求導(dǎo)公式大全86093

1、2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則1幾個初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾個初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.常數(shù)的導(dǎo)數(shù)：常數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2.冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 特殊：特殊：0 c21 ,()2xxx2111(), ()2xxxx 0000( )()()lim.xxf xf xfxxx 000()()limxf xxf xx 復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)概念復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)概念1()xx 2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則23.對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1(log)ln1(ln)axxaxx 4.正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(sin)cos(cos)sinxxxx 2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則3一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則一、和

2、、差、積、商的求導(dǎo)法則定理定理( ),( ),(),u xv xxx如果函數(shù)在點處可導(dǎo) 則它如果函數(shù)在點處可導(dǎo) 則它們的和、差、積、商分母不為零 在點處也們的和、差、積、商分母不為零 在點處也可導(dǎo) 并且可導(dǎo) 并且).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu3.2 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則4證證：0()()limxuu vvuvuvx （）（）(2) ( )( )( ) ( )( ) ( );u xv xu x v xu x v

3、x0limxv uu vu vx 000limlimlimxxxuvuvuvxxx u vuv=5證證0( )( )lim( ( ) ( )xuv xu xvv xv v xx 0( )( )( )( )( )lim( )xu xuu xu xv xvv xv xx 2( )( ) ( )( ) ( )(3) ( ( )0).( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx 0( )( )lim() ( )xuvv xu xxxv xx v x 2)()()()()(xvxvxuxvxu 2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則6推論推論(2) ( )( );cf xcfx 1(3)

4、()niifx 11(1)( )( );nniiiif xf x 12()()()nfx fxfx 11()();nnikikkifxfx 12()()()nfx fxfx 12()()()nfx fxfx 2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則7例例1 1223lncos.yxxx 求si n的導(dǎo)數(shù)求si n的導(dǎo)數(shù)2 2解解4yx 3x 例例2 2.ln2sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 sin x .2sin1ln2cos2xxxx 2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則841sincos

5、 ,2dd 求求11sincossinsincos22dd 42248dd 332cos4logsin7yxxxx 223143sin3ln2yxxxx 3lncosyxxx 2233lncoscoslnsinyxxxxxxxx 2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則9例例3 3.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則10例例4 4.sec的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求x

6、y 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則11三角函數(shù)求導(dǎo)公式三角函數(shù)求導(dǎo)公式 sincosxx cossinxx 2tansecxx 2cotcscxx secsectanxxx csccsccotxxx (1)f 不存在不存在2(1),1( )ln ,1xxf xxx 設(shè)設(shè)( )( 1),(2)fxff 求及求及例例5 51( )2 ,xfx 時，時，11( )xfxx 時，時，解解11( )(1)2(1)ln1(1)limlim211xxf xfx

7、fxx ( 1)21(2)2ff 11( )(1)lnln1(1)limlim11xxf xfxfxx 11ln1(1)1limlim111xxxxxx即即f (x)在在x=1不可導(dǎo)不可導(dǎo)2,1( )1,1xfxxx x=1時時:2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則13定理定理( )( )0 ,( ),yxxyiyyf xi 如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且那末它的反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間且那末它的反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)且有內(nèi)也可導(dǎo)且有即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則1( )( )fxy 20

8、22-1-14微積分-求導(dǎo)法則14證證,xix 任取任取xx 以以增增量量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y,)(連續(xù)連續(xù)xf00 xy 時時0)( y 又知又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xixxx 2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則15()xxee (0,1)xyaaay ，求，求例例7 7解解logaxy 在在(0,+)內(nèi)單調(diào)連續(xù)內(nèi)單調(diào)連續(xù), 值域值域(-,+)1(log)0(0,)lnayyya 且，且，1()(log)xayay lnyalnxaa()ln(0,1)xxaaaaa 即：即：特別地，特別地，2

9、022-1-14微積分-求導(dǎo)法則16證證：(arcsin )x 2211(arcsin ),(arccos )11xxxx cos0y1(sin )y 1cos y arcsinyx sinxy 22y222cos1sin1yyx211x 2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則17證證：211x 2211(arctan ),(arccot)11xxxx (arctan )x 1(tan )y 21sec y arctanyx tanxy 22y222sec1tan1yyx0 (sincos )xyexx() (sincos )()(sincos )xxyexxexx(sincos )(cossin

10、 )2cosxxxexxexxex2(3)(sin1)xyxax22(3) (sin1)(3)(sin1)xxyxaxxax2(23ln )(sin1)(3)cosxxxaaxxaxsin( )1cosxxf xx 2( sin ) (1cos )sin (1cos )( )(1cos )xxxxxxfxx 222(sincos )(1cos )sinsin(1cos )1cosxxxxxxxxxx2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則191(1)( )0( )( )yf xf xf x ，且且可可導(dǎo)導(dǎo)(2)lnln2xyxxxe (3)(sin2cos)xyexx 3tan(4)3arctans

11、inxyxxxx 練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則20小結(jié)小結(jié) (1) (uv)=uv； (2) (uv)=uv+uv； (3) (cu)=cu； (4) (u/v)= (v0)；注意注意: ( )( )( )( );u xv xu xv x.)()()()(xvxuxvxu 分段函數(shù)分段函數(shù)求導(dǎo)時求導(dǎo)時, 不同表達(dá)式的分界不同表達(dá)式的分界點處用左右導(dǎo)數(shù)定義式求導(dǎo)點處用左右導(dǎo)數(shù)定義式求導(dǎo).2u vuvv (5) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)數(shù)1( ).( )fxy 2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則21解答解答

12、232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切點為切點為 964,32 964,32所求切線方程為所求切線方程為964 y964 y和和思考題思考題 求曲線求曲線 上與上與 軸平行軸平行的切線方程的切線方程.32xxy x2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則22作業(yè)：p107 9、15、16(可不空行可不空行、正、反面做正、反面做；自己對書后答案自己對書后答案；有問題彩筆做記號有問題彩筆做記號)2022-1-14微積分-求導(dǎo)法則23 練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；）（9sincos410)(1452xxxxf；）（0)(201121aaxaxaxaxgnnnn。)2()3(2xxy；）（xxxfcos7)(452022-1-1424例例6 6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求設(shè)設(shè)解解, 1)( xf,0時時當(dāng)當(dāng) x,0時時當(dāng)當(dāng) x0ln(1)