常用邏輯用語典型例題

1、常用邏輯用語1 命題及其真假判斷可以判斷真假的陳述句為命題、反問句也是命題，但疑問句、祈使句、感嘆句都不 是命題.例1下列語句哪些是命題，是命題的判斷其真假. 方程x2- 2x= 0的根是自然數(shù)； sin(a + 3 )= sin a + sin B (a , 3 是任意角); 垂直于同一個平面的兩個平面平行； 函數(shù)y= 12x+ 1是單調(diào)增函數(shù)； 非典型肺炎是怎樣傳染的？ 奇數(shù)的平方仍是奇數(shù)； 好人一生平安！ 解方程3x+ 1 = 0 ； 方程3x+ 1 = 0只有一個解； 3x+ 1 = 0.解析都是命題，其中為真命題.點(diǎn)評是疑問句，是感嘆句，是祈使句都不是命題，中由于x的值未給，故無法判

2、斷此句的真假，因而不是命題.誤區(qū)警示含有未知數(shù)的等式、不等式，當(dāng)式子成立與否與未知數(shù)的值有關(guān)時，它不 是命題.(2) 復(fù)合命題的真假判斷是個難點(diǎn)，當(dāng)直接判斷不易著手時，可轉(zhuǎn)為判斷它的等價(jià)命題 逆否命題，這是一種重要的處理技巧.例2判斷命題：“若a + b豐7,則3,且4”的真假.解析其逆否命題為：“若a= 3或a= 4,則a+ b= 7”.顯然這是一個假命題， 原命題為假.2. 四種命題的關(guān)系(1) 注意：若p,則q，不能寫作“ p? q”，因?yàn)榍罢哒婕傥粗?，而“p? q”是說“若p,則q”是一個真命題.(2) 原命題與其逆否命題等價(jià)，原命題的逆命題與原命題的否命題也等價(jià).從而四種命 題中有兩

3、對同真同假.(3) 互逆或互否的兩個命題不等價(jià)，其真假沒有聯(lián)系.例3寫出下列各命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判定其真假：？ nN，若n是完全平方數(shù)，則 N ；(2) ? a, b R，如果 a = b,則 a2= ab；(3) 如果 x= 3 或 x= 7,則(x- 3)(x-7) = 0；如果a, b都是奇數(shù)，則ab必是奇數(shù).(5)對于平面向量 a, b, c,若a b= a c,貝U b= c.解析(1)逆命題：？ n N,若n N，則n是完全平方數(shù).(真) 否命題：？ n N，若n不是完全平方數(shù)，則.n?N.(真) 逆否命題：？ n N，若，n?N,則n不是完全平方數(shù).(真)逆命題：

4、？ a, b R，若 a2 = ab,則 a= b.(假) 否命題：？ a, b R，若a豐b,則a ab.(假) 逆否命題：？ a, b R，若a2 ab,貝U a豐b.(真)(3) 逆命題：若(x 3)(x 7) = 0,貝U x= 3 或 7.(真)否命題：若 xm 3且xm 7,則(x 3)(x 7)豐0.(真) 逆否命題：若(x 3)(x 7)m 0,貝U xm 3且xm 7.(真)逆命題：若ab是奇數(shù)，則a、b都是奇數(shù).(假)否命題：若ab不全是奇數(shù)，則 ab不是奇數(shù).(假)逆否命題：若ab不是奇數(shù)，則a、b不全是奇數(shù).(真)(5)逆命題：對于平面向量 a、b、c,若b= c,貝U

5、 a b= a .(真)否命題：對于平面向量a、b、c,若a bM a c,貝U bM c.(真)誤區(qū)警示“ p或q”的否定為“綈 p且綈q”； “ p且q”的否定為“綈p或綈q” .實(shí)數(shù)xy= 0，則有x= 0或y= 0，向量a、b滿足a b= a c不能得出b= c.3. 量詞與復(fù)合命題(1) 邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”、“非”與集合的“交”、“并”、“補(bǔ)”有著密切的聯(lián)系，借 助集合的運(yùn)算可以幫助對邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解.邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”還可借助電路的“串聯(lián)”、“并聯(lián)”來類比理解，如圖.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題真假判斷，要以真值表為標(biāo)準(zhǔn).例4分析下列命題的構(gòu)成，并用“人”、“V”或“綈”表

6、示出來：(1) x+ 1 是 x3 + x2 x 1 與 x3+ 1 的公因式；(2) 方程x2 = 1的解是x= 1;(3) 點(diǎn)(3,4)不在圓 x2+ y2 2x+ 4y+ 3= 0 上;(4) 3 3.例4分析下列命題的構(gòu)成，并用“人”、“V”或“綈”表示出來：(1) x+ 1 是 x3 + x2 x 1 與 x3+ 1 的公因式；(2) 方程x2 = 1的解是x= 1;(3) 點(diǎn)(3,4)不在圓 x2+ y2 2x+ 4y+ 3= 0 上;(4) 3 3.解析(1)p A q形式，其中p: x+ 1是x3 + x2 x 1的因式，q: x+ 1是x3 + 1的因式.(2) pV q形式

7、，其中p：方程x2= 1的一個解是x= 1, q :方程x2 = 1的一個解是x = 1.(3) 綈 p 形式，其中 p :點(diǎn)(3,4)在圓 x2 + y2 2x+ 4y+ 3= 0 上.(4) pV q 形式，其中 p： 33 , q : 3= 3.誤區(qū)警示若把方程x2 = 1的解是x= 1,寫成簡單命題 p： x2= 1的解是x= 1, q : x2= 1的解是x= 1, pV q形式，就錯了，從真值表判斷，p, q都是假命題，但原命題為真命題.例5寫出下列命題的否定，并判斷真假.(1) p：有些三角形是直角三角形.(2) p：方程2x+ 1 = 0有一負(fù)實(shí)根.(3) p：三角形的兩邊之和

8、大于第三邊.(4) p:存在實(shí)數(shù) q0，使方程x2+ 2x+ q= 0無實(shí)根.解析(1)綈p： “沒有一個三角形是直角三角形”.(假)綈p: “方程2x+ 1= 0無負(fù)實(shí)根”.(假)(3)綈p :“存在某個三角形，兩邊之和小于或等于第三邊”.(假)綈p: “對任意實(shí)數(shù)qd,則“ ab”是“ a cb d”的 ( )A .充分而不必要條件B 必要而不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件.答案B解析由a cb d變形為a bc d,因?yàn)閏d,所以c d0,所以a b0,即ab, a cb d? ab.而ab并不能推出 a cb d.所以ab是a cb d的必要而不充分條件.故選B.例7 已知p: x2 8x 200 , q： x2 2x+ 1 a20.若p是q的充分不必要條件，求 正實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析解不等式x2 8x 200得p： A= x|x10,或 x0得q： B= x|x1 + a，或 x0.依題意，p? q但q? / p,說明A遶B.3o于是，有1+ a 10，且等號不同時取得，解得0 2正實(shí)數(shù)a的取值范圍是0aw 3.5. 反證法如果遇到正面證明一個問題比較困難時，可通過假設(shè)結(jié)論的反面成立，從假設(shè)出發(fā)，推證出明顯的矛盾，從而肯定假設(shè)不正確，原結(jié)論正確.這種方法適合于結(jié)