機械優(yōu)化設(shè)計-復(fù)習(xí)材料題答案解析

1、-+機械優(yōu)化設(shè)計復(fù)習(xí)題解答一、填空題1、用最速下降法求 f(X)=100(x 2- X12) 2+(1- X1) 2 的最優(yōu)解時，設(shè) X(0)=-0.5,0.5t，第一 步迭代的搜索方向為-47,-50t。2、機械優(yōu)化設(shè)計采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是 尋找搜索方向，二是計算最優(yōu)步長。3、當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進(jìn)退法來確定搜索區(qū)間時，最后得到的三點，即為搜索區(qū)間的始點、中間點和終點，它們的函數(shù)值形成 高一低一高趨勢。5、包含n個設(shè)計變量的優(yōu)化問題，稱為維優(yōu)化問題。16、函數(shù) XtHX + BtX +C的梯度為B。27、設(shè)G為nXi對稱正定矩陣，若n維空間

2、中有兩個非零向量d0，d1，滿足(d0)TGd1=0， 則d0、d1之間存在共軛關(guān)系。8模型的基本要素。設(shè)計變量目標(biāo)函數(shù)約束條件是優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)9、 對于無約束二元函數(shù)f(X1,X2)，若在X0(X10,X20)點處取得極小值，其必要條件是，充分條件是(正定。K-T10、K-T條件可以敘述為在極值點處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。11、用黃金分割法求一元函數(shù)f(x) =x2 -10X+36的極小點，初始搜索區(qū)間 a,b =-10,10，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為-2.36 10。目標(biāo)函數(shù)約束條件。12、優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計變量、13、 牛頓法的

3、搜索方向dk= -H rgk ，其計算量大，且要求初始點在極小點 附近位 置。14、將函數(shù) f(x)=x12+x22-x1x2-10x1-4x2+60 表示成 1xThx+bTx+c 的形式15、存在矩陣H，向量d1，向量d2，當(dāng)滿足小廠旳2=0，向量d1和向量d2是關(guān)于H共 軛。16、采用外點法求解約束優(yōu)化問題時，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點形式時引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點。17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點時，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求最 優(yōu)步長。、選擇題1、下面C方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法B、共軛梯度法C、牛頓型法D、DFP法 2、對于約束問題2 2min f

4、 (X )=捲 +X2 4x2 +42gi(X ) = Xi X2 1 二0g2(X )=3 -Xi 30g3(X ) = X2 30根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷xC)=i, iT 為25 i T,xHGA .內(nèi)點；內(nèi)點B. 外點；外點C. 內(nèi)點；外點D. 外點；內(nèi)點 3、內(nèi)點懲罰函數(shù)法可用于求解 B優(yōu)化問題。A無約束優(yōu)化問題B只含有不等式約束的優(yōu)化問題C只含有等式的優(yōu)化問題D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題 4、對于一維搜索，搜索區(qū)間為a, b,中間插入兩個點ai、bi, aivbi,計算出f(ai)vf(bi), 則縮短后的搜索區(qū)間為D0ai, bibi, bai, ba, bi5、D

5、不是優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A設(shè)計變量B約束條件C目標(biāo)函數(shù)D最佳步長 6、變尺度法的迭代公式為xk+1=xk-aHk f(xk)，下列不屬于Hk必須滿足的條件的是C。A. Hk之間有簡單的迭代形式B. 擬牛頓條件C. 與海塞矩陣正交D. 對稱正定 7、函數(shù)f(X)在某點的梯度方向為函數(shù)在該點的 A。A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向下面四種無約束優(yōu)化方法中， 在構(gòu)成搜索方向時沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二 階導(dǎo)數(shù)。梯度法牛頓法變尺度法坐標(biāo)輪換法9、設(shè)f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f (X)在R上為凸函數(shù)的 充分必要條件是海塞矩陣 G(X)在R上

6、處處B。正定半正定負(fù)定半負(fù)定的、01< 02。10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法 一一黃金分割法的敘述，錯誤的是 D,假設(shè)要 求在區(qū)間a, b插入兩點a、a,且其縮短率為0.618a=b-入（b-a）C、a=a+ 入（b-a）D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11、與梯度成銳角的方向為函數(shù)值 A方向，與負(fù)梯度成銳角的方向為函數(shù)值B方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值 C方向。A、上升B、下降C、不變D、為零 12、二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點就是A、等值線族的一個共同中心B、梯度為0的點C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為_B_向量。相

7、切正交成銳角共軛14、下列關(guān)于內(nèi)點懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。B懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點應(yīng)選擇一個離約束邊界較遠(yuǎn)的點。D初始點必須在可行域內(nèi)三、問答題（看講義）1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)別?2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么?3、試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點。5、寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義, 并說明迭代公式的意義。6、什么是共軛方向？滿足什么關(guān)系？共軛與正交是什么關(guān)系?四、解答題1、試用梯度法求目

8、標(biāo)函數(shù)f(X)=1.5xi2+0.5x22- X1X2-2X1的最優(yōu)解，設(shè)初始點x(0)=-2 , 4T, 選代精度& =0.02(迭代一步)。解：首先計算目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù)計算當(dāng)前迭代點的 梯度向量值梯度法的搜索方向為(),因此在迭代點x(0)的搜索方向為12, - 6T在此方向上新的迭代點為:把新的迭代點帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個關(guān)于單變量的函數(shù)，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長新的迭代點為()當(dāng)前梯度向量的長度,因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第一迭代步完成。2、試用牛頓法求f( X )=(x i-2)2+(xi-2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點x(0)=2,1T。解1:(注：題目出題不當(dāng)，

9、初始點已經(jīng)是最優(yōu)點，解 2是修改題目后解法。)，因此首先求出當(dāng)前迭代點X牛頓法的搜索方向為的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣不用搜索，當(dāng)前點就是最優(yōu)點。解2: 上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點選擇不當(dāng)。以下修改求解 題目的初始點，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。以非最優(yōu)點x(0)=1,2T作為初始點，重新采用牛頓法計算牛頓法的搜索方向為,因此首先求出當(dāng)前迭代點x(0)的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù):初始點梯度向量:海色矩陣:海色矩陣逆矩陣:當(dāng)前步的搜索方向為:新的迭代點位于當(dāng)前的搜索方向上把新的迭代點帶入目標(biāo)函數(shù),目標(biāo)函數(shù)將成為一個關(guān)于單變量的函數(shù)，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最

10、優(yōu)步長新的迭代點為當(dāng)前梯度向量的長度,因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第二迭代步:因此不用繼續(xù)計算，第一步迭代已經(jīng)到達(dá)最優(yōu)點。這正是牛頓法的二次收斂性。對正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點。3、設(shè)有函數(shù)f(X)=xi2+2x22-2xiX2-4xi,試?yán)脴O值條件求其極值點和極值。解：首先利用極值必要條件找出可能的極值點:求得，是可能的極值點。再利用充分條件正定(或負(fù)定)確認(rèn)極值點。因此 正定,是極小點，極值為f(x )=-84、求目標(biāo)函數(shù)f( X )=x i2+xix2+2x22 +4x1+6x2+10的極值和極值點。解法同上222T5、試證明函數(shù) f( X )=2x1 +5x2 +X3+2x3X2+

11、2x3X1-6x2+3 在點1，1，-2處具有極小值。解：必要條件：將點1 , 1, -2T帶入上式，可得充分條件正定。因此函數(shù)在點1，1, -2t處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問題min f(X)=(x 1-3)2+(x2-2)22 2s.t. g1(X)= X1 X2 + 5> 0g2(X)= X1 2x2 + 40 g3(X)= X 1> 0 g4(X)=X2> 0驗證在點X =2,iTKuhn-Tucker條件成立。解：首先，找出在點X =2,1T起作用約束:gi(x)g2(x)g3(x)g4(X)因此起作用約束為g1(X)、g2(X)。然后，計算目標(biāo)函數(shù)、起作用約束函

12、數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否可以表示 為起作用約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。求解線性組合系數(shù)得到因此在點X =2,1t Kuhn-Tucker 條件成立-均大于07、設(shè)非線性規(guī)劃問題m i n f(X)=(為 -2)2 +x；s.t. g1(X)=X1>0 g2(X)=X2 30 g3(X)=X12-x；+1>0用K-T條件驗證X* = 1,0 T為其約束最優(yōu)點。解法同上&已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)= X什X2，受約束于:2g1(X)=-X 1 +X2>0g2(X)=X 1 為寫出內(nèi)點罰函數(shù)。解:內(nèi)點罰函數(shù)的一般公式為.mm 心嚴(yán))=F(x)+嚴(yán)其中：r>r(2)&

13、gt;丿3)、嚴(yán)>0是一個遞減的正值數(shù)列嚴(yán)=Cr(k-1)，0V C < 1因此罰函數(shù)為:9、已知目標(biāo)函數(shù)為 f(X)=( X1-1)2+(X2+2)2 受約束于：g1(X)=-X 2-X1-1 >0 g2(X)=2-X1-X2>0 g3(X)=X1 >0 g4(X)=X2>0 試寫出內(nèi)點罰函數(shù)。解法同上10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為 x的方塊并折轉(zhuǎn), 造一個無蓋的箱子，問如何截法(x取何值)才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu) 化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。11、某廠生產(chǎn)一個容積為8000cm3的平底無蓋

14、的圓柱形容器，要求設(shè)計此容器消耗原材 料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。12、一根長I的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例 截斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型以 及用MATLAB軟件求解的程序。13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型 以及用MATLAB軟件求解的程序。14、薄鐵板寬20cm,折成梯形槽，求梯形側(cè)邊多長及底角多大，才會使槽的斷面積最大。寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型， 并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出 M文件和求解命令）。15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長度為 C,高度為h,面積A=64516mm2，斜邊 與底邊的夾角為見圖1。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長 s的倒數(shù)成比例關(guān)系（s只包括底邊和兩側(cè)邊，不計頂邊）。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。 寫出 這一優(yōu)化設(shè)計問題