高中數(shù)學(xué)奧賽教程集-賦值法在函數(shù)方程中的應(yīng)用

1、學(xué)科：奧數(shù)教學(xué)內(nèi)容：賦值法在函數(shù)方程中的應(yīng)用賦值法是指給定的關(guān)于某些變量的一般關(guān)系式，賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式后，通過運(yùn)算推理，最后得出結(jié)論的一種解題方法。下面介紹它在函數(shù)方程中的應(yīng)用。一、判斷函數(shù)的奇偶性例1 若（xy）（x）（y）中令xy0，得（0）0。又在（xy）（x）（y）令yx，（xx）（x）（x），即（0）（x）（x），又（0）0.所以（x）（x）。由于（x）不恒為零，所以（x）是奇函數(shù)。例2 已知函數(shù)y（x）（xR，x0），對任意非零實(shí)數(shù)x1x2都有（x1x2）（x1）（x2），試判斷（x）的奇偶性。解：取x11，x21得（1）= （1）（1），所以（1）=0又取x1=x2=1，得

2、（1）=（1）（1），所以（1）=0再取x1=x，x2=1，則有（x）= （x），即（x）=（x）因?yàn)椋▁）為非零函數(shù)，所以（x）為偶函數(shù)。例3對任意x、yR，有（xy）（xy）=2（x）（y），且（0）0，判斷（x）的奇偶性。解：令x=y=0得（0）（0）=22（0），因?yàn)椋?）0，所以（0）=1，又令x=0得（y）（y）=2（y），即（y）=（y）。取x=y，得（x）=（y）.所以函數(shù)y=（x）。二、討論函數(shù)的單調(diào)性例4 設(shè)（x）定義于實(shí)數(shù)集R上，當(dāng)x0時(shí)，（x）1，且對任意x，yR，有（xy）= （x）（y），求證（x）在R上為增函數(shù)。證明：由（xy）=（x）（y）中取x=y=0得（0）

3、=2（0）。若（0）=0，令x0，y=0，則（x）=0，與（x）1矛盾。所以（0）0，即有（0）=1。當(dāng)x0時(shí)，（x）10，當(dāng)x10，而，又x=0時(shí)，（0）=0，所以（x）R，（x）0。設(shè)x1x2，則x10，（x2x1）1，所以（x2）= x1（x2x1）=（x1）（x2x1）（x1），所以y=（x）在R上為增函數(shù)。三、求函數(shù)的值域例5 已知函數(shù)（x）在定義域xR上是增函數(shù)，且滿足（xy）=（x）（y）（x、yR），求（x）的值域。解：因?yàn)閤=y=1時(shí)，（1）=2（1），所以（1）=0又因?yàn)椋▁）在定義域R上是增函數(shù)，所以x1x20時(shí)，令x1=mx2（m1），則（x1）0。得以對于x1有（x）

4、0。又設(shè)x1=mx20（0m1），則0x1x2。所以由函數(shù)在R上遞增可得（x1）（x2）0,即（mx2）（x2）=（m）（x2）（x2）=（m）0。所以對于0x1有（x）0，使，求證（x）是周期函數(shù)。證明：令，代入（ab） （ab）=2（a）（b）可得：（xc）=（x）。所以（x2c）= （xc）c= （xc）= （x），即（x2c）= （x）。則（x）是以2c為周期的函數(shù)。例7 若對常數(shù)m和任意x，等式成立，求證（x）是周期函數(shù)。證明：將已知式中的x換成xm得（x2m）=（xm）m又將上式中x2m換成x4m可得故（x）是以4m為周期的函數(shù)五、求函數(shù)的解析式例8 設(shè)對滿足| x |1的所有實(shí)數(shù)

5、x，函數(shù)（x）滿足，求（x）的解析式。解：將x取為代入原等式，有， （1）將x取為代入原等式，有。 （2）（1）（2），且將原等式代入即得例9 求函數(shù)F（x），當(dāng)x0，x1時(shí)有定義且滿足.解：，（1）中以代換x得 （2）再在（1）中以代換x得， （3）（1）（2）（3）化簡得.例10 （x）的定義域在非負(fù)實(shí)數(shù)集合上并取非負(fù)數(shù)值的函數(shù)，求滿足下列所有條件的（x）：（1）x（y）（x）= （xy）；（2）（2）=0；（3）當(dāng)0x2時(shí)，（x）0.解：（）令x=2，t=2y，由于y0，故t2。2（t2）（2）=（t）.由（2）得（2）=0，所以（t）=0.所以當(dāng)t2時(shí)，（x）=0. 由（3）的逆命題知

6、：當(dāng)（x）=0時(shí)，x2， 綜合、得，（x）=0x2.（）考慮0x2，0y2，（即（x）（y）0）時(shí)，（1）兩邊等于零的特殊情況。設(shè)x（y） （x）=0.因?yàn)閤（y）（x）=0.由（）得：x（y）2，即。設(shè)（xy）=0，由（）得；xy2，即x2y，因?yàn)椋襵2y，所以，解得.所以當(dāng)0x2時(shí)，（x）=.所以例11 設(shè)S表示所有大于1的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，確定所有的函數(shù)：SS，滿足以下兩個(gè)條件：（i）對于S內(nèi)的所有x和y，有x（y）x（y）=y（x）；（ii）在區(qū)間1x0的每一個(gè)內(nèi)，是單調(diào)遞增的。解：令x=y 得：（x（x）x（x）=x（x）x（x），又令x（x）x（x）=t，則（t）=t，在（1）中令x=t得（t22t）=t（t）t（t）=t（