K 等價(jià)于 k<1 2)21nxx -1 xx -1一方面，k三lim x )0k < lim 12xln x = 1 - lim x2 -1x加2x1n x d 2 =1 -limx -12ln x1x -x )1 Timx一,(21nx*2=0n k <0

9、 .故 kW0.x2 -1調(diào)遞增，于2 ln x ,考慮J另一方面，當(dāng)k=0時(shí)，令g(x) = 12驊)=與一 x -1 x -1 I22x2 -1'12 x -1一h(x )=-2lnx,則 h(x)=1+=一一=# > 0,所以 h(x 庭 x A0 且 x0 1 上單xx x xx.當(dāng) 0cx<1 時(shí)，h(x)<h(1)=0, g(x)=h(x)>0；當(dāng) x>1 時(shí), x -1x2xln x 一h(x )>h(1 )=0 , g(x )=h(x)>0；所以不等式 k = 0<1 -2對(duì)于 x>0且x=1x -1x -1成立.顯

10、然，當(dāng)kM0時(shí)，不等式k <0<1-222ln對(duì)于x>0且x01恒成立.x -1綜上：實(shí)數(shù)k的取值范圍為k <0 .- . .x _2例5 (2010年新課標(biāo)全國(guó)卷理 21)設(shè)函數(shù)f(x)=e -1 -x -ax .(1)若a =0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)若當(dāng)x之0時(shí)，f(x)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)略去；f (x )之0即為 ax2 Mex-1x .當(dāng)x=0時(shí)，即0=0,不等式對(duì)一切aWR恒成立；只需考略 x>0的情形，原不等式_xe -1 - x_即等價(jià)于a W2 對(duì)一切x>0恒成立.所以，xxxxe - 1 - x e - 1

11、e一方面)a 三 lim 2 = lim = lim 一 二x j0 ,x2x >0 , 2x x 10 . 21x ,12' x另一萬(wàn)面，當(dāng) a=a 時(shí)，令 g(x)=e -1 _x-x ,則 g(x)=e -1-x ,'x''g x =e -1_0= g x _g 0 =0=.1 2g(x 巨 g(0 )=0，所以-x <e -1-x對(duì)于 x> 011成立.顯然，當(dāng) aw 時(shí)，不等式a <-xe -1 -x對(duì)一切XA0恒成立.綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍為a-2-例6 (2010年全國(guó)卷n理22)設(shè)函數(shù)證明：當(dāng)X>-1時(shí),x (2)設(shè)

12、當(dāng)x±0時(shí)，有f(x)M,求a的取值范圍.ax 1解:(1)略去；分析兩邊函數(shù)正負(fù)情況易得a >0.當(dāng)x=0時(shí)，即0=0,不等式對(duì)一切 awR恒成立;只需考略x>0的情形，原不等式.x » e * -1即等價(jià)于a三e一1x1 對(duì)一切x >0恒成立.所以,x e" -1-1 -e"一萬(wàn)面， a 三 lim - = lim x 0 x 1 - e x ：0 1 _ e xe二 lim x 0 2e_xe-x. x一 xea-2-1x另一萬(wàn)面，當(dāng)a=一時(shí)，不等式整理為 g(x 二 22ex -ex + - +1 > 0,由于2x xx，

13、 xe e 1- xe，g (x)=- + ，g (x)=->0= g(x)2g(0)=0= g(x 廬 g(0)=0, 2222所以,-.x e- -12 一 x1 -e"11對(duì)于x >0成乂.顯然，當(dāng)a W時(shí)，不等式a w w一2x - e-x 1"對(duì)一切x 1 -e恒成立.1綜上;實(shí)數(shù)a的取值范圍為0 w a £ .2注：師生均反映該壓軸題的標(biāo)準(zhǔn)答案完全是云里霧里,思路不好找，并且感覺(jué)拼湊痕跡明顯，屬于知道答案而寫(xiě)的答案。所以這里用這類(lèi)問(wèn)題的通法簡(jiǎn)單解決.sinx(2008年全國(guó)卷n理 22)設(shè)函數(shù) f(x)=2 cosx(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)

14、間.(2)如果對(duì)任何x之0都有f(xKax,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)略去；不等式 f(x)wax即為 sinx tax.2 cosx當(dāng)x=0時(shí)，即0=0,不等式對(duì)一切awR恒成立；只需考略 x>0的情形，原不等式sin x即等價(jià)于 a >對(duì)一切 x>0恒成立.所以，x 2 cosxsin xcosx一方面,a _ lim = lim x Q x 2 cosx x p 2 cosx -xsin x21人x sin x L, , cos x-2ccs x 1 c另一萬(wàn)面， 當(dāng) a =_ 時(shí)，令 g(x )=_ ，則 g (x )=2- > 0 ,33 2 cosx2

15、cosxx sin x故g(x近x至0上單倜遞增，則 g(x)至g(0 )=0 ,故一之對(duì)于x>0成立.顯然，3 2 cosx1sinx 1_ .當(dāng)a之一時(shí)，不等式 < -x < ax對(duì)于x > 0恒成立.32 cosx 3一 ，一一 1 綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>1.31 一注：a的端點(diǎn)值-恰好是f x )在x = 0處的切線(xiàn)斜率值. 3例8 (2007年全國(guó)卷I理20)設(shè)函數(shù)f(x)=exe".一卡 , _'卡 X .(1)證明：f(x )的導(dǎo)數(shù)f (x )之2 .(2)若對(duì)所有x至0都有f(x心ax,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)略去；不等式 f (x )Eax即為exe" E ax .當(dāng)x=0時(shí)，即0=0,不等式對(duì)一切aWR恒成立；只需考略 x>0的情形，原不等式x. xe _ e 即等價(jià)于a之對(duì)一切x>0恒成立.所以，x x 7