3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

1、3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算KKSHr ZrriYF 屣礎(chǔ)鞏固JDCHU GONGGU =1.已知空間四邊形ABC沖,G為CD的中點(diǎn)，則忌邁（矗+矗）等于(A)心(B)(C)云1 T-BC(D) 2-iT -iT解析：4）?+2（品+矗）二喬遼X（2加）=的*0二M.故選A.2.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（A ） 若a與b共線,b與c共線,則a與c共線; 向量a,b,c共面,即它們所在的直線共面； 若a / b,則存在唯一的實(shí)數(shù)入，使a二入b.(A)0(B)1(C)2(D)3解析：當(dāng)b=0時(shí),a與c不一定共線，故錯(cuò)誤; 中a,b,c共面時(shí),它們所在的直線平行于同一平面

2、，不一定在同一 平面內(nèi)，故錯(cuò)誤；當(dāng)b為零向量,a不為零向量時(shí)，入不存在.故 選A.fffT3.在平行六面體 ABCEEFGH中，若處=-2+3,則x+y+z等于ZC.二*s725(A) &(B)3(C) 6(D)1解析：M9B+4D+DH,則 x=1,y=-，,z二亍，故選 C.4.已知空間向量a,b,且嬴二a+2b,云=-5a+6b, =7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是(A )(A)A,B,D (B)A,B,C(C)B,C,D (D)A,C,D解析：因?yàn)榇６?f叢=2a+4b=2n,所以A,B,D三點(diǎn)共線.故選A.5.若空間中任意四點(diǎn) OAB,P滿足二m+局，其中m+n=1則(A)P

3、 AB(B)P?AB(C)點(diǎn)P可能在直線AB上 (D)以上都不對解析：因?yàn)閙+n=1所以m=1-n.所以=(1-n) 罰 即OP-OA= n(幾-雋)，即衛(wèi)P二ny 所以與力?共線.又有公共起點(diǎn)A,所以P,A,B三點(diǎn)在同一直線上，即P AB.故選A.6. 若 a 與 b 不共線，且 m=a+b,n二a-b,p二a,則(D ) (A)m,n,p共線 (B)m與p共線 (C)n與p共線 (D)m,n,p共面解析：由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p即p =m+n,又m與n不共線,所以m,n,p共面.入k,7. 已知 i,j,k 是不共面向量，a=2i-j+3k,b二-i+4j-2k,c

4、=7i+5j+若a,b,c三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)入等于（D ）626065(A) 7(B)9解析：因?yàn)閍,b,c三向量共面, 所以存在實(shí)數(shù)m,n,使得c=ma+nb.即 7i+5j+ 入 k=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).65 7 = 2m - n,5 = - m + 4-n,所以la = 3m-2所以入=7 .8. 給出下列命題: 若A,B,C,D是空間任意四點(diǎn)，則有力?顯丘=0;|a|-|b|=|a+b|是a,b共線的充要條件；若丘0共線,則AB/ CD對空間任意一點(diǎn)0與不共線的三點(diǎn)A,B,C,若。P =x）沖+y）n+ZM（其中x,y,z R）,則P,A,B,C四點(diǎn)共面.其

5、中不正確命題的個(gè)數(shù)是（C ）(A)1(B)2(C)3(D)4解析：顯然正確；若a,b共線，則|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=|aHb|, 故錯(cuò)誤；若沖R，仞共線,則直線AB,CD可能重合，故錯(cuò)誤；只有當(dāng)x+y+z=1時(shí),P,A,B,C四點(diǎn)才共面，故錯(cuò)誤.故選C.9. 下列命題: 空間向量就是空間中的一條有向線段 不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等 兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同; 向量總'與向量丘的長度相等.其中真命題有 解析:假命題,有向線段只是空間向量的一種表示形式，但不能把二 者完全等同起來. 假命題,不相等的兩個(gè)空間向量的模也可以相等，只要它們的方向 不相

6、同即可. 假命題,當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等， 但兩個(gè)向量相等卻不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn) 真命題，礎(chǔ)與他僅是方向相反，它們的長度是相等的.答案：10. 在直三棱柱ABCAiBC中，若忌=a/=bi=c,貝件呂=8解析:如圖,必1*二叭比月TTTT T=-A=-i-A-Cii)=-c-(a-b)=-c-a+b.答案:-c-a+b11. 已知點(diǎn)G是 ABC勺重心,0是空間任一點(diǎn)，若向顯二入佩,則入的值為 解析：連接CG并延長交AB于D,則EG =2匕所以皿-oc=2( 即 3OG=2OD+°Q 又 2°門="+巾3所以 3G=A+on+K.因

7、此，入的值為3.12. 有下列命題: 若爲(wèi)/ £,則A,B,C,D四點(diǎn)共線; 若沖5? /AC,則a,b,c三點(diǎn)共線； 若ei,e2為不共線的非零向量，a=4ei-5e2,b=-e屮仏?,則a / b; 若向量ei,e 2,e3是三個(gè)不共面的向量，且滿足等式kiei+k2e2+k3e3=0,則 ki=k2=k3=0.其中是真命題的序號(hào)是(把所有真命題的序號(hào)都填解析：根據(jù)共線向量的定義，若月W,則AB/ CD或A,B,C,D四點(diǎn)共線,r r 2 故錯(cuò) 嚴(yán)/ M且AB,AC有公共點(diǎn)A,所以正確；由于a=4ei-5e2= -4 (-e i+i°e2)=-4b,所以a / b.故正

8、確；易知也正確.答案:13. 如圖所示，已知幾何體ABCDAiBQD是平行六面體.It2 -AA, T -AB(1)化簡2+心,并在圖中標(biāo)出其結(jié)果；mH加設(shè)M是底面ABCD勺中心,N是側(cè)面BCGB對角線BC上的怎分點(diǎn)，設(shè)花a晶+3 + Y山且】，求a , 3 , 丫的值.2解:(1)取DD的中點(diǎn)G,過點(diǎn)G作DC的平行線GH使GH=DC,連接AH(如圖),1 T2 T-AA, T -AS T 則2+M+ 二如片 c,N3 因?yàn)镸是底面ABCD勺中心,N是側(cè)面BCGB對角線BC上的懇分點(diǎn),It 3 tT T -> DR Ef7i 所以 MN二M/7+用N=2+4=2（占/?_ /lD）+4（

9、必 4i+百 D）11 T 3 T-AS -AD -AA,=+ 斗 +411 1所以 a =, （3 =, 丫3=414. 如圖,H為四棱錐PABCD勺棱PC的三等分點(diǎn)，且PH=HC點(diǎn)G在AH上,AG=mAH四邊形ABC助平行四邊形，若G,B,P,D四點(diǎn)共面，求實(shí)數(shù)m的值.D解：連接BD,BG.因?yàn)榧蔀榍覅^(qū) =C ,因?yàn)?二品+幾，所以辰員揖_鬲二鬲挿 +云.PH 1因?yàn)樾?,1 T 1-*PC -> f T所以 PH =(_ P/l+P/?+PD)1 r 1 r 1 r -PA -PB -PD + +TTT又因?yàn)锳U=U_PA,4 r 1 r 1 -*T _PA _PB PD 所以山H

10、 =_3+ +2AG因?yàn)橄xH=m,4m T m T MTT T 一PA PS PD 所以處二mH二-弓+3+3TT T T f T因?yàn)樵?G=.Mi+C=A_Pn+C,4mmm TT T T P D所以處=(1_ 3)Pg(3-i)P/?+3又因?yàn)锽,G,P,D四點(diǎn)共面,伽所以1-=0,即m=.15. 求證：四面體中連接對棱中點(diǎn)的三條直線交于一點(diǎn)且互相平分已知：如圖所示，在四面體ABC沖,E,FGH,P,Q分別是所在棱的中點(diǎn).求證:EF,GH,PQ相交于一點(diǎn)0,且0為它們的中點(diǎn).EJBy 訂 / Q CFA證明：因?yàn)镋,G分別為AB,AC的中點(diǎn),1所以EG創(chuàng)文BC.同時(shí),HF2bc,所以EGH

11、F.從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對角線EF,GH相交于一點(diǎn)O,且0 為它們的中點(diǎn).只要能證明向量弘二-必就可以說明P,0,Q三點(diǎn)共線 且0為PQ的中點(diǎn).事實(shí)上 yp=0GP =0HQ.因?yàn)?為GH的中點(diǎn), 所以皿4H=o.又因?yàn)镚座2CD,QH2cd,T -CD T -CD 所以不P =,Q“=.所以云 =0.所以二必故PQ經(jīng)過O點(diǎn)，且0為PQ的中點(diǎn).所以EF,GH,PC相交于一點(diǎn)0,且0為它們的中點(diǎn).i MEMGLI TISHE,NH5=16. 已知正方體ABCCABC1D的中心為0,則在下列各結(jié)論中正確的結(jié)論共有（C ）+亦與叫g(shù)是一對相反向量; 。月與3】是一對相反向量；TT-卄

12、TTTT 0沖+期+比+0D與041 +0叭+叫+0D1是一對相反向量; o"與伉:_°C】是一對相反向量.（A）1 個(gè) （B）2 個(gè) （C）3 個(gè) （D）4 個(gè) 解析：利用圖形及向量的運(yùn)算可知是相等向量，是相反向量.故選C.17. 若P,A,B,C為空間四點(diǎn)，且有石二角+ B云,則a + P =1是A,B,C三點(diǎn)共線的（C ） （A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件 解析：若a +P =1,則*B=B （PC-加），即丹片二pM,顯然A,B,C三點(diǎn)共 線；若A,B,C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)入，使忌二入忌,故希石二入（云-亦）, 整理

13、得陽=（1+入嚴(yán)-入氏,令a =1 +入,P =-入，則a +B =1.故選C.18. 已知A,B,C三點(diǎn)共線，則對空間任一點(diǎn)0,存在三個(gè)不為零的實(shí)數(shù)入，m,n,使入0+mR+nM=0,那么入+m+n的值為 解析：因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線, 所以存在惟一實(shí)數(shù)k,使嬴二k丘,TTT T即 0 H-0A=k0C-0A) 所以（k-1） w+M-koe=0,又入 w+m"+nM=o,令入二k-1,m=1,n=-k,貝J 入 +m+n=0.答案：0（用a,b,c表示）.019. 如圖所示，在四面體OABC中,2二a,"二b, w=c,D為BC的中點(diǎn),E 為AD的中點(diǎn)，則嵐二1 TT

14、T T AD 解析：。E=fM +AE 二a+一 T T一=a+（ °D-°）=2a+ Pr=a+ x2 （如+憂）=，a+'b+化.答案ab+c探究創(chuàng)新jTAMJIU CHUANGXtN =20. 如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是ABCD所在平面外的一點(diǎn)，連接PA,PB,PC,PD設(shè)點(diǎn)E,F,G,H分別為 PABA PBCAPCP CDA PDA的重心.B(1)試用向量方法證明E,F,G,H四點(diǎn)共面; 試判斷平面EFGHf平面ABCD勺位置關(guān)系，并用向量方法證明你的 判斷.(1)證明：分別連接PE,PF,PG,PH并延長,交對邊于點(diǎn)M,N,Q,R,連接MN,NQ,QR,RM, 因?yàn)镋,F,G,H分別是所在三角形的重心，2 T T -PM 所以M,N,Q,R是所在邊的中點(diǎn)，且PE,£itr n由題意知四邊形MNQ是平行四邊形,TTTTTTT所以 M Q二嚴(yán)/?_ (PN .P M)+(PR_ PM)