(完整版)必修四2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示(教案)

1、人教版新課標(biāo)普通高中數(shù)學(xué)必修2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教案A第1課時教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1 .通過探究活動，理解平面向量基本定理.2 .掌握平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，理解這是應(yīng)用 向量解決實(shí)際問題的重要思想方法.能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都 能夠用基底來表達(dá).3 . 了解向量的夾角與垂直的概念，并能應(yīng)用于平面向量的正交分解中，會把向量 的正交分解用于坐標(biāo)表示，會用坐標(biāo)表示向量.二、過程與方法1 .首先通過“思考”，讓學(xué)生思考對于平面內(nèi)給定的任意兩個向量進(jìn)行加減的線 性運(yùn)算時所表示的新向量有什么特點(diǎn)，反過來，對平面內(nèi)的任意向量是否都可以用形如

2、Xiei+ he的向量表示.2 .通過教師提出問題，多讓學(xué)生自己動手作圖來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過解題來總結(jié)方法,引導(dǎo)學(xué)生理解“化歸”思想對解題的幫助，也要讓學(xué)生善于用“數(shù)形結(jié)合”的思想來解決這部分的題.3 .如果條件允許，借助多媒體進(jìn)行教學(xué)會有意想不到的效果.整節(jié)課的教學(xué)主線 應(yīng)以學(xué)生練習(xí)為主，教師給予引導(dǎo)和提示.充分讓學(xué)生經(jīng)歷分析、探究并解決實(shí)際問題 的過程，這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟思想方法的最好載體.學(xué)生經(jīng)歷的這種實(shí)踐活動越多， 解決實(shí)際問題的方法就越恰當(dāng)而簡捷.三、情感、態(tài)度與價值觀1 .在探究過程中，讓學(xué)生自己動手作圖來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過解題來總結(jié)方法，培養(yǎng) 學(xué)生對 “化歸”、“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想的

3、應(yīng)用.2 .在讓學(xué)生經(jīng)歷分析、 探究并解決實(shí)際問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生堅忍不拔的意志，實(shí)事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、平面向量的正交分解、 平面向量的坐標(biāo)表示.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.教學(xué)關(guān)鍵：平面向量基本定理的理解.教學(xué)突破方法：通過問題設(shè)置，讓學(xué)生充分練習(xí)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律方法，體現(xiàn)學(xué)生的主體 地位.教法與學(xué)法導(dǎo)航教學(xué)方法：啟發(fā)誘導(dǎo).學(xué)習(xí)方法：在老師問題的引導(dǎo)下，學(xué)生要充分作圖，與小組成員合作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī) 律.教學(xué)準(zhǔn)備.教師準(zhǔn)備：多媒體、尺規(guī).學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本、尺規(guī).教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課在物理學(xué)中我們

4、知道，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運(yùn)算.而且力是可 以分解的，任何一個大小不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種 力的分解拓展到向量中來，會產(chǎn)生什么樣的結(jié)論呢？二、主題探究，合作交流提出問題給定平面內(nèi)任意兩個不共線的非零向量ei、e2,請你作出向量3ei+2e2、ei-2e2,平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如ei+?2e2的向量表示呢？如上左圖，設(shè) ei、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任一向量，我們通過作圖研究 a與ei、e2之間的關(guān)系.師生互動：如上右圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作oA=ei, OB =e2, OC =a.過點(diǎn)C作平行于直線 OB的直線

5、，與直線 OA交于點(diǎn)M;過點(diǎn)C作平行于直線 OA的直線，與 直線OB交于點(diǎn)N.由向量的線性運(yùn)算性質(zhì)可知，存在實(shí)數(shù)床心使得OM =為日，ON =加2.由于OC OM ON ,所以a=?iei+2.也就是說，任一向量 a都可以表 示成為ei+?2e2的形式.由上述過程可以發(fā)現(xiàn)，平面內(nèi)任一向量都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的向量ei、e2表示出來.當(dāng)ei、e2確定后，任意一個向量都可以由這兩個向量量化，這為我們研究 問題帶來極大的方便.由此可得：平面向量基本定理：如果ei、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實(shí)數(shù) 晨 次，使a= ；iei+ ；2e2.定理說明

6、：(i)我們把不共線的向量 ei、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線 ；(3)由定理可將任一向量 a在給出基底e1、e2的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時，分解形式唯一.提出問題：平面內(nèi)的任意兩個向量之間存在夾角嗎？若存在，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？對平面內(nèi)的任意一個向量能否用兩個互相垂直的向量來表示？師生互動：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合向量的定義和性質(zhì)，思考平面內(nèi)的任意兩個向量之間的關(guān) 系是什么樣的，結(jié)合圖形來總結(jié)規(guī)律.教師通過提問來了解學(xué)生總結(jié)的情況，對回答正 確的學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng)，對回答不全面的學(xué)生給予提示和鼓勵.然后教師給出總結(jié)性的結(jié)論:不共線向量存在夾角，關(guān)于

7、向量的夾角，我們規(guī)定：已知兩個非零向量a 和 b （如圖），作 OA=a, OB =b,則/ AOB=0 （0° < 0 < 180°11叫做向量a與b的夾角.顯然，當(dāng)。=0時，a與b同向；當(dāng)。二180時，a與b反向.因此,兩非零向量的夾角在區(qū)間0°, 180°內(nèi).如果a與b的夾角是90°,我們說a與b垂直，記作a± b.由平面向量的基本定理，對平面上的任意向量a,均可以分解為不共線的兩個向量為ai 和 22a2, 使 a=？iai+；2a2.在不共線的兩個向量中，垂直是一種重要的情形.把一個向量分解為兩個互相垂直 的向量

8、，叫做把向量正交分解. 如上，重力G沿互相垂直的兩個方向分解就是正交分解， 正交分解是向量分解中常見的一種情形.在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時，會為我們研究問題帶來方便.提出問題我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個點(diǎn)都可用一對有序?qū)崝?shù)(即它的坐標(biāo)) 表小.對直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個向量，如何表布呢？在平面直角坐標(biāo)系中，一個向量和坐標(biāo)是否是對應(yīng)的？師生互動：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個單位 向量i、j作為基底.對于平面內(nèi)的一個向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)X、V,使得a=xi+yj這樣，平面內(nèi)的任一向量 a都可由x、y唯一確定，我們把有

9、序數(shù)對(x, y)叫做向量a 的坐標(biāo)，記作a= (x, v)其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示.顯然，i= (1, 0), j= (0, 1), 0= (0, 0).教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生特別注意以下幾點(diǎn)：(1)向量a與有序?qū)崝?shù)對(x, y) 對應(yīng).(2)向量a的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置沒有關(guān)系，只與其相對位置有關(guān)系.如圖所示，A1B1是表示a的有向線段，Ai、Bi的坐標(biāo)分別為(xi, yi)、(x2, y2),則向量 a 的坐標(biāo)為 x=x2- xi, y=y2-yi,即 a 的坐標(biāo)為 (x2-xi, y2-yi).(3)為簡化處理問題的過

10、程，把坐標(biāo)原點(diǎn)作為表示向量a的有向線段的起點(diǎn)，這時向量a的坐標(biāo)就由表示向量 a的有向線段的終點(diǎn)唯一確定了，即點(diǎn)A的坐標(biāo)就是向量 a的坐標(biāo)，流程表示如下：a= n yj -一的任標(biāo)為(八" 1 一(三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高例i 已知向量ei、e2 (如右圖)，求作向量e 八-2. 5e1+3e2.作法：(1)如圖，任取一點(diǎn)。，作OA=-2.5ei, OB =3改作，=OACB.故OC就是求作的向量.例2如下圖，分別用基底 i、j表示向量a、b、c、d,并求出它們的坐標(biāo).活動：本例要求用基底 i、j表示a、b、c、d,其關(guān) 鍵是把a(bǔ)、b、c、d表示為基底i、j的線性組合.一種方 法是把a(bǔ)正

11、交分解，看a在x軸、y軸上的分向量的大小.把 向量a用i、j表示出來，進(jìn)而得到向量 a的坐標(biāo).另一 種方法是把向量 a移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量 a終點(diǎn)的坐標(biāo) 就是向量a的坐標(biāo).同樣的方法，可以得到向量b、c、d的坐標(biāo).另外，本例還可以通過四個向量之間位置的幾 何關(guān)系：a與b關(guān)于y軸對稱，a與c關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心 對稱，a與d關(guān)于x軸對稱等.由一個向量的坐標(biāo)推導(dǎo)出 其他三個向量的坐標(biāo).解：由圖可知，a= AA1 + AA2 =2i+3j,.a= (2, 3).同理，b=-2i+3j= (-2, 3);c= - 2i - 3j = (- 2, - 3);d=2i-3j= (2, -3).點(diǎn)評：本例還可以

12、得到啟示，要充分運(yùn)用圖形之間的幾何關(guān)系，求向量的坐標(biāo).四、小結(jié)1 .先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：平面向量的基本定理，向量的夾角與垂直 的定義，平面向量的正交分解，平面向量的坐標(biāo)表示.2 .教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法，如待定系數(shù)法、定義法、歸納與類 比、數(shù)形結(jié)合.五、課堂作業(yè))1 OA+ 4 OB33-OA- 4 OB33已知ei, e2是兩非零向量，且1 .如圖所示，已知 AP = 4 AB , AQ = - AB ,用OA、OB表示 OP ,則OP 33B.- OA + 4 OB33D. - OA- Ob33|ei|=m, |e2|=n,若 c=拈+狀2 (為,2eCR),貝l

13、|c|的最大值為()A. ?im+ 22nB. Hn+ 22 mC. |X|m+|?2|nD. |Xi|n+122mUUUUU UUUUULULUUT3.已知 Gi、G2 分別為 那iBiCi 與 AA2B2c2 的重心，且 AA2=ei, B- B2 =e2, 0-02 =e3,uuuuir則Gi G2等于()A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足A. (ei+e2+e3)2- 2、0. (ei + e2+e3)34. O是平面上一定點(diǎn),i八、B. (ei+e2+e3)3ri ，、D. (ei+e2+e3)3?！边礎(chǔ).外心B.內(nèi)心0, +8),則P的軌跡一定通過 那BC的(0.重心D

14、.垂心5 .已知向量a、b且AB=a+2b, BC=-5a+6b, CD =7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是)A. A、B、D B. A、B、C C. C、B、D D. A、C、D6 .如右圖，平面內(nèi)有三個向量 OA、OB、OC ,其中與OA與OB的夾角為i20。,OA與 OC 的夾角為 30。，且|OA|=|OB |=1, |OC |二2看oC = qA + qB八 慶R),則的值為參考答案：1. B 2, C 3. B 4. B 5. A 6. 6第2課時教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1 .理解平面向量的坐標(biāo)的概念；2 .掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；3 .會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.二、過程與方

15、法教師在引導(dǎo)學(xué)生探究時，始終抓住向量具有幾何與代數(shù)的雙重屬性這一特征和向量 具有數(shù)與形緊密結(jié)合的特點(diǎn).讓學(xué)生在了解向量知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步熟悉向量 的坐標(biāo)表示以及運(yùn)算法則、 運(yùn)算律，能熟練向量代數(shù)化的重要作用和實(shí)際生活中的應(yīng)用, 并加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高分析問題、解決問題的能力.三、情感、態(tài)度與價值觀在解決問題過程中使學(xué)生形成見數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣，以加深理解知識要 點(diǎn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn)：對平面向量共線的坐標(biāo)表示的理解.教學(xué)關(guān)鍵：平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的探究.教學(xué)突破方法：結(jié)合向量坐標(biāo)表示的定義及運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)，最終得到 結(jié)論.

16、教法與學(xué)法導(dǎo)航教學(xué)方法：問題式教學(xué)，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)習(xí)方法：在熟悉向量的坐標(biāo)表示以及運(yùn)算法則、運(yùn)算律的基礎(chǔ)上，在老師的引導(dǎo) 下，通過與同學(xué)合作探究，得到結(jié)論.教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：多媒體、尺規(guī).學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本、尺規(guī).教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課前一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)表示，引入向量的坐標(biāo)表示后，可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后，向量的線性運(yùn)算可以通過坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)，那么向量的平行、垂直，是否也能通過坐標(biāo)來研究呢？二、主題探究，合作交流提出問題：我們研究了平面向量的坐標(biāo)表示，現(xiàn)在已知a= (xi, yi), b

17、= (x2, y2),你能得出a+b, a- b,后的坐標(biāo)表示嗎？如圖，已知 A (xi, yi), b (x2, y2),怎樣表示 AB的坐標(biāo)？你能在圖中標(biāo)出坐 標(biāo)為(x2-xi, y2-yi)的P點(diǎn)嗎？標(biāo)出點(diǎn) P后，你能總結(jié)出什么結(jié)論？師生互動：教師讓學(xué)生通過向量的坐標(biāo)表示來進(jìn)行兩個向量的加、減運(yùn)算，教師可以讓學(xué)生到黑板去板書步驟.可得：a+b= (xii+yij) + (xzi+yj = (xi+x2)i+ (yi+y2)j, 即a+b= (xi+x2, yi+y2).同理a- b= (xi-x2, yi-y2).又后=入(xii + yij)=入行+入司.右=(入 i,入 i) .教師

18、和學(xué)生一起總結(jié)，把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龇謩e為：兩個向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差)；實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).教師再引導(dǎo)學(xué)生找出點(diǎn)與向量的關(guān) 系：將向量AB平移，使得點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，則平移后的B點(diǎn)位置就是P點(diǎn).向量AB的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)， 點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量坐標(biāo)是相同的，這樣就建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系.學(xué)生通過平移也可以發(fā)現(xiàn)：向量aB的模與向量OP的模是相等的.由此，我們可以得出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：|AB |=|OP |= VCxi x2 )2 (yi y2)2 .教師對總結(jié)完全的同學(xué)進(jìn)行表揚(yáng)，并鼓勵學(xué)生，只要善于開動腦筋

19、，勇于創(chuàng)新，展 開思維的翅膀，就一定能獲得意想不到的收獲.討論結(jié)果：能. AB = OB - OA =x2, y2)(xi, yi) = (x2-xi, y2-yi).結(jié)論：一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo). 提出問題如何用坐標(biāo)表示兩個共線向量？若a= (xi, yi), b= (x2, y2),那么 且 恐是向量a、b共線的什么條件？x1x2師生互動：教師引導(dǎo)學(xué)生類比直線平行的特點(diǎn)來推導(dǎo)向量共線時的關(guān)系.此處教師要對探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥：設(shè)a= (xi, yi), b= (x2, y2),其中bwo.我們知道，a、b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)N使a=；b.

20、如果用坐標(biāo)表示，可寫為(xi, yi)=入(X2, y2),即 i 2，消去入后得xiy2- x2yi=0.yiy2.這就是說，當(dāng)且僅當(dāng) xy2-x2yi=0時向量a、b (bwQ共線.我們知道xiy2-x2yi=0與xiy2=x2yi是等價的，但這與 " y2是不等價的.因?yàn)楫?dāng)xix2xi=x2=0 時，xiy2-x2yi=0成立，但 近丫2均無意義.因此 近"是向量 a、b 共線xix2xix2的充分不必要條件.由此也看出向量的應(yīng)用更具一般性，更簡捷、實(shí)用，讓學(xué)生仔細(xì)體會這點(diǎn).討論結(jié)果：xiy2-x2yi=0 時，向量 a、b (b%)共線.充分不必要條件.提出問題：a

21、與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù) 入使得a=；b, 那么這個充要條件如何用坐標(biāo)來表示呢？師生互動：教師引導(dǎo)推證：設(shè) a= (xi, yi), b= (x2, y2),其中bexix2，、由 a=2, (xi, yi) = X (x2, y2)洎去 4導(dǎo) xiy2-x2yi=0.yiy2.討論結(jié)果：a / b (b卻)的充要條件是xiy2-x2yi=0.教師應(yīng)向?qū)W生特別提醒感悟：1 .消去入時不能兩式相除，丁 yi、y2有可能為0,而b為，x2、y2中至少有一個 不為0.Viy2, 一，2 .充要條件不能與成 (xi、X2有可能為0).a?bXi V2 X2Vl.x1x23 .

22、從而向量共線的充要條件有兩種形式：all b (bwo三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高例 1 已知 a= (2, 1), b= - - 3, 4),求 a+b, a-b, 3a+4b 的坐標(biāo).活動：本例是向量代數(shù)運(yùn)算的簡單應(yīng)用，讓學(xué)生根據(jù)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行向量的和、差及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，再根據(jù)向量的線性運(yùn)算律和向量的坐標(biāo)概念得出結(jié)論.若已知表 示向量的有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，那么終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)就是此向量的坐標(biāo)，從而使得向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)化.可由學(xué)生自己完成.解：a+b= (2, 1) + (-3, 4) = (-1, 5);a- b= (2, 1) - (-3, 4) = (5,

23、-3);3a+4b=3 (2, 1) +4 (-3, 4) = (6, 3) + (-12, 16) = (-6, 19).點(diǎn)評：本例是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的常規(guī)題，目的是熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式.例2 如圖.已知 匚ABCD的三個頂點(diǎn) A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2, 1)、(-1, 3)、 (3, 4),試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).活動：本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.這里給出了兩種解法：解法一利用“兩個向量相等，則它們的坐標(biāo)相等”，解題過程中應(yīng)用了方程思想；解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量OD的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo).解題過程中，關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平

24、行關(guān)系)，數(shù)形結(jié)合地思考，將頂點(diǎn)D的坐標(biāo)表示為已知點(diǎn)的坐標(biāo).解：方法一：如上圖，設(shè)頂點(diǎn) D的坐標(biāo)為(x, y). AB = (-1-(-2), 3-1) = (1, 2), DC = (3-x, 4-y).由 AB = DC ,得(1, 2) = (3-x, 4-y).1 3 x,x 2,2 4 x.y 2.頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).方法二：如上圖，由向量加法的平行四邊形法則，可知BD BA AD BA BC=(-2- (-1),1-3) + (3- (-1),4-3) = (3)-1),WOD=OB + BD =-1, 3) + (3, -1) = (2, 2),頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).點(diǎn)

25、評：本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.例 3 已知 a= (4, 2), b= 6 6, y),且 a/ b,求 y.解：a / b,4y-2X6=0. . . y=3.例4 已知A (-1, -1), B (1, 3), C (2, 5),試判斷 A、B、C三點(diǎn)之間的位置 關(guān)系.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的共線來判斷.首先要探究三個點(diǎn)組合成兩個向量, 然后根據(jù)兩個向量共線的充要條件來判斷這兩個向量是否共線從而來判斷這三點(diǎn)是否 共線.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解并熟練地運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)形式來判斷向量之間的關(guān) 系.讓學(xué)生通過觀察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式.解：在平面直角坐標(biāo)系中作出 A、

26、B、C三點(diǎn)，觀察圖形，我們猜想 A、B、C三點(diǎn)A,共線.下面給出證明.AB= (1-(-1),3- (-1)=(2,4),AC = (2-(-1),5- (-1)=(3,6),又 2X6-3 >4=0,AB / AC ,且直線AB、直線AC有公共點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)共線.點(diǎn)評：本例的解答給出了判斷三點(diǎn)共線的一種常用方法，其實(shí)質(zhì)是從同一點(diǎn)出發(fā)的 兩個向量共線，則這兩個向量的三個頂點(diǎn)共線.這是從平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法 移植過來的.例5 設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1, y1)、(x2, y2).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；P1 P_=入時

27、，點(diǎn)PPP2(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個三等分點(diǎn)時，求點(diǎn) P的坐標(biāo).活動：教師充分讓學(xué)生思考，并提出這一結(jié)論可以推廣嗎？即當(dāng) 的坐標(biāo)是什么？師生共同討論，一起探究，可按照求中點(diǎn)坐標(biāo)的解題思路類比推廣，有 學(xué)生可能提出如下推理方法：由 Pi P =入PP2 ,知(x- x1, y- y1)=入(x2- x, y2- y),人教版新課標(biāo)普通高中數(shù)學(xué)必修x x1(x2 x)y yi(y2 y)x1 x2 x 1yiy2i這就是線段的定比分點(diǎn)公式，教師要給予充分肯定，鼓勵學(xué)生的這種積極探索，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要品質(zhì).時間允許的話，可以探索入的取值符號對p點(diǎn)位置的影響，也可鼓勵學(xué)生課后探索.解：（1）

28、如圖，由向量的線性運(yùn)算可知OP = i ( QPi+Op2)2xix2 yi y2,22所以點(diǎn)p的坐標(biāo)是（x一生，Yy2.） 22（2）如圖（i）、（2）,當(dāng)點(diǎn)P是線段PiP2的一個三等分點(diǎn)時，有兩種情況，即P PPP2町=2.PP2P P i如果=1，如圖(i),那么PP22OP =OP + R P = OPi + Pi P2 =OPi +1(OP2 - OR ) =- OPi +工 OP2 33332x1 x232yiy2)3ii即點(diǎn)p的坐標(biāo)是（i-2,2y一y2）.人教版新課標(biāo)普通高中數(shù)學(xué)必修17同理，如果£速=2圖(2),那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x1 2x2, y1 2y2).PP

29、233點(diǎn)評：本例實(shí)際上給出了線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和線段的三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式.四、小結(jié)1 .先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識：平面向量的和、差、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn) 算，兩個向量共線的坐標(biāo)表示.2 .教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法，定義法、歸納、整理、概括的思想， 強(qiáng)調(diào)在今后的學(xué)習(xí)中，要善于培養(yǎng)自己不斷探索、善于發(fā)現(xiàn)、勇于創(chuàng)新的科學(xué)態(tài)度和求 實(shí)開拓的精神，為將來的發(fā)展打下良好基礎(chǔ).五、課堂作業(yè)1 .已知a=(3, -1), b= (-1, 2),則-3a-2b等于()A. (7,1) B. (-7, -1) C. (-7,1) D.(7, -1)2 .已知 A (1,1), B (-1, 0),

30、C (0, 1), D (x, y),若 AB 和 CD 是相反向量，則D點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. (-2, 0)B, (2, 2)3.若點(diǎn) A (-1, -1), B (1, 3), 為()A. 1B. -24.設(shè) a= ( 3 , sin”)，b= (cos”, 2A. o=2k % +-4 ( kC Z)一 九c. o=k%(ke Z)4C. (2, 0)D. (-2, -2)C (x, 5)共線，則使 AB=BC的實(shí)數(shù) 入的值C. 0D. 21一),且a/b,則“的值是()3B. o=2kTi-j(kC Z)_ 九，_、D.行k乃一(kC Z)45 .向量 OA= (k, 12), OB =

31、 (4, 5) , OC = (10, k),當(dāng) k 為何值時，A、B、C三點(diǎn)共線？參考答案：1. B 2, B 3. D 4. C5. OA= (k, 12) , OB = (4, 5), OC = (10, k),AB = OB-OA= (4-k, -7), BC =OC - OB = (6, k-5). AB / BC ,( 4-k) (k-5) +7X6=0. . k2-9k-22=0.解得k=11或k=-2.教案B第1課時教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1 .理解平面向量基本定理，明確任何一個平面向量都可以用兩個不共線的向量來 表示，在具體問題中能夠適當(dāng)選取基底.2 . 了解向量的夾角與垂直的

32、概念，以及向量正交分解的含義，理解用坐標(biāo)表示向 量的理論依據(jù)，知道向量的坐標(biāo)的幾何意義.二、過程與方法領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，感受探索與創(chuàng)造的學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)邏輯推理能力，優(yōu)化 理性思維.三、情感、態(tài)度與價值觀通過類比物理學(xué)中的相關(guān)問題，培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勇于探索的科研精神，以及堅 忍不拔的意志.教學(xué)重點(diǎn)平面向量基本定理和向量的坐標(biāo)表示.教學(xué)難點(diǎn)平面向量的合成與分解.教學(xué)設(shè)想一、情境設(shè)置1 .向量加法與減法有哪幾種幾何運(yùn)算法則？2 .怎樣理解向量的數(shù)乘運(yùn)算?a?(1)陽二|憫;(2) Q0時，后與a方向相同； K0時，右與a方向相反； =0時，注0.3 .平面向量共線定理是什么？非零向量a與向量

33、b共線？存在唯一實(shí)數(shù) N使b=后.4 .如圖，光滑斜面上一個木塊受到的重力為G,下滑力為F1,木塊對斜面的壓力為F2,這三個力的方向分別如何？三者有何相互關(guān)系？F1gM，25 .在物理中，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運(yùn)算.力也可以分解，任 何一個大小不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展 到向量中來，就會形成一個新的數(shù)學(xué)理論.二、新知探究探究（一）平面向量基本定理思考1 .給定平面內(nèi)任意兩個向量3.在下列兩圖中，向量 OA、OB、OC不共線，能否在直線 OA、OB上分別找2 .如圖，設(shè) OA、OB、OC為三條共點(diǎn)射線， P為OC上一點(diǎn)，能否在 OA、OB上

34、分別找一點(diǎn) M、N,使四邊形OMPN為平行四邊形？4 .在上圖中，設(shè) OA=ei, OB = e2, OC = a,則向量OM、ON分別與ei、e2的關(guān)系如何？從而向量 a與ei、e2的關(guān)系如何？OM = ?iei, ON =?2e2, a= 1ei+ ?2e2.5 .若上述向量ei、e2、a都為定向量，且 ei、e2不共線，則實(shí)數(shù) 為、力是否存在? 是否唯一？6 .若向量a與ei或e2共線，a還能用？iei+江e2表示嗎？7 .根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向量a都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的向量e2表示出來，從而可形成一個定理.你能完整地描述這個定理的內(nèi)容嗎？如果ei、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共

35、線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實(shí)數(shù) 晨 心使a=?iei+ ；2e2.8 .上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量ei、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.那么同一平面內(nèi)可以作基底的向量有多少組？不同基底對應(yīng)向量的表示式是否相同？9 .兩個向量和與差的坐標(biāo)等于兩個向量坐標(biāo)的和與差；數(shù)乘向量的坐標(biāo)等于該數(shù)與向量相應(yīng)坐標(biāo)的乘積.即：小)如果 a= (x1，yi), b= (x2, y2),那么 a b= (xiix2, yi§2),拈=(?xi,a / b的充要條件是xiy2=x2yi (需要證明)i0.任意給定平面中兩個不平行的向量ei、e2,那么平面中所

36、有向量a都可以用這兩個向量表本.即 a=xei+ye2.這里x、y是唯一確定的一對有序?qū)崝?shù) . ei, 這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；xei+ye2叫做a關(guān)于基底 ei, e2的分解式.探究(二)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示e2叫做思考1.不共線的向量有不同的方向，對于兩個非零向量a 和 b,作 OA = a, OB =b,如圖.為了反映這兩個向量的位置關(guān)系，稱/ 量的夾角的取值范圍應(yīng)如何約定為宜？0 °, i80 AOB為向量a與b的夾角.你認(rèn)為向BbbaAOaBP叫做Aiy小OixaAOix在y軸上的 的幾何意義面內(nèi)所有向量的一組基底？3.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量2.如

37、果向量a與b的夾角是90° ,則稱向量a b垂直，記作a±b.互相垂直的兩個向量能否作為平恒重a, 使得a= 標(biāo)，記作O i把向量正交分解.如圖，向量i、j是兩個互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30° ,且|a|=4,以向量 j為基底，向量a如何表示？4.在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量 i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個a=273i+2j由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y xi+yj.我們把有序數(shù)對 (x, y)叫做向量a的綠a= (x, y).x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a如何?坐標(biāo)，上式叫做向量的坐標(biāo)表示.那么x、

38、y10 相等向量的坐標(biāo)必然相等，作向量 OA=a,則OA= (x, y),此時點(diǎn)A的坐標(biāo)人教版新課標(biāo)普通高中數(shù)學(xué)必修是什么？三、例題解析例1已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個向量a= (1, 3), b= (m, 2m-3),使平面內(nèi)的任意一個向量c都可以唯一的表示成 c=入肝！1 h則m的取值范圍是 .解：: c可唯一表不成 c=入葉ph，a與b不共線，即2m-3wm,mw 3.例2如圖，M是那BC內(nèi)一點(diǎn),且滿足條件 AMr2BM 3CM 0,延長 CM 交21AB于N,令CM =a,試用a表示CN .解： AM AN NM ,BM BN NMr./AM 2BM 3CM =0,得. r(AN NM)

39、2(BN NM) 3CM 0.r .AN 3NM 2BN 3CM =0.又A、N、B三點(diǎn)共線，C、M、N三點(diǎn)共線，由平行向量基本定理，設(shè)AN BN,CM NM,一 rBN 3NM 2BN 3 NM 0._.r( H2) BN + (3+3口 NM = 0.由于BN和NM不共線，2 0，入 2,3 30,N 1.CM NM MN. Cn CM mN 2CM =2a.例3設(shè)e1與 日是兩個不共線向量，a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若實(shí)數(shù) 入、科滿足右+wb=5e1-e2,求 入 科的值.解：由題設(shè) 右+成=(321+4 Q2)+ (-21+5 但2)= (3"2 0 e1+

40、(4?+5四)e2.3 2u 5,4 5u 1.又 后+(ib=5e1-e2.由平面向量基本定理，知解之得F1, -1.四、小結(jié)1 .平面向量基本定理是建立在向量加法和數(shù)乘運(yùn)算基礎(chǔ)上的向量分解原理，同時 又是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)，是一個承前起后的重要知識點(diǎn).2 .向量的夾角是反映兩個向量相對位置關(guān)系的一個幾何量，平行向量的夾角是 0或180° ,垂直向量的夾角是 90° .3 .向量的坐標(biāo)表示是一種向量與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，它使得向量具有代數(shù)意義.將 向量的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則平移后向量的終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo).第2課時教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1 .掌握平面向量的和、差和數(shù)乘

41、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量共線的坐標(biāo)表示，會 根據(jù)這些原理求向量的坐標(biāo).2 .深化對向量概念的理解，提高對向量運(yùn)算的認(rèn)識，優(yōu)化數(shù)形結(jié)合的思想意識， 培養(yǎng)邏輯思維能力和思維素養(yǎng).二、過程與方法1 .通過體驗(yàn)直角坐標(biāo)系中平面向量的坐標(biāo)表示的實(shí)現(xiàn)過程，激發(fā)學(xué)生的探索精神， 增強(qiáng)學(xué)生知識的應(yīng)用意識；2 .通過具體問題的分析解決，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的化歸能力.三、情感與價值在數(shù)學(xué)中體會知識的形成過程，感受數(shù)與形的和諧統(tǒng)一.教學(xué)重點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示.教學(xué)難點(diǎn)向量的坐標(biāo)運(yùn)算原理的構(gòu)建.教學(xué)設(shè)想：一、情境設(shè)置1 .平面向量的基本定理是什么？如果e1> e2是同一平面內(nèi)的

42、兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實(shí)數(shù) 大、江，使a=/e+江e2.2 .用坐標(biāo)表示向量的基本原理是什么？設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若 a=xi+yj,則a= ( x, y).3 .用坐標(biāo)表示向量，使得向量具有代數(shù)特征，并且可以將向量的幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化為 坐標(biāo)運(yùn)算，為向量的運(yùn)算拓展一條新的途徑.我們需要研究的問題是，向量的和、差、 數(shù)乘運(yùn)算，如何轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，對于共線向量如何通過坐標(biāo)來反映等.二、新知探究探究(一)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算思考1.設(shè)i、j是分別與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若 a= (xi, yi), b= (x2, y2),則a=xii +

43、 yij, b=X2i + y2j,根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量a+b, a-b,啟(入C R)如何分別用基底i、j表示？a+b= (xi+x2)i+ (yi + y2)j,a- b= (xi-x2)i+ (yi-y2)j,-zyij.2 .根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量a+b, a- b,后的坐標(biāo)分別如何？a+b= (xi + x2, yi + y2),a- b= ( xi- x2, yi-y2), 后=(Ki, yi).3 .如何用數(shù)學(xué)語言描述上述向量的坐標(biāo)運(yùn)算？兩個向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差 ).實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)uuir4 .如圖

44、，已知點(diǎn) A(xi,yi) , B(x2,y2)，那么向量AB的坐標(biāo)如何？ 一般地，一個 向量的坐標(biāo)如何計算？uuirAB = ( x2-xi, y2-yi).一個向量的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).5 .在上圖中，如何確定坐標(biāo)為(x2-xi, y2-yi)的點(diǎn)P的位置？uuiu6 .若向量a= (x, y),則|a|如何計算？若點(diǎn) Alxy) , B(x2,y2),則| AB |如何計算？|a|= & + y2 , |AB | 而x2)2 (yi才.探究(二)平面向量共線的坐標(biāo)表示思考i.如果向量a、b共線(其中bw 0),那么a、b滿足什么關(guān)系？a= b.7 .設(shè)a= (xi, yi), b= (x2, y2),若向量a、b共線(其中bw0),則這兩個向量 的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？反之成立嗎？向量 a、b (bw0)共線x1y2=x2 yl.8 .如何用解析幾何觀點(diǎn)得出上述結(jié)論？9 .已知點(diǎn)Pi (xi, yi), P2 (X2, y2),若點(diǎn)P分別是線段P1P2的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)， 如何用向量方法求點(diǎn) P的坐標(biāo)？uuirujir10 一般地，若點(diǎn)