力矩與力偶的一些理解練習(xí)知識題

1、力矩與力偶2.1力對點(diǎn)的矩從實(shí)踐中知道，力對物體的作用效果除了能使物體移動外，還能使物體轉(zhuǎn)動，力矩就 是度量力使物體轉(zhuǎn)動效果的物理量。力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)與哪些因素有關(guān)呢？現(xiàn)以扳手?jǐn)Q螺帽為例，在扳手上的力F，使扳手帶動螺帽繞中心 0轉(zhuǎn)動。力F 越大，轉(zhuǎn)動越快；力的作用線離轉(zhuǎn)動中心越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動也 越快；如果力的作用線與力的作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)動中心0點(diǎn)的連線不垂直，則轉(zhuǎn)動的效果就差；當(dāng)力的作用線通過轉(zhuǎn) 動中心0時，無論力F多大也不能扳動螺帽， 只有當(dāng)力 的作用線垂直于轉(zhuǎn)動中心與力的作用點(diǎn)的連線時，轉(zhuǎn)動 效果最好。另外，當(dāng)力的大小和作用線不變而指向相反 時，將使物體向相反的方向轉(zhuǎn)動。在建筑工地上使用撬 杠抬起

2、重物，使用滑輪組起吊重物等等也是實(shí)際的例子。 通過大量的實(shí)踐總結(jié)出以下的規(guī)律：力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn) 動的效果，與力的大小成正比，與轉(zhuǎn)動中心到力的作用 線的垂直距離 d也成正比。這個垂直距離稱為力臂，轉(zhuǎn)動中心稱為力矩中心 力的大小與力臂的乘積稱為力F對點(diǎn)0之矩(簡稱力矩)，記作mo(F)。如圖2.1所示。手加IP /yZ圖2 IC(簡稱矩心)。 計算公式可寫為mo(F)F d(2.1)式中的正負(fù)號表示力矩的轉(zhuǎn)向。在平面內(nèi)規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉(zhuǎn)動時,力矩為正；力使物體作順時針方向轉(zhuǎn)動時，力矩為負(fù)。因此，力矩是個代數(shù)量。力矩的單位是N m或kN m。由力矩的定義可以得到如下力矩的性質(zhì)：(1)

3、 力F對點(diǎn)0的矩，不僅決定于力的大小，同時與矩心的位置有關(guān)。矩心的位置不 同，力矩隨之不同；(2) 當(dāng)力的大小為零或力臂為零時，則力矩為零；(3) 力沿其作用線移動時，因?yàn)榱Φ拇笮　⒎较蚝土Ρ劬鶝]有改變，所以，力矩不變。(4) 相互平衡的兩個力對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和等于零。m o(F)= m o(Fx)+ m o(Fy)= Fbsin+ Facos=49 X0.1 X0.5=2.45N.m0.15=2.445N.m2.2合力矩定理例2.1分別計算圖2.2中F1、F2對0點(diǎn)的力矩。h和 l2。解 從圖2 -2中可知力F1和F2對O點(diǎn)的力臂是故 m o(F) = ±F1 h = F 1 h

4、 sin30 0m o(F) = ± F2 I2 = F2 I2 = 16.3必須注意：一般情況下力臂并不等于矩心與 力的作用點(diǎn)的距離，女0F1的力臂是h ,不是h。因而直接按定義求力矩難以計在計算力對點(diǎn)的力矩時，有些問題往往力臂不易求出，算。此時，通常采用的方法是將這個力分解為兩個或兩個以上便于求出力臂的分力，在由 多個分力力矩的代數(shù)和求出合力的力矩。這一有效方法的理論根據(jù)是合力矩定理，即：如果有n個平面匯交力作用于 A點(diǎn)，則平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩，等 于力系中各分力對同一點(diǎn)力矩的代數(shù)和：(2.2)m o(FR)=m o(F1)+ m o(F2) + + m o(Fn

5、) = Bn o(F)稱為合力矩定理。合力矩定理一方面常常可以用來確定物體的重心位置；另一方面也可以用來簡化力矩 的計算。這樣就使力矩的計算有兩種方法：在力臂已知或方便求解時，按力矩定義進(jìn)行計算; 在計算力對某點(diǎn)之矩，力臂不易求出時，按合力矩定理求解，可以將此力分解為相互垂直 的分力，如兩分力對該點(diǎn)的力臂已知，即可方便地求出兩分力對該點(diǎn)的力矩的代數(shù)和，從 而求出已知力對該點(diǎn)矩。例2.2 計算圖2.3中F對O點(diǎn)之矩。解 F對O點(diǎn)取矩時力臂不易找出。 將F分解 成互相垂直的兩個分力 FX、Fy,它們對O點(diǎn)的矩分 別為mo(Fx)=F xb=Fbsinm o(Fy)= F Ya=Facos由合力矩定

6、理例2.3 槽形桿用螺釘固定于點(diǎn) 0,如圖2.4 (a)所示。在桿端點(diǎn) A作用一力F , 其大小為400N，試求力F對點(diǎn)0的矩。i解 方法1(按力矩定義計算矩，關(guān)鍵是找出力臂的長度。為此，自矩心 臂d，如圖2.4 ( b)所示。由圖2.4 ( b )中的):本題中力F的大小和方向均已知,O作力F作用線的垂線要計算力F對點(diǎn)O的OC，線段OC就是力tanAO而在ACO中,ABO可得晉 0.33318.43"BOsin60"AO sin412.65cm0.316218.4341.57，所以12.65sin 41.57"8.39cm于是力F對點(diǎn)O的矩為mo(F)=Fd=

7、400 X83.9=33560Nmm“一”號表示力F將使槽形桿繞點(diǎn) O有順時針方向轉(zhuǎn)動的趨勢。Fy,如圖2.4 (c)所示。方法2(按合力矩定理計算)：將力F分解為水平力FX和鉛直力 由合力矩定理知，力 F對點(diǎn)O的矩就等于分力 Fx、Fy對同一點(diǎn)O的矩的代數(shù)和，即m o(F)= m o(Fx)+ m o(Fy) = FxX120+F yX40=400sin60 0 X120+400cos60 0 X40=41560+8000= 33560Nmm可見兩種方法結(jié)果完全一樣。但在方法1中，求力Fp對點(diǎn)O的矩需要通過幾何關(guān)系才能找出力臂，計算比較麻煩；而方法2用合力矩定理計算則比較簡便。在實(shí)際計算中，

8、常用合力矩定理來求力矩或合力作用線的位置。2.3力偶及其基本性質(zhì)（圖2.5所示）。r圖2.6圖2. 51212.4力偶和力偶矩在生產(chǎn)實(shí)踐和日常生活中，為了使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動，常常在物體上施加兩個大小相等、 方向相反、不共線的平行力。例如鉗工用絲錐攻絲時兩手加力在絲杠上當(dāng)大小相等、方向相反、不共線的兩個平行力F和F，作用在同一物體時，它們的合力Fr 0 ,即F和F，沒有合力。但因二力不共線，所以也不能平衡。它們的作用效果是 使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動。力學(xué)上把這樣大小相等、方向相反、不共線的兩個平行力叫力偶。用符 號（F , F，）表示。兩個相反力之間垂直距離 d叫力偶臂（如圖2.6 所示），兩個力的作用線所

9、在的平面稱為力偶作用面。力偶不能再簡化成比力更簡單的形式，所以力偶與力一樣被看 成是組成力系的基本元素。如何度量力偶對物體的作用效果呢 ？由實(shí)踐可知，組成力偶的力越大，或力偶臂越大， 則力偶使物體轉(zhuǎn)動的效應(yīng)越強(qiáng)；反之，就越弱。這說明力偶的轉(zhuǎn)動效應(yīng)不僅與兩個力的大 小有關(guān)，而且還與力偶臂的大小有關(guān)。與力矩類似，用力偶中一個力大小和力偶臂的乘積 并冠以適當(dāng)正負(fù)號（以示轉(zhuǎn)向）來度量力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，稱為力偶矩，用m表示。即（2.3）2.6所示。所以力偶矩是代m Fdm）。使物體逆時針方向轉(zhuǎn)動時，力偶矩為正；反之為負(fù)。如圖 數(shù)量。力偶矩的單位與力矩的單位相同，常用牛頓米（N力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)通

10、過大量實(shí)踐證明，度量力偶對物體轉(zhuǎn)動效應(yīng)的三要素是：2.4.1向、力偶的作用面。不同的力偶只要它們的三要素相同，對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)就是一樣的。力偶的基本性質(zhì)性質(zhì)1 力偶沒有合力，所以力偶不能用一個力來代替，也不能與一個力來平衡。從力偶的定義和力的合力投影定理可知，力偶中的二力在其作用面內(nèi)的任意坐標(biāo)軸上 的投影的代數(shù)和恒為零，所以力偶沒有合力，力偶對物體只能有轉(zhuǎn)動效應(yīng)，而一個力在一般情況下對物體有移動和轉(zhuǎn)動兩種效應(yīng)。因此，力偶與力對物體的作用效應(yīng)不同，所以其 不能與一個力等效，也不能用一個力代替，也就是說力偶不能和一個力平衡，力偶只能和 轉(zhuǎn)向相反的力偶平衡。性質(zhì)2力偶對其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩恒等于力偶

11、矩，且與矩心位置無關(guān)。圖2.7所示力偶（F F），其力偶臂為d，逆時針轉(zhuǎn)向，其力偶矩為m Fd，在其所O-Q在的平面內(nèi)任選一點(diǎn) 0為矩心，與離 F，的垂直距離 為x，則它到F的垂直距離為x d。顯然，力偶對0 點(diǎn)的力矩是力F與F分別對0點(diǎn)的力矩的代數(shù)和。 其值為：mO （F, F ） F （d x） F x Fd m由于O點(diǎn)是任意選取的，所以性質(zhì)2已得證。性質(zhì)3 在同一平面內(nèi)的兩個力偶，如果它們的力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則這兩個力偶等效。稱為力偶的等效條件。從以上性質(zhì)可以得到兩個推論。推論1力偶可在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，而不改變它對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng), 體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)與它在作用面內(nèi)的位置無關(guān)。例如圖

12、2.8（a）作用在方向盤上的兩上力偶（Fi， F ）與（F2， F） 大小相等，轉(zhuǎn)向相同，作用位置雖不同，轉(zhuǎn)動效應(yīng)是相同的。ra 2.7即力偶對物只要它們的力偶矩推論2在力偶矩大小不變的條件下，可以改變力偶中的力的大小和力偶臂的長短;而不改變它對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。例如圖2.8（b）所示，工人在利用絲錐攻螺紋 時，作用在螺紋杠上的（R，F(xiàn) ）或（F2，F(xiàn)）， 雖然di和d2不相等，但只要調(diào)整力的大小，使 力偶矩Fidi F2d2，則兩力偶的作用效果是相同 的。從上面兩個推論可知，在研究與力偶有關(guān)的問題時，不必考慮力偶在平面內(nèi)的作用位 置，也不必考慮力偶中力的大小和力偶臂的長短，只需考慮力偶的大小和

13、轉(zhuǎn)向。所以常用 帶箭頭的弧線表示力偶， 箭頭方向表示力偶的轉(zhuǎn)向， 弧線旁的字母 m或者數(shù)值表示力偶矩 的大小，如圖2.9所示。2.5平面力偶系的合成與平衡2.5.1其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和:例2.4Mm,m2如圖2.10所示,m 300N m,解各力偶矩分別為F2600 Nllhmn在物體的某平面內(nèi)受到三個力偶的作用，設(shè) 求它們的合力偶矩。miFid2001200N m0.25m2F2d600300Nsin 30mim300Nm由(2 4)式可得合力矩為Mm m, m? m3200 300 300200N m即合力偶矩的大小為 200N m，順時針轉(zhuǎn)向,(2.4)Fi 200N，作用在

14、原力偶系的平面內(nèi)。平面力偶系的合成作用在物體上的一群力偶或一組力偶，稱為力偶系。作用面均在同一平面內(nèi)的力偶系 稱為平面力偶系。因?yàn)榱ε紝ξ矬w的作用效果是轉(zhuǎn)動，所以同一平面上的多個力偶對物體的作用效果也 是轉(zhuǎn)動，作用在同一物體上的多個力偶的合成的結(jié)果必然也應(yīng)該是一個力偶，并且這個力 偶的力偶矩等于各個分力偶的力偶矩之和。即作用在同一平面上的若干力偶，可以合成為 一個合力偶，2.4.2 平面力偶系的平衡條件平面力偶系可以合成為一個合力偶，當(dāng)合力偶矩等于零時，物體處于平衡狀態(tài)； 反之,力偶矩不為零，則物體必產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)而不平衡。這樣可得到平面力偶系平衡的必要和充 分條件是：力偶系中所有各力偶的力偶矩

15、的代數(shù)和等于零。即：(2.5)上式稱為平面力偶系的平衡方程。應(yīng)用式(2.5)解決平面力偶系的平衡問題，只能求出一個未知量。例2.5梁AB上作用有一力偶，其轉(zhuǎn)向如圖2.11 (a)，力偶矩 m 15kN m。梁長l 3m，梁的自重不計，求 A、B處支座反力。解梁的B端是可動鉸支座，其支座反力Fb的方向是沿垂直方向的；梁的 A端是固定鉸支座，其反力的 方向本來是未定的，但因梁上只受一個力偶的作用，根 據(jù)力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，F(xiàn)a必須與Fb組成一個力偶。這樣Fa的方向也只能是沿垂直方向的，假設(shè)RA與Fb的指向如圖2.11(b)所示，由平面力偶系的平衡條 件得國2,】1F AR1535KN (?)

16、F BR5KN ( 0mRAl0本章小結(jié)1 .力矩是力使物體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量。力矩的大小等于力與矩心到力的作用 線的垂直距離的乘積，力矩的轉(zhuǎn)向用正、負(fù)號來表示；因而在平面問題中，力矩可看成是 代數(shù)量。2 .力偶是由大小相等、方向相反、作用線平行但不重合的兩個力所組成的一個特殊 力系。力和力偶是力學(xué)中兩個最基本的機(jī)械作用量。力對剛體作用一般都有移動和轉(zhuǎn)動兩種 效應(yīng)；而力偶對剛體卻只有轉(zhuǎn)動效應(yīng)，沒有移動效應(yīng)。力偶既不能用一個力代替，也不能 與一個力平衡，力偶只能用力偶來平衡。力偶使剛體轉(zhuǎn)動的效應(yīng)用力偶矩來度量。力偶矩的大小等于力偶中任一力的大小與兩 力之間的垂直距離的乘積，力偶矩的轉(zhuǎn)向用正、

17、負(fù)號來表示，因而在平面問題中，力偶矩 可看成是代數(shù)量。力矩是力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量，而力偶是最基本的機(jī)械作用量，力矩與力偶 是兩種不同的概念，不能混淆。3 .力偶在任一軸上的投影恒等于零；力偶對其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩， 而與矩心的位置無關(guān)；力偶可以在其剛體的作用面內(nèi)任意移動，也可以在力偶矩保持不變 的條件下同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變它對剛體的效應(yīng)。但必須注 意，所謂任意移動是指在所作用的剛體內(nèi)移動，而不能將它移動到另外的剛體上。掌握力 偶的這些性質(zhì)，無論對于力系簡化的理論或解決有關(guān)力偶作用下物體的平衡問題，都是非 常重要的。4 .平面力偶系合成的結(jié)果是一個合力偶；合力偶的力偶矩等于力偶系中各分力偶的 力偶矩的代數(shù)和。平面力偶系平衡的必要和充分條件是合力偶矩等于零，即力偶系中各力 偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。思考試2.1什么是力矩？什么是力偶？有何異同？舉例說明。22力偶有哪幾條性質(zhì)?2.3力偶的三要素是什么?2.4怎樣的力偶才是等效力偶?習(xí)題2.1計算下列