第四節(jié)基本不等式

1、基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，一輪復(fù)習(xí)更需疋視基礎(chǔ)知識(shí)的強(qiáng)化和落實(shí)卻即解析：選C當(dāng)x>0時(shí)，x+x>2x = 2（當(dāng)且僅當(dāng)x= X時(shí)，等號(hào)成立）因?yàn)閄, tI a + b1.基本不等式7abw2、基礎(chǔ)知識(shí)批注一一理解深一點(diǎn);在運(yùn)用基本不等 I式及其變形時(shí)寸'*基本不等式成立的條件：定要驗(yàn)證等號(hào)是(2)等號(hào)業(yè)的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a三b. * 2.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a> 0, b>0，則a, b的算術(shù)平均數(shù)為 生尹，幾何平均數(shù)為 便，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).3.利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x>0，y>0,則如果xy是定值P,那么

2、當(dāng)且僅當(dāng)x = y時(shí)，X+ y有最小值是2五簡(jiǎn)記：積定和最小).2如果X+ y是定值q,那么當(dāng)且僅當(dāng)x= y時(shí)，xy有最大值是 勺簡(jiǎn)記：租定積最大.和定積最大，積定和最小:兩個(gè)正數(shù)的和為定值 時(shí)，則可求其積的最大 值；積為定值時(shí)，可求 其和的最小值.二、常用結(jié)論匯總一一規(guī)律多一點(diǎn)(1)a2 + b2>2ab(a, b R)，當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取等號(hào).（2）ab< 韻（a ,b R），當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取等號(hào). 苓匕> 弓b）（a，b R），當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取等號(hào).（4）b+ b>2（a, b R,且a, b同號(hào)），當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取等號(hào).三、基礎(chǔ)小題強(qiáng)化一一功底牢一

3、點(diǎn)（一判一判（對(duì)的打“/,錯(cuò)的打“X”a U b（1）當(dāng) a>0, b>0 時(shí)，阿.（）兩個(gè)不等式a2+ b2>2ab與成立的條件是相同的.（）（3）x> 0且y>0是y+ y> 2的充要條件.（）答案：（1）2（2）X （3） X（二）選一選1設(shè)a>0，則9a+a的最小值為（a解析：選C7因?yàn)閍>0，所以9a + -2a111X- = 6，當(dāng)且僅當(dāng)9a="，即卩a=-時(shí),aa319a + 1取得最小值a6.故選C.2.若 x>0，y>0，且2（x + y） = 36 ,則>/齊的最大值為（）B. 18C. 36D.

4、81解析：選A由2(x + y)= 36,得X+ y= 18，所以網(wǎng)w土|= 9,當(dāng)且僅當(dāng)x= y= 9時(shí),等號(hào)成立.3.X>0 ”是1“ X+ - > 2”成立的(A .充分不必要條件B 必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件C.m2.時(shí)等號(hào)成立，故當(dāng)矩形的長(zhǎng)與寬相等，且都為5 m時(shí)面積取到最大值 25 m2.11 1同號(hào)，所以若x+ 2，則x>0，->0，所以x>0”是“x+ x>2”成立的充要條件，故選(三)填一填4.若實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足xy= 1，貝U x2 + 2y2的最小值為解析：X2+ 2y2= x2+ (寸2y)22xh/2y)= 2(

5、2,當(dāng)且僅當(dāng)x= y2y且xy= 1時(shí)等號(hào)成立.所以x2+ 2y2的最小值為2羽.答案：2(25.若把總長(zhǎng)為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是解析：設(shè)一邊長(zhǎng)為x m，則另一邊長(zhǎng)可表示為(10 x)m ,由題知 0VXV10，則面積 S= x(10 x)w f + 2_x= 25,當(dāng)且僅當(dāng) x = 10 x，即 x = 5答案：25考點(diǎn)不宜整合太大，挖掘過(guò)深考點(diǎn)一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的基本方法有拼湊法、常數(shù)代換法等3典例(1)已知a>2，則a + 一；的最小值是()a 2C . 23 + 2設(shè)0<x<3,則函數(shù)y= 4x(3 2x)的最大

6、值為(3)已知x>0,1 1y>0，且X+ 2y= 1,則"+ y的最小值為x y(4)已知x>0,y>0, x+2y+ 2xy= 8，貝U x + 2y 的最小值為解析(1)拼湊法2 2 + 2 =33因?yàn)?a>2,所以 a 2>0,所以 a+= (a 2) + 2 > 2a 2a 23+ 2,當(dāng)且僅當(dāng)a 2=，即a = 2+寸3時(shí)取等號(hào).故選C.(2)拼湊法y= 4x(3 2x)= 22 x(3 2x) w 2(3 2xC卜9，當(dāng)且僅當(dāng)2x = 3 2x，即x = 3時(shí),2 J 24等號(hào)成立.函數(shù)y= 4x(3 2x)(0<x<

7、;2勺最大值為2.(3)常數(shù)代換法/ x>0 , y>0,且 x + 2y= 1,-+ - = g + g = 1 + 2+ 2y+ 鈔 3+ 2 謂=3+ 2“ 當(dāng)且僅當(dāng) 爭(zhēng)=:且x + 2y= 1，即x=V2 1, y= 1 乎時(shí)，取得等號(hào).1+1的最小值為3 + 2竝(4)拼湊法因?yàn)?x>0, y>0,所以 8 = X+ 2y+ x 2y< (x + 2y) +尹),令 x + 2y= t,則8W t+ 4,即卩 t2+ 4t 32>0,4解得t> 4或tw - 8,即 x + 2y> 4 或 x + 2y< - 8(舍去),當(dāng)且僅當(dāng)

8、x= 2y,即x= 2, y= 1時(shí)等號(hào)成立.答案(1)C(2)2 (3)3 + 22 (4)4解題技法基本不等式求最值的2種常用方法拼湊法拼湊法求解最值，其實(shí)質(zhì)就是先通過(guò)代數(shù)式變形拼湊出和或積為常數(shù)的兩項(xiàng)，然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值時(shí),要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件常數(shù)代常數(shù)代換法解題的關(guān)鍵是通過(guò)代數(shù)式的變形,構(gòu)造和式或積式為定值換法的式子，然后利用基本不等式求解最值.應(yīng)用此種方法求解最值時(shí),應(yīng)把“ 1 '的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘求積或相除求商題組訓(xùn)練1.（常數(shù)代換法 若a>0, b>0且2a + b= 4，則的

9、最小值為（）B.1Ovabw 2,解析：選B 因?yàn)閍>0, b>0,故2a+ b> 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)2a= b時(shí)取等號(hào)）. 又因?yàn)?2a+ b= 4, /2ab< 4?-ab2，故ab的最小值為2故選B.2.（兩次基本不等式設(shè)x>0, y>0,且x+ 4y= 40,貝U Ig x+ Ig y的最大值是（）A. 40B. 10解析：選D 因?yàn)閤+ 4y= 40,且x>0 , y>0,所以所以x + 4y> x 4y= 4xy.(當(dāng)且僅當(dāng) x= 4y 時(shí)取 4&yw 40.所以 xyw 100.所以Ig x+ Ig y= Ig xyw

10、Ig 100= 2.所以Ig x+ Ig y的最大值為2.3.（拼湊法 設(shè)a> b> 0,則a2+ab+亦？）的最小值是（）解析：選 D a2 + at+ a(a- b)1 2 1 1 2 1=(a ab) +L)+ ab+ 曲a - ab)L)+2寸ax ab = 4，當(dāng)且僅當(dāng)a2 ab= a2抽且命二ab,即a=2, b=¥時(shí)取等號(hào)，故選 D.4.（常數(shù)代換法 已知x>0, y>0，且x+ 2y= xy,則x + y的最小值為 解析：由 E, y>0,x+2y=xy，得 x+y=1，所以 x + y= (x + y)£ +=3+ 2y+ x

11、> 3+ 2返 x y當(dāng)且僅當(dāng)x=/2y時(shí)取等號(hào).答案：3+ 2迄考點(diǎn)二基本不等式的實(shí)際應(yīng)用典例某工廠(chǎng)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x),當(dāng)年產(chǎn)量不足 80千件時(shí)，C(x) = 1x2+ 10x(萬(wàn)元)當(dāng)年產(chǎn)量不小于 80千件時(shí),3C(x)= 51x + 10000 1 450(萬(wàn)元).每件商品售價(jià)為 0.05萬(wàn)元.通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠(chǎng)生產(chǎn)的X商品能全部售完.寫(xiě)出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式.(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠(chǎng)在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?解 因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為0.05萬(wàn)元，則x千件商品銷(xiāo)售額為 0.05X

12、1 000X萬(wàn)元,依題意得:當(dāng) 0VXV80 時(shí)，L(x)= (0.05 X 1 000x) gx2 + 10x J- 250 = x2 + 40x 250.當(dāng) x> 80 時(shí)，L(x) = (0.05 X 1 000x) (51x+ 讐1 450 250= 1 200 (x+營(yíng)) 1x2 + 40x-250, 0VXV80, r 3所以L(fǎng)(x)= 1 ( 10 000、1 200 卜+X丿，X > 80.1 2當(dāng) 0VXV80 時(shí)，L(x) = - 3(x 60) + 950.此時(shí)，當(dāng)x= 60時(shí)，L(x)取得最大值 L(60) = 950萬(wàn)元.當(dāng) x> 80 時(shí)，L(x)

13、 = 1 200 (+ 10：00十 1 200 2 寸x 10 ：00= 1 200 200 = 1 000.即x = 100時(shí)，L (x)取得最大值1 000萬(wàn)元.由于 950V1 000,1 000所以當(dāng)年產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠(chǎng)在這一商品生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為 萬(wàn)元.解題技法有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問(wèn)題的解題技巧(1) 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(2) 解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.題組訓(xùn)練1. (2017江蘇高考)某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)

14、買(mǎi) x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4X萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是解析：由題意，一年購(gòu)買(mǎi)罟次，則總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為6+ 4x=卜x 1 丿x= 240，當(dāng)且僅當(dāng)x = 30時(shí)取等號(hào)，故總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小時(shí)x的值是30.2. 某游泳館擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的泳池，池的深度為 1米,答案：30100X 型x+ 60 X 200= 800 X (+ 譽(yù)” 12 000 > 1225x + 12 000 = 36 000(元),當(dāng)且僅當(dāng) x225x=x池的四周墻壁建造單價(jià)為每米400元，中間一條隔壁建造單價(jià)為每米100元，池

15、底建造單米時(shí)，可使總造價(jià)最低.價(jià)每平方米60元（池壁厚忽略不計(jì)）.則泳池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為解析：設(shè)泳池的長(zhǎng)為x米，則寬為200米，總造價(jià)f（x）= 400X + 2X（x>0），即x = 15時(shí)等號(hào)成立.即泳池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為15米時(shí)，可使總造價(jià)最低.答案：15課時(shí)跟蹤檢測(cè)1. （2019 長(zhǎng)春調(diào)研）“ a>0, b>0 ”是“”的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選D 當(dāng)a>0, b>0時(shí)，號(hào)何，即卩abw ，當(dāng)a = b時(shí)，abvf）不成立，故“a>0, b>0”不是“ abv件的充分條件.當(dāng) abvf嚴(yán)）時(shí)，

16、a, b可以異號(hào)，故a>0, b>0不一定成立，故 “a>0, b>0”不是“abvf）”的必要條件.故 “a>0,b>0 ”是“ abv件的既不充分也不必要條件，故選D.2.已知 x>0, y>0 ,且 x+ 2y= 2,則 xyA .有最大值為 1B .有最小值為1C .有最大值為2D .有最小值為解析：選 C 因?yàn)?x>0, y>0, x+ 2y= 2,所以x + 2y> 2仮知，即卩2 > 22xy, xy<寸,當(dāng)且僅當(dāng)x= 2y,即卩x= 1, y=舟時(shí)，等號(hào)成立.1所以xy有最大值，且最大值為ab的最小值

17、為（）1 23.若實(shí)數(shù)a, b滿(mǎn)足1 + b=Uab，則A.V2C . 2迄解析：選c因?yàn)?+2=Qab，所以a ba>0, b>0,由何=a+討2眾=2唱 所以ab> 2/2（當(dāng)且僅當(dāng)b= 2a時(shí)取等號(hào) 所以ab的最小值為2亞),4.已知a>0, b>0 , a, b的等比中項(xiàng)是1 11且m= b+ a, n = a + b,則m + n的最小值11 解析：選 B 由題意知 ab= 1, m= b+ = 2b, n = a+?= 2a, / m+ n= 2(a + b)>/ab ab=4,當(dāng)且僅當(dāng)a = b= 1時(shí)取等號(hào)，故 m+ n的最小值為4.5 .

18、（2019長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知x>0, y>0，且4x+ y= xy,則x+ y的最小值為（）C. 12D . 16解析：選B 由4x+y=xy得4+1=1則 x+y=（x+y）（y+x卜節(jié)+x+1+4>曲+5= 9，當(dāng)且僅當(dāng)=y，即x= 3, y= 6時(shí)取“=”，故選B.y xy滿(mǎn)足4x2 + 9y2 + 3xy= 30,則xy的最大值為（）6 .若正數(shù)x,4A-35B.5C.5解析：選D即 3015xy,30= 4x2 + 9y2 + 3xy> 2p36x2y2 + 3xy,所以xyw 2,當(dāng)且僅當(dāng)4x2= 9y ,即x =西，y=號(hào)成立.故xy的最大值為2.7.設(shè)2

19、x>0，則函數(shù) y= x+ 2XR3的最小值為（）解析:y= X +丄3 =2x+1232= 0，當(dāng)且僅X +0.故選A.x=2時(shí)等號(hào)成立.所以函數(shù)的最小值為&已知x>1,1y>1，且log2X, 4， log2y成等比數(shù)列，則xy 有（）A .最小值yJ2C 最大值邁B .最小值2D 最大值21 1解析：選 A x>1, y>1,. log2x>0, log2y>0.又/ log2X, 4, log2y成等比數(shù)列，二 一, 1=log2X Iog2y,.由基本不等式， 得log2X + log2y>log2X log2y= 2，當(dāng)且僅當(dāng)

20、 log2X= logzy1時(shí)取等號(hào)，故log2（xy）>1，即xy/2選A.9.當(dāng)3< XV 12時(shí)，函數(shù) y=3(12 X 的最大值為X2解析:yUX(L- X + 15X - 36X=(X+36+15<215=3,當(dāng)且僅當(dāng)X= 36,1卩X= 6時(shí)，ymax = 3.X答案：310. （2018南昌摸底調(diào)研）已知函數(shù)y= X + 先（>2）的最小值為6，則正數(shù) m的值為X 2解析：/ x>2, m>0 , y= x 2 + -+ 2 > 2X 22+ 2= 2/m+2X = 2 #x 2+ 暢時(shí)取等號(hào)，又函數(shù) y= X + -m-（x>2）的最小值為6,.2歸+ 2= 6，解得m= 4.X 2答案：4a 111. (2018天津高考)已知a, b R且a 3b+ 6 = 0,貝U 2a+ 8的最小值為解析：T a 3b+ 6 = 0,.a 3b= 6.2a+ 吉=2a+ 23b> 272a 2 3b=2羽= 2 X 2 3= 1.當(dāng)且僅當(dāng)a= 3b,la 3b+ 6= 0,即 =3,時(shí)等號(hào)成立.Lb= 112. (2018聊城一模)已知a>0, b>0,3a + b= 2ab，則 a+ b 的最小值為31解析：由 a&