階段質(zhì)量檢測(cè)變化率與導(dǎo)數(shù)

1、階段質(zhì)量檢測(cè)(二)變化率與導(dǎo)數(shù)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.函數(shù)y= sin x(cosx+ 1)的導(dǎo)數(shù)是()A. cos 2( cosxB. cos 2 + sin x2C. cos 2( + cosxD. cos x+ cosx解析：選 C y' = (sin x)' (cosx + 1) + sin x(cosx+ 1)' = cosx(cosx+ 1)+ sin x( sin x)=cos 2x+ cosx.2. (2019全國(guó)卷n )曲線y= 2sin x+ cosx在點(diǎn)(n 1)處

2、的切線方程為()A. x y n 1 = 0B . 2x y 2 n 1 = 0C . 2x+ y 2 n+ 1= 0D . x+ y n+ 1 = 0解析：選 C 設(shè) y= f(x)= 2sin x+ cosx,則 f' (x)= 2cosx sin x,f' ( n= 2,曲線在點(diǎn)(n 1)處的切線方程為y ( 1) = 2(x n )即 2x+ y 2n+ 1 = 0.3. 若曲線f(x) = x2+ ax+ b在點(diǎn)(0, b)處的切線方程是 x y+ 1 = 0,則()A.a= 1,b= 1B.a= 1,b= 1C.a= 1,b= 1D.a= 1,b=1解析：選A 由f

3、' (x)= 2x + a，得f' (0) = a = 1，將(0, b)代入切線方程得 b= 1,故選A.4. 若函數(shù) f(x) = ax4+ bx2 + c滿足 f' (1) = 2,貝V f' ( 1)等于()A. 1B . 2C. 2D. 0解析：選B '.f' (x)= 4ax3 + 2bx為奇函數(shù)，f' ( 1) = f' (1) = 2.5.函數(shù)f(x) = xsin x的導(dǎo)函數(shù)f' (x)在區(qū)間n, n!上的圖像大致為()C.6若 f(x)= log3(2x- 1),則 f' (3)=(2 A A.

4、3B 2ln 32cC.3ln 32D.5ln 3解析：選 C -f(x) = xsin x,f (x)= sin x + xcosx,f (-x)= sin x-xcosx =- f' (x),.f (x)為奇函數(shù)，由此可排除A、B、D，故選=5ln 3.D.解析：選 D -f' (x) =(2x -1 )n 37.曲線y= 3x3在x = 1處切線的傾斜角為nC.n解析：選 C '-y' = x2,.y' |x= 1= 1,切線的傾斜角a滿足tan a= 1,0 W a< n,二 a=.48若函數(shù) f(x)滿足 f(x)= 3x3- f'

5、; (1) x2-x,則 f' (1)的值為(A 0B 2C 1D - 1解析：選 A f' (x)= x2- 2f' (1)x- 1,所以 f' (1) = 1-2f ' (1) - 1，貝U f' (1) = 0.139.在曲線f(x) = x上切線的傾斜角為”n的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A (1,1)B (- 1,- 1)C (- 1,1)D (1,1)或(一1,- 1)解析：選D因?yàn)閒(x) = $所以f' (x)=戈 因?yàn)榍芯€的傾斜角為:n,所以切線斜率 為一1,1即 f'(X)= -2= 1，所以 X= ±1 ,則當(dāng)

6、X= 1 時(shí)，f(1) = 1 ；當(dāng) x = 1 時(shí)，f(1) = 1,則點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)或(1, 1).10.曲線y= x + x3在點(diǎn)31, 4處的切線和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為(1C. 1解析：選Dy' = 1 + x2,故切線的斜率 k = f(1) = 2,又切線過(guò)點(diǎn)1, 4 ,4切線方程為y3= 2(x 1),即 y= 2x 2,切線和x軸，y軸交點(diǎn)為3, 0 ,0,- 2 .112 1故所求三角形的面積=-x -=-，故選D.2339x2+ a211.函數(shù) y=x I(a>0)在x= xo處的導(dǎo)數(shù)為0,那么Xo=()B.±1D. a2解析：選B 因?yàn)閤

7、2 + a2 ' x x' x2+2x2 2 2 2 a 2x a x= 2xx2 a22 2廠，所以x0 a=0，解得 xo= ±a.12.若函數(shù)f(x)= eax(a>0, b>0)的圖像在x= 0處的切線與圓x2+ y2= 1相切，則a+ b的最大值是()B. 2 2D. 2解析：選D函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f' (x)= beax a,所以 f' (0) = be0 a =；,a即在x= 0處的切線斜率k=-,b又 f(0)一 be°=- b，所以切點(diǎn)為(°, b 所以切線方程為y+1= -x,b b '即 ax+

8、by+ 1 = °.1圓心到直線 ax+ bx+ 1 = °的距離d=,= 1,V2即 a2+ b2= 1,所以 a2 + b2= 1 > 2ab, 即卩 °<ab< *.2 2 2又 a + b = (a+ b) 2ab= 1,所以(a + b)2= 2ab+ 1 < 1 + 1= 2,即a +2，所以a+ b的最大值是，2,選D.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共2°分請(qǐng)把正確的答案填在題中的橫線上)13若 f(x)= log3(x 1),貝y f (2) =.解析：.f(x)= log3(x 1),f' (x

9、)=log 3(x 1)1x 1 In 31f' (2) =i7?14.(:解析：2019全國(guó)卷T )曲線y= 3(x2+ x)ex在點(diǎn)(°,°)處的切線方程為y' = 3(2x + 1)ex+ 3(x2 + x)ex= ex(3x2 + 9x+ 3),f切線斜率k = e°x 3= 3,f切線方程為y= 3x.答案：y= 3xx 一 115.已知函數(shù)f(x)=+ ln(x + 1)，其中實(shí)數(shù)a工一1若a = 2，則曲線y= f(x)在點(diǎn)(°,x十a(chǎn)f(°)處的切線方程為.解析：f'(x) =x+ a x1 i(x +

10、a 2 x + 1a + 12(X+ a)2 + 1.當(dāng) a = 2 時(shí)，f' (0) =2 +(0+ 2)10+ 17,而f(0) = 1 因此曲線 y= f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程為y 1 = f(x 0)，即7x4y 2= 0.答案：7x 4y 2= 0(n n '-2，2 時(shí)，f(x)= x + sin x,設(shè) a= f(1),b= f(2), c= f(3)，貝U a, b, c 的大小關(guān)系是 .解析：f(2) = f( n 2), f(3) = f( n- 3),因?yàn)?f' (x)= 1+ cosx> 0,故f(x)在一n，n上是增函數(shù)，

11、nJ> n 2>1> n 3>0, f( n 2)>f(1)>f( n 3)，即 c<a<b.答案：c<a<b三、解答題（本大題共6小題，共70分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演 算步驟）17.（本小題滿分10分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):1(1) y= sin x+ x ；(2) y= (x2+ 2)(3x 1);(3)y= x ；1(4)y= ?sin 2x.解：(1)y' = (sin x)(2)y' = (x2 + 2)' (3x 1) + (x2 + 2)(3x 1)2=2x(3x 1)+ 3(x2

12、+ 2)2=9x 2x+ 6.(3)y' = x' e-x+ x (ex)'=e_ X xe_ x= (1 - x)e_x.1 1(4)y' = 2(sin 2x)' = 2 x 2 cos 2x= cos 2x.18. (本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)= x, g(x) = aln x, a R若曲線y= f(x)與曲線y=g(x)相交且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程.1 a解：f' (x)= , g' (x)= a(x>0),2pxx設(shè)兩曲線的交點(diǎn)為 P(xo, yo),|：沁=aln xo,則j丄=旦於伍0

13、xo' 解得 a= e， xo= e2,所以兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e2, e).切線的斜率為k= f' (e2) = ±,1 2所以切線的方程為 y e= 2；(x e2),即 x 2ey+ e2= o.19. (本小題滿分12分)求滿足下列條件的函數(shù)f(x).(1) f(x)是三次函數(shù)，且 f(0) = 3, f' (0) = 0, f' (1) = 3, f' (2) = 0;2(2) f(x)是二次函數(shù)，且 x f' (x) (2x 1)f(x)= 1.解：(1)由題意設(shè) f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d(a 0)

14、,2貝U f' (x)= 3ax + 2bx+ c.丁- f 0 = d = 3,f'0 = c= 0,由已知'尸,f 1 = 3a+ 2b+ c= 3,f' 2 = 12a+ 4b+ c= 0,解得 a= 1, b= 3, c= 0, d= 3,故 f(x) = x3 3x2 + 3.2(2)由題意設(shè) f(x) = ax + bx+ c(aM 0),則 f' (x)= 2ax+ b.所以 x2(2ax+ b) (2x - 1)(ax2+ bx+ c)= 1,化簡(jiǎn)得(a b)x2+ (b- 2c)x+ c= 1,a= b,此式對(duì)任意x都成立，所以b= 2

15、c,c= 1,解得 a= 2, b= 2, c= 1,即卩 f(x) = 2x2 + 2x + 1.1 3720.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x) = x3 + 3xf' (a)(其中a R)，且f(a)= &,求:(1)f(x)的表達(dá)式；曲線y= f(x)在 x = a處的切線方程.解：(1)f' (x)= x2 + 3f' (a)，于是有2af' (a)= a2 + 3f' (a)? f' (a)=-,f(x)=3x332Lx,(2)由(1)知切點(diǎn)為一1,6,1切線的斜率f' (a)= 2切線方程為y7=-如+ 1),即

16、3x+ 6y 4= 0.21.(本小題滿分12分)已知曲線y= x+ In x在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線 y= ax2+ (a + 2)x + 1相切，求a的值.解：法一 ：$= x+ In x,1y' = 1 + x, y'L=1 = 2.曲線y= x+ In x在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y 1 = 2(x 1)，即y= 2x 1./ y= 2x 1 與曲線 y= ax2 + (a+ 2)x+ 1 相切，0(當(dāng)a= 0時(shí)曲線變?yōu)?y= 2x+ 1與已知直線平行).y= 2x 1，由 2消去y，|y= ax + a+ 2 x+ 1,得 ax? + ax + 2 = 0.由=

17、 a2 8a= 0，解得 a= 8.法二：同法一得切線方程為 y= 2x 1.設(shè) y= 2x 1 與曲線 y= ax2 + (a + 2)x+ 1 相切于點(diǎn)(x°, ax0+ (a+ 2)x°+ 1).y' = 2ax+ (a + 2),y'lx= xo= 2axg+ (a+ 2).由 2axo+ a+ 2 = 2，|ax()+ a + 2 Xo+ 1 = 2x°- 1,1X0= 二,解得s2£= 8.故 a = 8.122.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x) = ax+ x+b(a，b Z)在點(diǎn)(2, f(2)處的切線方程為 y=3.(1)求f(x)的解析式；求曲線y= f(x)在點(diǎn)(3, f(3)處的切線與直線 x= 1和直線y= x所圍三角形的面積.1解：(1)f