第50講直線及區(qū)域

1、 第10講 直線與區(qū)域直線是平面上最簡(jiǎn)單、最常見的幾何圖形在解析幾何中，直線是最基本的研究對(duì)象之一，它既能反映直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，又是解決平面幾何中直線型問題的強(qiáng)有力的工具A類例題例1直線bxayab(a0、b0)的傾斜角是( )Aarctan() Barctan()Carctan() Darctan(1993年全國(guó)高考題)分析 直線方程的四種特殊形式，都可以化為直線方程的一般形式，但直線方程的一般形式不一定都能化為四種特殊形式，這與系數(shù)A、B、C是否為零有關(guān)要會(huì)根據(jù)需要在直線方程的各種形式之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換本題為直線方程的一般形式，先化為斜截式，由直線的斜率，得出直線的傾斜角解 因?yàn)閍0，則方程bxa

2、yab化為yxb，方程的斜率為k，又a0、b0，則0故直線的傾斜角是arctan，選D說明 直線方程的常用形式為：(1)點(diǎn)斜式：yy0k(xx0)；(2)斜截式：ykxb；(3)兩點(diǎn)式：；(4)截距式：1；(5)一般式：AxByC0此外有時(shí)為了解決問題的方便還可能用到：(1)法線式：xcosaysinap0(a0，2p)，p0，任何直線都可用法線式表示)，a為直線的法線角(法線與x軸正向所成的角)，p為法線長(zhǎng)(原點(diǎn)到直線的距離)；(2)參數(shù)式：(t為參數(shù))；(t為參數(shù)，t表示點(diǎn)(x0，y0)到點(diǎn)(x，y)的線段的數(shù)量，a為直線的傾斜角)；(3)向量式：l(R)，l(1l)，(R)等在解決問題的

3、過程中要注意靈活運(yùn)用各種形式例2已知直線l1和l2夾角的平分線為yx，如果l1的方程是axbyc0(ab0)，那么l2的方程是（ ）Abxayc0 Baxbyc0 Cbxayc0 Dbxayc0 (1992年全國(guó)高考題)分析 直線l1和l2夾角的平分線為yx，則直線l1和l2關(guān)于直線yx對(duì)稱解 由于點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，故axbyc0關(guān)于直線yx的對(duì)稱的直線為aybxc0，即l2的方程是bxayc0故選A說明 解析幾何中對(duì)稱的問題在高考和競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，對(duì)稱有兩種：1中心對(duì)稱：點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于點(diǎn)(h，k)的中心對(duì)稱的點(diǎn)為(2hx0，2ky0)；點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)

4、于原點(diǎn)(0，0)的中心對(duì)稱的點(diǎn)為(x0，y0)；2軸對(duì)稱：(1)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x0，y0)；(2)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x0，y0)；(3)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線xa的對(duì)稱點(diǎn)為(2ax0，y0)；(4)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線yb的對(duì)稱點(diǎn)為(x0，2by0)；(5)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為(y0，x0)；(6)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為(y0，x0)；(7)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線xya的對(duì)稱點(diǎn)為(ay0，ax0)；(8)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線xya的對(duì)稱點(diǎn)為(ay0，x0a)；(9)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線A

5、xByC0的對(duì)稱點(diǎn)，可先設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，列出方程組解此方程組即可得對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)例3在約束條件下，求zx2y2的最大值和最小值(1999年浙江高考模擬題)分析 本題可以借助于線性規(guī)劃問題的求解方法解決這一問題，關(guān)鍵是怎樣理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，zx2y2()2表示的是區(qū)域上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，理解這一點(diǎn)問題就不難解決了解 約束條件表示的區(qū)域如圖中ABC所圍成的區(qū)域(包括邊界)因?yàn)閦()2，所以z表示區(qū)域上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方又由圖可知，區(qū)域中與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為A或C點(diǎn)，則由A(3，4)可知zmax25過O作ODBC，垂足為D，則區(qū)域中與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)為D，直線BC為2x5y10，所

6、以|OD|，則zmin綜上所述，zx2y2的最大值為25，最小值為說明 在解決區(qū)域的有關(guān)問題時(shí)，一般要利用數(shù)與形的結(jié)合，將需要解決的問題在圖形中表現(xiàn)出來，因此正確地畫出不等式(組)所表示的區(qū)域就成為解題時(shí)一個(gè)重要的環(huán)節(jié)情景再現(xiàn)1(1)要使直線l1：(2m2m3)x(m2m)y2m與直線l2：xy1平行，求m的值(1989年全國(guó)高考題)(2)直線l1：ax(1a)y3與直線l2：(a1)x(2a3)y2互相垂直，求a的值(1985年全國(guó)高考題)2已知平面上兩點(diǎn)A(4，1)和B(0，4)，在直線l：3xy10上找一點(diǎn)M，使得|MA|MB|最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)(2002年南通高考模擬題)3由方程|x6

7、|y|所對(duì)應(yīng)的曲線圍成的圖形的面積是 ；(上海市2000年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)B類例題例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上給定兩點(diǎn)A(0，a)、B(0，b)(0ba)試在x軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上求點(diǎn)C，使ACB取得最大值(1986年全國(guó)高考題)分析 已知兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C(x，0)的坐標(biāo)，要求銳角ACB的最大值，而ACB恰好是直線BC與AC的傾斜角的差，故先求出直線BC與AC的斜率，即求出直線BC與AC的傾斜角的正切值，在利用三角函數(shù)的相關(guān)公式及不等式的性質(zhì)求最值解 設(shè)所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，0)(x0)，ACx，BCx，、(，)kBC，kAC，即tan，tan

8、，因?yàn)锳CB，則tanACBtan()設(shè)ytanACB，則y，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x時(shí)，ymax，即tanACB的最大值為因?yàn)锳CB為銳角，在(0，)內(nèi)，ytanx是增函數(shù)，故ACB的最大值為arctan，此時(shí)C的坐標(biāo)為(，0)說明 本題是采用斜率來解決的，事實(shí)上本題也可以用平面幾何知識(shí)來解決，如右圖，當(dāng)經(jīng)過A、B這兩個(gè)定點(diǎn)的圓與x軸相切時(shí)，切點(diǎn)為C，此時(shí)ACB最大(讀者可以自行證明)，故當(dāng)C在C時(shí)ACB最大，利用切割線定理，得|OC|2ab，同樣可以得到C的坐標(biāo)為(，0)時(shí)，ACB的最大值例5在平面直角坐標(biāo)系中，方程1(a，b是不相等的兩個(gè)正數(shù))所代表的曲線是( )A三角形 B正方形C非正方形的長(zhǎng)

9、方形 D非正方形的菱形(1994年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)分析 分類討論去絕對(duì)值即可解決本題解 xy0，xy0時(shí)，(一、四象限角平分線之間)曲線方程為：(ab)x(ba)y2ab；xy0，xy0時(shí)，(一、二象限角平分線之間)曲線方程為：(ba)x(ab)y2ab；xy0，xy0時(shí)，(三、四象限角平分線之間)曲線方程為：(ab)x(ab)y2ab；xy0，xy0時(shí)，(二、三象限角平分線之間)曲線方程為：(ab)x(ab)y2ab四條直線在ab時(shí)圍成一個(gè)菱形(非正方形)故選D例6已知直線l1：y4x和P(6，4)在直線l1上求一點(diǎn)Q，使過P、Q的直線與l1，以及x軸，在第I象限內(nèi)圍成的三角形的面積最小(

10、1978年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)解 如圖所示，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，y14x1，則過P、Q的直線l2的方程為，PQ與x軸交點(diǎn)M坐標(biāo)為(，0)OMQ的面積S4x1，即10x12Sx1S0要使此方程有實(shí)根，則S240S0，即S40當(dāng)S40時(shí)，x12，即x12時(shí)，S達(dá)到最小故所求Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2，8)說明 本題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為求S4x1的最小值，對(duì)于求S4x1的最小值的方法很多，如S10(x11)201022040(x11)情景再現(xiàn)4已知有向線段PQ的起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為(1，1)和(2，2)，若直線l：xmym0與PQ的延長(zhǎng)線相交，則m的取值范圍是 (1994年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)5求滿足條件

11、y|xa|，yxa(a0)的點(diǎn)組成的圖形的面積(1979年山西省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)6設(shè)R為平面上以A(4，1)、B(1，6)、C(3，2)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包括三角形的邊界)試求當(dāng)(x，y)在R上變動(dòng)時(shí)，函數(shù)4x3y的極大值和極小值(須證明你的論斷)(1978年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)C類例題例7設(shè)點(diǎn)Bi(i，yi)(iN*)是直線yx上的點(diǎn)點(diǎn)Ai(xi，0)滿足x1a(0a1)，AiBiAi+1是以Bi為頂點(diǎn)的等腰三角形(1)試求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正數(shù)a，使存在正整數(shù)i，AiBiAi+1為直角三角形解 (1)滿足x1a，xi+12ixi(i1，2，)下標(biāo)加1：xi+22(i1)x

12、i+1，相減得xi+2xi+1xixi+12，即xi+2xi2則數(shù)列x1，x3，x2k1，與數(shù)列x2，x4，x2k，分別為以2為公差的等差數(shù)列x2k1a2(k1)2ka2；x2k2a2(k1)2kaxn也可寫為xnn(1)n1a1(1)n1(2)ynn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，取nn(na1)1aan當(dāng)n1時(shí)，a，n3時(shí)，a當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，取nn(na)aan，當(dāng)n2，a當(dāng)a，時(shí)，分別存在i1，2，3，使AiBiAi+1為直角三角形例8在坐標(biāo)平面上，是否存在一個(gè)含有無窮多直線l1，l2，ln，的直線族，它滿足條件：(1)點(diǎn)(1，1)ln，(n1，2，3，)；(2)kn+1anbn，其中kn+1是ln+1的斜

13、率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，(n1，2，3，)；(3)knkn+10，(n1，2，3，)并證明你的結(jié)論(1988年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)證明 設(shè)anbn0，即kn11，或anbn0，即kn1，就有kn+10，此時(shí)an+1不存在，故kn1現(xiàn)設(shè)kn0，1，則ykn(x1)1，得bn1kn，an1，kn+1kn此時(shí)knkn+1kn21kn1或kn1從而k11或k11(1)當(dāng)k11時(shí)，由于01，故k1k2k10，若k21，則又有k1k2k30，依此類推，知當(dāng)km1時(shí)，有k1k2k3kmkm+10，且01，km+1kmkmkm1km1k1由于k1隨m的增大而線性減小，故必存在一個(gè)m值，mm

14、0，使k11，從而必存在一個(gè)m值mm1m0，使k1，而1kk0，此時(shí)kk0即此時(shí)不存在這樣的直線族(2)當(dāng)k11時(shí)，同樣有10，得k1k2k10若k21，又有k1k2k30，依此類推，知當(dāng)km1時(shí)，有k1k2k3kmkm+10，且01，km+1kmkmkm1km1k1由于k1隨m的增大而線性增大，故必存在一個(gè)m值，m=m0，使k11，從而必存在一個(gè)m值，m=m1(m1m0)，使k1，而1kk0，此時(shí)kk0即此時(shí)不存在這樣的直線族綜上可知這樣的直線族不存在說明 本題也可以這樣解：由knkn10知，kn的符號(hào)相同，當(dāng)kn0時(shí)，數(shù)列kn單調(diào)遞減而有下界0，當(dāng)kn0時(shí)，數(shù)列kn單調(diào)遞增而有上界0，所以

15、當(dāng)n時(shí)，kn有極限，不妨設(shè)為k，于是kn1(kn)，即kk，則0，不可能故滿足條件的直線族不存在情景再現(xiàn)7對(duì)任意正整數(shù)n，連結(jié)原點(diǎn)O與點(diǎn)An(n，n3)，用f(n)表示線段OAn上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)(不計(jì)端點(diǎn))，試求f(1)f(2)f(1990)(1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)8已知ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，O為其中心試問：過O點(diǎn)且兩端落在ABC邊上的線段中，哪幾條最長(zhǎng)？哪幾條最短？它們各有多長(zhǎng)？證明你的結(jié)論(1979年天津市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)習(xí)題501直線axbyc0(a，b，c0)與直線pxqym0(p，q，m0)關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是( )A B C D(湖南省2001年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)2已知直線a

16、xbyc0中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么這樣的直線的條數(shù)是 (1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián))3在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，我們用I表示所有直線的集合，M表示恰好通過1個(gè)整點(diǎn)的集合，N表示不通過任何整點(diǎn)的直線的集合，P表示通過無窮多個(gè)整點(diǎn)的直線的集合那么表達(dá)式(1)MNPI；(2)N(3)M(4)P中，正確的表達(dá)式的個(gè)數(shù)是( )A1 B2 C3 D4(1988年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián))4對(duì)平面區(qū)域D，用N(D)表示屬于D的所有整點(diǎn)(即xOy平面上坐標(biāo)x，y都是整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)，若A表示由曲線yx2(x0)和兩直線x10，y

17、1所圍成的區(qū)域(包括邊界)則N(AB)N(AB) ；(上海市1992年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)5設(shè)全集I(x，y)|x，yR，集合A(x，y)|xcosysin20，x，y，R則在XOY平面上集合的元素的對(duì)應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為 ；(上海市1992年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)M(1，2)和N(1，4)，點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 ；(2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)7直角坐標(biāo)平面上，滿足不等式組的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是 (1995年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)8設(shè)有直線l及l(fā)同旁的兩點(diǎn)P、Q，求平面上一點(diǎn)R，使RSl于點(diǎn)S，且|RP|+|RQ|+|RS|取最小值本節(jié)“情景再現(xiàn)”解

18、答：1(1)因?yàn)閘2的斜率為k21，l1與l2平行，則k11，且l1與l2不重合，即y軸上的截距不相等由1且m2m0，解得m1，但m1時(shí)，l1與l2重合，故舍去，所以m無解(2)由于l1與l2垂直，則a(a1)(1a)(2a3)0，解得a1或a32設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0)，可解得x03，y03則射線AC的方程為2xy90(x4)又直線l的方程為3xy10，從而解方程組可得M的坐標(biāo)為(2，5)324 43m5如圖所示，y|xa|，yxa(a0)所圍成的部分為RtABC的內(nèi)部及邊界，其中BAC90，各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(a，0)，B(0，a)，C(3a，2a)，所以SABC|AB|AC|2a2即所

19、求圖形的面積為2a26令4x3yt，則此直線在x軸上的截距即為t分別以A、B、C的值代入，得相應(yīng)的t=13，14，18即4x3y的極大值為14，極小值為187線段OAn的方程為yx(0xn)，故f(n)等于該線段內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)若n3k(kN+)，則得yx(0xn)(kN*)，其內(nèi)有兩個(gè)整點(diǎn)(k，k1)，(2k，2k2)，此時(shí)f(n)2；若n3k1(kN+)時(shí)，則由于n與n3互質(zhì)，故OAn內(nèi)沒有格點(diǎn)，此時(shí)f(n)0從而f(1)f(2)f(1990)213268如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xAy，則直線AB的方程為yx，直線AC的方程為yx，過O點(diǎn)的直線方程為ykx不失一般性，我們可以考慮0kk0，其中k0表示OB的斜率，于是得D、E的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則|DE|2()2()2，可見當(dāng)k最小即k0時(shí)，DE最短，此時(shí)DEBC，且DE；當(dāng)k最大即kk0時(shí)，DE最長(zhǎng)，此時(shí)DE過頂點(diǎn)B，且DE由圖形的對(duì)稱性，最長(zhǎng)與最短的線段都各有三條“習(xí)題50”解答：1D 243條 3D 410105xcosysin20表示與原點(diǎn)距離2的直線當(dāng)變