全等三角形的性質(zhì)和判定

1、全等三角形的性質(zhì)和判定要點(diǎn)一、全等三角形的概念能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形 要點(diǎn)二、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角1.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊, 重合的角叫對(duì)應(yīng)角.要點(diǎn)詮釋:在寫(xiě)兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上， 這樣容易 找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，ABC與DEF全等，記作ABC也QEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E,點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；/ A和/D，/B 和/E，/C和/F是對(duì)應(yīng)角.C要點(diǎn)三、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等;全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.要

2、點(diǎn)四、全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL ）全等三角形判定一（SSS, SAS）全等三角形判定1“邊邊邊”三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“ SSS）.要點(diǎn)詮釋： 如圖，如果 AB = AB , AC = AC , BC = BC,則ABCABC.C要點(diǎn)二、全等三角形判定2“邊角邊）1.全等三角形判定2“邊角邊）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”).C要點(diǎn)詮釋：如圖，如果 AB = AB，/A = /A, AC = AC，貝UAABC也zABC.注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角2.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)

3、相等，兩個(gè)三角形不一定全等如圖，AXBC 與AABD 中，AB = AB , AC = AD , /B=/B，但AABC 與AABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等， 兩個(gè)三角形不一定全等.【典型例題】類型一、全等三角形的判定1“邊邊邊”1、已知：如圖，RPQ中，RP= RQ，M為PQ的中點(diǎn).求證：RM平分/PRQ.證明：TM為PQ的中點(diǎn)（已知），PM = QM在ARPM和RQM中,RP RQ(已知)，PM QM,RM RM公共邊PM zRQM (SSS). /PRM =/QRM （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.即RM平分/PRQ.舉一反三:類型二、全等三角形的判定2“邊角

4、邊”已知：如圖，AB = AD , AC = AE,/1 =/2vZI = /2求證：BC= DE.證明:【變式】已知：如圖，AD = BC, AC = BD.試證明：/CAD =/DBC.力 + /CAD =/2 + /CAD，即/BAC = /DAE在ABC和AADE中AB ADBAC DAEAC AEZABC6DE (SAS)BC = DE （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）AB= CB, EB= DB ,ZABC = /EBD = 90 ）連接 AE、CD，試確定 AE與CD的位置與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.VZABC和DBE是等腰直角三角形 AB = BC, BD = BE在KBE和:BD中A

5、B BCABE CBD 90BE BDZABENBD （SAS）AE= CD, /1 =/2 又/ + /3 = 90 ，/ =/4 （對(duì)頂角相等） / +/4 = 90。，即 /FC = 90 AE 丄 CD舉一反三:【變式】已知：如圖，PC AC, PB AB , AP平分/BAC，且AB = AC ,點(diǎn)Q 在 PA 上,求證：QC= QB類型三、全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用W4、“三月三，放風(fēng)箏”.下圖是小明制作的風(fēng)箏，他根據(jù)DE = DF, EH = FH ,不用度量，就知道/ DEH =/DFH .請(qǐng)你用所學(xué)的知識(shí)證明.F【答案與解析】 證明：在DEH和ADFH中,DE = DFEH =

6、 FHDH DH/DEH 2DFH(SSS)zDEH = /DFH .、選擇題1. KBC 和ABC中,AB = AB , BC= BC, AC = AC.則()A. ABC 也zACBB. ABC 也zABCC. ABC 也ABD. ABC 也zCBA2.如圖，已知AB = CD , AD = BC,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（A. AB /DCB. /B = /DC. /A = /CD. AB = BC3.下列判斷正確的是（A.兩個(gè)等邊三角形全等B. 三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等C. 腰長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等D. 直角三角形與銳角三角形不全等6.如圖，已知AB丄BD于B, ED丄BD于

7、D , AB = CD , BC = ED,以下結(jié)論不正確的是（B.EC= ACC.ED + AB = DBD.DC = CBA.EC 丄 AC、填空題時(shí)，就可9.如圖，在AABC和EFD中，AD = FC, AB = FE,當(dāng)添加條件 得ABC 也FD (SSS)10.12.如圖，AC = AD , CB= DB , Z2 = 30 , J3= 26D已知，如圖，AB = CD , AC = BD，貝UABC筆,貝UzCBE=,ADC 宅解答題13.已知：如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O, /ADC =/BCD ,AD = BC,求證：CO = DO .14.已知：如圖，AB

8、 /CD , AB = CD.求證：AD /BC.分析：要證AD /BC，只要證/又需證 /=/( ),在和中，(),(),(), A望A( ) /=/( )/()證明： AB /CD (),15.如圖，已知 AB = DC , AC = DB , BE= CE 求證：AE= DE.全等三角形判定3“角邊角”兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA ”).要點(diǎn)詮釋：如圖，如果/A =/A ,AB = AB, /B = /B，則ABC也ZABC.要點(diǎn)二、全等三角形判定4“角角邊”1.全等三角形判定4“角角邊”兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)

9、寫(xiě)成“角角邊”或“ AAS ”)2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等如圖，在/ABC 和AADE 中，如果 DE/BC，那么/ADE = /B,/AED = /C,又/A =/A，但/ABC和/ADE不全等.這說(shuō)明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不要點(diǎn)三、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見(jiàn)下表:已知條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SAS AAS ASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASA AAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SAS SSS類型一、全等三角形的判定3“角邊角”1、已知：如圖，E, F 在 AC 上, AD /CB 且 AD = CB,/D = /B ./A =/C在ADF與:BE中

10、A CAD CBD BDF NBE (ASA)AF = CE , AF+ EF= CE+ EF故得：AE= CF舉一反三:【變式】如圖，AB /CD , AF /DE, BE= CF.求證：AB = CD.類型二、全等三角形的判定4 “角角邊”證明：TAB丄AE, AD丄AC, zCAD = /BAE = 90 zCAD + /DAB = /BAE + /DAB ，即 /BAC = /EADBAC EADB ECB=DEAC也AD (AAS)AC = AD舉一反三:【變式】如圖，AD是AABC的中線，過(guò)C、B分別作AD及AD的延長(zhǎng)線的垂求證：OE= OF.線 CF、BE.證明：TAD為ABC的

11、中線BD = CD BE丄 AD , CF丄 AD , zBED=/CFD = 90 , 在BED和CFD中BED CFDBDECDF (對(duì)頂角相等)BD CDED /CFD (AAS )BE= CF(1)求證：AC與BD互相平分;(2)若過(guò)O點(diǎn)作直線I，分別交AB、DC于E、F兩點(diǎn),證明：TAB /DC/A = /C在ABO與ACDO中A = CAOB= COD (對(duì)頂角相等)AB=CDZABO NDO (AAS)AO = CO , BO=DO在ZAEO和:FO中A = CAO二COAOE = COF (對(duì)頂角相等) ZAEO NFO (ASA)OE = OF.、選擇題1.能確定AABC也Z

12、EF的條件是 （）A . AB = DE,BC 二二 ef./A 二二/EB . AB = DE,BC 二二 ef./C=/EC./A = /E,AB 二二 ef./B 二二/DD . /A =/D,AB=DE,/B=/E如圖，已知 ABC的六個(gè)元素，則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中，和 ABC全等的圖形是 ()eA .甲和乙B.乙和丙C .只有乙D .只有丙AD是ABC的角平分線，作DE丄AB于E, DF丄AC于F,下列結(jié)論錯(cuò)誤的A. DE= DFB.AE = AFC . BD = CD D . /ADE = /ADF如圖，已知MB = ND，/MBA =/NDC，下列條件不能判定 ABM也QD

13、N的是 (AB = CDC . AM = CND. AM /CNA. /M =/NB.D如圖，/ 1 = /2，/3 = /4，下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A. ADC 也MDB. ABD 也BACD . AOD 也OCC.ABO NDO、填空題7.女口圖,/ 1 = / 2 ,要使 ABEACE ,還需添加一個(gè)條件(填上你認(rèn)為適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)條件即可).8.在ABC 和 ABC中，/A = 44。，啟=67 ,C = 69。，啟=44。，且AC = BC，則這兩個(gè)三角形全等.(填“一定”或“不一定”)9.已知，女口圖，AB /CD，AF /DE, AF = DE,且 BE= 2 , BC = 10，貝U

14、EF=根據(jù)是=/2 , /3 =/4 ,要證 BD = CD ,需先證AAEB 也AEC ,，再證ABDE，根據(jù)是12.已知:如圖，/B=/DEF, AB = DE，(1) 若以“ ASA”為依據(jù)，還缺條件(2) 若以“ AAS”為依據(jù)，還缺條件(3) 若以“ SAS”為依據(jù)，還缺條件要說(shuō)明AABC也AEF,三、解答題13 .閱讀下題及一位同學(xué)的解答過(guò)程：如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O,且OA =OB，/A = /C.那么AAOD與COB全等嗎？若全等，試寫(xiě)出證明過(guò)程；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由.證明：在AOD和COB中,B答: AOD NOB .AC（已知），OA OB（已知），AODCOB（對(duì)頂角相

15、等）, AOD FOB (ASA).問(wèn)：這位同學(xué)的回答及證明過(guò)程正確嗎？為什么?14.已知如圖，E、F 在 BD 上，且 AB = CD , BF= DE, AE= CF,求證：AC 與BD互相平分.D15.已知：如圖,AB /CD, OA = OD, BC過(guò)O點(diǎn)，點(diǎn)E、F在直線AOD上,且AE = DF.求證：EB/CF.as要點(diǎn)一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等, 或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形就全等了 .這里用到的是“ AAS ”，“ ASA ” 或“ SAS”判定定理.要點(diǎn)二、判定直角三角形全等的特殊方法一一斜邊，直

16、角邊定理在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的, 一般三角形不具備.【典型例題】類型一、直角三角形全等的判定“ HL ” 1、已知：如圖，AB 丄 BD , CD 丄BD , AD = BC.求證：(1) AB = CD :(2)AD /BC.ACB證明：(1) VAB 丄 BD , CD 丄 BD ,zABD = /CDB = 90 在 Rt ABD 和 Rt:DB 中,AD= BCBD DBRt ABD 李t:DB (HL)AB = CD （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）(2 )由 ZADB =

17、/CBDAD /BC .舉一反三:【變式】已知：如圖， AE丄AB , BC丄AB , AE = AB , ED = AC.求證：ED丄AC .c判斷滿足下列條件的兩個(gè)直角三角形是否全等，不全等的畫(huà)“X”，全等的注明理由:一個(gè)銳角和這個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等;一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等;兩直角邊對(duì)應(yīng)相等;一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等.舉一反三:【變式】下列說(shuō)法中，正確的畫(huà)“2” ；錯(cuò)誤的畫(huà)“X”，并舉出反例畫(huà)出圖形.(1 ) 一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.(2)有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(3)有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(證明：連接DCAD 丄

18、AC , BC丄 BDJDAC = /CBD = 90 C在 Rt KDC 與 RtBCD 中,DC CDAC= BDRtADC 李tBCD (HL)AD = BC .（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）舉一反三:【變式】已知，如圖，AC、BD 相交于 0 ， AC = BD , /C=/D = 90求證：OC = OD.AB如圖，將等腰直角三角形 ABC的直角頂點(diǎn)置于直線I上，且過(guò)A , B兩點(diǎn)分別作直線I的垂線，垂足分別為 D，E,請(qǐng)你在圖中找出一對(duì)全等三角形，并寫(xiě)出證明它們?nèi)鹊倪^(guò)程.4、選擇題1 .下列說(shuō)法正確的是（）A .一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等B .斜邊相等的兩個(gè)直角三角形全等C. 斜邊相等的兩個(gè)等腰直角三角形全等D .一邊長(zhǎng)相等的兩等腰直角三角形全等3.能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是（）A.斜邊相等B.銳角對(duì)應(yīng)相等C.兩銳角對(duì)應(yīng)相等D. 兩直角邊對(duì)應(yīng)相等5.A .形狀相同B .周長(zhǎng)相等C.面積相等D .全等直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成的兩個(gè)三角形的關(guān)系是（6.A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是在兩個(gè)直角三角形中，若有一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)直角三角形（）、填空題7 .如圖，BE,CD是ABC的高，且BD = EC,判定BCD也BE的依據(jù)是“8.