半角的正弦,余弦,正切

1、兩角和與差的三角函數(shù)，解斜三角形半角的正弦、余弦、正切教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生掌握半角的正弦、余弦和正切的公式內(nèi)容及推導(dǎo)方法.2 .初步掌握公式的應(yīng)用，能用聯(lián)系的觀點(diǎn)理解各公式，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.3 .提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)是半角公式的推導(dǎo)過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)公式的分析和理解.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)、新課引入 師：這節(jié)課我們研究一組新的三角變換的工具一一半角公式.什么是半角公式呢7它是研究如何把y角的三駆教用a角的三駆教耒表示.（盡快揭示課題，弓I導(dǎo)學(xué)生的思維盡快進(jìn)入問(wèn)題情境.板書(shū)：半角的正弦、余弦和正切 二、學(xué)習(xí)新課1.公式的推導(dǎo).師=詈角的正弦_口角的三角國(guó)數(shù)怎么表示

2、?生=利用SI 1:12 a = 2aaCl * cos(1 =4sin * cos * coeO.師：表示式中除有a角三角函數(shù)外，還有其它角的三角函數(shù)，能否只用a角的三角函數(shù)來(lái)表示?”&Q0?牛; 由and = 2siii * cos =£1±- sin'從中解出迢Q!但太麻煩了.師：以上兩位同學(xué)的推導(dǎo)，雖然未能完成，但在思路上有一定的價(jià)值，它們都利用了方程思想，將中角的正弦與G角三角S數(shù)用一個(gè)等式聯(lián)系起來(lái)-只不過(guò)這個(gè)尋式不便于解岀sin-.能否用更簡(jiǎn)潔的式子 來(lái)表示sa 口壬與a角的三角畫(huà)數(shù)的關(guān)系呢？生 可以別用-鮎Jet將公式中Cl換成扌，即可得到（對(duì)

3、倍角公式的換元處理，體現(xiàn)了對(duì)“倍”的相對(duì)性的認(rèn)識(shí)）師：好.這一點(diǎn)很重要，這個(gè)等式正是我們所需要的，能否繼續(xù)完成這種推導(dǎo)?鹽i 因?yàn)? 1-ati° # , 所以2an° =即sif # =】 ：購(gòu),4 ”0；丄 /1-cosa師：解釋一下這里“±”號(hào)的含義，是正與負(fù)兩個(gè)都要嗎?生 不是兩個(gè)都而是根據(jù)彳角所在的范圍中正弦的符號(hào)來(lái)選取 師舉個(gè)例子，若暑是第二象限角，則應(yīng)選”號(hào)-這就是半角的正弦公式，我們把它記下來(lái).丄 1- 4 ”、GJ1 - COSG板書(shū)CO沉= 土 一廠師=下面我們繼續(xù)研究詈角的余弦如何用a角的三角國(guó)數(shù)表示. 生=2cOS-l 把 ggy 解出即可

4、.師；這個(gè)等式可以把它看成是加巧為未知"2為己知的方程.請(qǐng)?jiān)噷?冷解出耒.蟲(chóng) 因?yàn)閠c-sd = 2c<isy-1,所以亡y = 1 + ；°'僅_因此住丄 fl +COSQ!3二V師：這里又出現(xiàn)了“±”號(hào)，請(qǐng)舉例說(shuō)明這里“±”號(hào)的含義.J 號(hào)也要選取，若暑角是第三象限角，余弦為負(fù)貝I應(yīng)選負(fù)號(hào).師：也就是說(shuō)這里“±”號(hào)選取方法與前面公式選取方法是相同的，這就是半角的余弦公式.板書(shū) 遇y= ±由學(xué)生敘述，老師板書(shū).師：半角的正切公式該怎樣來(lái)推導(dǎo)呢?- CdSGtan =L20 fl + CQSO：sm acos 2(1 -

5、 COSOf=±4¥ 1 + coEce師=里的師：怎么理解結(jié)果中的“±”號(hào)呢?生：應(yīng)是分子，分母的“±”號(hào)搭配的結(jié)果.具體地說(shuō)，共有四種情況：當(dāng)分子，分母取同號(hào)時(shí)，結(jié)果為正；當(dāng)分子，分母取異號(hào)時(shí)，結(jié)果為負(fù).借助剛推岀前兩個(gè)公式得到曲號(hào)的公式是役有問(wèn)題的，但這“±”號(hào)需稍加解釋，由于分子、分母都是“±”號(hào)，能否把“±”號(hào)約掉?生：不能.師：也就是說(shuō)這里的“±”號(hào)由分子，分母符號(hào)的選取共同決定的,實(shí)際上也就是根據(jù)暑角所在範(fàn)圍中正切的符號(hào)來(lái)選取-這就是半角的正切公式.板書(shū)（R 壯 贋竺L,學(xué)生敘述，老師板書(shū). 2 Vl

6、 + mo!師：公式（3 ）從形式上似乎還有化簡(jiǎn)的余地，可以使它變得更簡(jiǎn)單，更便于使用.找一個(gè)同學(xué)試對(duì)公式（3）進(jìn)行化簡(jiǎn).生：分子、分母同時(shí)乘以 1+C0S a,即2 Vl十 cosa (1 + cos1 + cosat師：能乘1+C0S a嗎?生：可以.因?yàn)樵诠剑? ）中1+C0S a在分母位置上，可以保證其不為零.師：1+C0S a開(kāi)出根號(hào)，能保證它一定為正嗎?生：由-1 WCOS a<1及1+C0S a老 可以保證1+C0S a定為正.師：從形式上看化簡(jiǎn)結(jié)果并不理想，如果沒(méi)有“±”號(hào)和絕對(duì)值就好了，這樣做行嗎?（對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解決，有一定難度，可以讓學(xué)生討論，研究一下，最

7、終由老師加以解釋.師；將絕對(duì)值與“土號(hào)同時(shí)去掉即得而這與±罟吐1+ COSG1 +COSft是等價(jià)的.簡(jiǎn)單分析如下，|sin a去掉絕對(duì)值需看sin a的符號(hào)，“±”號(hào)的選取是看tan牛的正負(fù)J當(dāng)時(shí)，分子為san a Fsind ,此£fV0時(shí)a可能為第一象限亀 則一為第一或笫三錄限角，此時(shí)tan-均為正.即在分"號(hào)中選取 J J故化簡(jiǎn)結(jié)果為占二，當(dāng)smCLCO時(shí)分1+ C0£«子I網(wǎng)化簡(jiǎn)為-血J 可能為第三議限，而*則為第二或第四掠限角，仙斗均為員，J "號(hào)選取中應(yīng)選貝號(hào)，故化簡(jiǎn)結(jié)果為-嚴(yán)蘭21+cosA其它情況也有同樣結(jié)

8、晶因此最終化簡(jiǎn)十冷 并把它當(dāng)作半角正切的第二個(gè)公式.z.r-LH Fa an or(板書(shū)十=右花師：對(duì)于公式（3）化簡(jiǎn)的方法應(yīng)當(dāng)是不唯一的，能否有其它的化簡(jiǎn)方法呢?,.a f 1 - ccsa 1(1 - CCS a)1 -生：tan = + J = + J- = 土21 + coso! V sin a|sin <y.師：這個(gè)化簡(jiǎn)過(guò)程與剛才的很類似，而且“±”號(hào)和絕對(duì)值的處理也與0）的處理相同.即最終的化簡(jiǎn)結(jié)果為匸叱，把它作為半角S1I1G!的正切公式的第三種形式記錄下來(lái).Txr*Of l-COSOC VC板書(shū)tan =）2 sino（對(duì)于曲詈的推導(dǎo)方法有很多，在課塗上應(yīng)根據(jù)學(xué)

9、生實(shí)際情況選取相應(yīng)的推導(dǎo)方法.）師：到此完成了半角公式的全部推導(dǎo)過(guò)程.回顧公式的推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)半角的正余弦公式推導(dǎo)是借助了倍角公 式來(lái)完成的，說(shuō)明倍角與半角公式是密切聯(lián)系的，我們正是利用這種關(guān)系，應(yīng)用方程思想得到了半角公式.（給短暫的停頓，讓學(xué)生從整體上記憶這組公式.）師：下面對(duì)這組公式作初步理解與記憶.1 )、(2)2 .公式的初步理解與記憶.師：先明確何時(shí)能用這些公式，即公式成立的條件是什么呢？先看公式（板書(shū)（1）公式成立的條件）生：公式（1 ）、（ 2）成立的條件是a R.（把條件同時(shí)板書(shū)在各公式的后面.）師：再看公式（3）和（4 ）生對(duì)公式和，需滿足左、右式有豈義、即t噸存在，且分母不為黑

10、 被開(kāi)方式非負(fù)可以省，即廠21 + cos &工 0今心 C2k + o , k z.師：再看看公式（5 ）的條件.生=tally存在旦1 - cosCL 7 0,即辛工£ + 兀，旦口工氷兀"k Z,即 aMk n(k Z).師：公式（4 ）和公式（5 ）都是由（3 ）推出的，為什么成立的條件不同呢?2k生：因?yàn)橥?-C0S a時(shí)不能保證它一定不為零，為保證變形的等價(jià)性，需添加上這個(gè)條件，即要求aMn, k Z,故增加了公式的使用條件，這與（4）有所不同.師：了解它們成立的條件，在使用時(shí)請(qǐng)稍加注意.（板書(shū)（2）公式的恒等性）師：這五個(gè)公式均為三角恒等式.恒等的含

11、義具體指什么?生：公式中的a角可以取任意角.師：準(zhǔn)確地說(shuō)，應(yīng)當(dāng)是在公式成立范圍內(nèi)的任意角均使公式成立，即公式具備恒等性.正因?yàn)閍是任意的，故公式中角可以有多種表示方法，如果用換兀思想去認(rèn)識(shí)公式中的角，左式中角可以 用a,那么右式中角則應(yīng)換為生：（共答）2 a.師,若左式中用才，則右式中角應(yīng)為（共答）¥師=如果想求SIH善的值，只需借助誰(shuí)的值即可求出呢?Ocog,的值.42倍，這就師；概括起耒講，這里的'£半"不是專指P它是相對(duì)的-它是指左式中的角是右式中角的一半.自然，這種相對(duì)性還可以理解為右式中的角又是左式中角的是倍的相對(duì)性.從這個(gè)角度上又一次揭示了倍與

12、半之間的密切聯(lián)系，它們的實(shí)質(zhì)是相同的，只是研究的角度不同罷了.（板書(shū)（3） “半”的相對(duì)性）F面我們簡(jiǎn)單談一下公式的記憶.（公式的記憶固然需要在理解的基礎(chǔ)上去記憶，但有時(shí)一些技巧對(duì)公式記憶也很有幫助.師：公式（4 ）和（5）雖然形式簡(jiǎn)單，但很容易相互混淆.但仔細(xì)觀察能發(fā)現(xiàn)（3),(4 ), ( 5 )三個(gè)公式a若出現(xiàn)則一定在分中出現(xiàn)了三個(gè)因式1+C0S a, 1-COS a和Sin a,而1+COS a若出現(xiàn)一定會(huì)在分母上，1-C0Ssin a.子上，（4）和（5）兩個(gè)公式，一旦分子或分母確定了，另一個(gè)位置上一定是通過(guò)這種方法，從公式中的聯(lián)系出發(fā)，找到了記憶的方法，但是最好的記憶方法還是在公式

13、使用時(shí)去熟練 記憶.（板書(shū)）3 .公式的應(yīng)用.先一起看一組小題.（板書(shū)）例1己知C0g= 一彳，根據(jù)下列條件求sidy,亡。礙，rally的值:CO 址夢(mèng)）-師：打算用什么公式來(lái)求值?生：用半角公式.師：為什么用半角公式?生=己知匚4 求詈角的三角S數(shù)值是典型的半角公式正用,計(jì)算最方便.（有些學(xué)生想利用倍角公式來(lái)求值，此時(shí)應(yīng)提醒學(xué)生這樣做沒(méi)有錯(cuò)，只不過(guò)又推了一次半角公式，而不是直接用公式，所以要注意倍、半公式的選擇.）師：用半角公式，僅有 COS a值夠不夠?生不執(zhí)述需知號(hào)角的范圍.師：現(xiàn)在這兩個(gè)條件都具備，找個(gè)同學(xué)具體計(jì)算一下.生板書(shū)解因?yàn)閍e （嘰 m ,所以號(hào)亡仕 手，故.ce (1 -

14、 co see2/5 O廠a11 + CO'S，Of5 V5。佃3=1 2I*.ceOf血2tan = 2.23COE 2師=計(jì)算是正橫的，且在表述上值得肯定的是對(duì)導(dǎo)角的範(fàn)圍一定更明確扌旨出.因?yàn)楣街杏蠮 ”號(hào)的選擇，而符號(hào)選擇要看y角的范圍，為了找到y(tǒng)角的范圍又需先明確6角的範(fàn)圍.（板書(shū)）卡皿宀匸（3 ）%是第三象限角.師：對(duì)（2）和（3）只要求指出各值的符號(hào)即可.生=因?yàn)槎稵T<a< 于兀，所以打<!丈弓兀，因此 血一為負(fù)，cos Si負(fù)，tan反為ZE.生 因?yàn)閍為第三象限角，斯以導(dǎo)為第二或第四象限角-因此，當(dāng)y為第二象限角時(shí)，罰丐為正"有為員，為負(fù)

15、：當(dāng)y 為第四象限味 噸為員，遇y為正，t咗楨.師：對(duì)于這組題的計(jì)算還有什么問(wèn)題嗎?生=C1）中g(shù) ¥）是第三象限角.G）中a也是第三象限角，為什么（1）只有一組解，而（3）卻有兩組解呢?師：?jiǎn)栴}提得好.有哪位同學(xué)能幫忙解決嗎?生：（1 ）中角是區(qū)間角，是第三象限角中很小的一部分,訥只有一種可能，而0）中0是象限角，詈角有兩種可能.師：好.區(qū)間角和象限角是不同的兩個(gè)概念，在解題時(shí)注意加以區(qū)分.師：這節(jié)課主要對(duì)半角公式進(jìn)行了推導(dǎo)，并做了初步的理解與應(yīng)用.在整個(gè)過(guò)程中有幾點(diǎn)啟示，需引起我 們注意:（1 ）在公式推導(dǎo)中發(fā)現(xiàn)，倍角和半角是緊密相聯(lián)的，它們是同一種關(guān)系的不同表現(xiàn)形式.（2 ）具

16、體推導(dǎo)時(shí)，就是利用方程的思想和聯(lián)系的觀點(diǎn)得到半角的五個(gè)公式，同時(shí)我們也應(yīng)能利用聯(lián)系的 觀點(diǎn)把握其余各組公式間的聯(lián)系.（3 ）在正確記憶公式的同時(shí)，應(yīng)注意公式在表達(dá)形式上存在著正負(fù)號(hào)的選擇問(wèn)題.至于對(duì)公式進(jìn)一步的綜合應(yīng)用將在下節(jié)課繼續(xù)研究.作業(yè)：課本P224第1 , 2 , 3題.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明1.這節(jié)課是一節(jié)典型的公式課，傳統(tǒng)的教學(xué)方法往往是以最快速度給出公式，然后展開(kāi)大規(guī)模的練習(xí),這樣教學(xué)的結(jié)果會(huì)讓學(xué)生只會(huì)死套公式，而不能靈活運(yùn)用公式并合理選擇公式.因此本節(jié)課采用啟發(fā)式教學(xué), 讓學(xué)生對(duì)公式的內(nèi)容、推導(dǎo)進(jìn)行獨(dú)立思考、探索，使學(xué)生充分吸取公式推導(dǎo)中的營(yíng)養(yǎng)成分.2 .對(duì)于半角第一個(gè)公式的推導(dǎo)是整

17、套公式推導(dǎo)的起點(diǎn)，為充分引導(dǎo)學(xué)生思考，拓展思路，我事先做了多 種方案的準(zhǔn)備，其中有這樣一條思路，從Sitia =2eII1詈* COEy出發(fā)推導(dǎo)SLQ ,這科想法經(jīng)常被人們忽略或被輕易否定了.其實(shí)這條路也是很有價(jià)值的一種推導(dǎo)思路，下面簡(jiǎn)解如下：因?yàn)閟inCl =2sin詈* cosy ,所以£存 0. .= 4siii * co3 = 4sin (1 - sin?) 22八 2即 4sin* -43111 y H- sin G =0 因此.0 a l±|cosce|sin =.COS aO 時(shí)，|COS a|=COS a,此時(shí)a在第2 2在這里又出現(xiàn)了“±”號(hào)和絕對(duì)值并存的現(xiàn)象，需進(jìn)一步化簡(jiǎn)，當(dāng)I或第W象限或y軸上，則尹如圖啲陰影部分，此吋0心11齊¥或-¥禮詩(shī)0故因此衽S "號(hào)選擇中