工程力學(xué)(天津大學(xué))第11章答案

1、第H一章 梁彎曲時(shí)的變形11-1用積分法求下列簡(jiǎn)支梁A、B截面的轉(zhuǎn)角和跨中截面C點(diǎn)的撓度。(a)(b)習(xí)題圖11 - 1(b)1Me 2y (-xEI2lMel所以：8AMel6EIMe3EIi, ycM- 3x6lMel216EIMelx)解：（a）取坐標(biāo)系如圖所示。彎矩方程為： M撓曲線(xiàn)近似微分方程為：Ely 也x l積分一次和兩次分別得：Ely%x2 C,2lMe 3Elyex3 Cx D6l邊界條件為：x=0時(shí)，y=0, x=l時(shí)，y=0,代入（a）、（b）式，得：C M馬,6梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為:（b）取坐標(biāo)系如圖所示。AC段彎矩方程為：M Mx1 （0 x1 -）l2BC 段

2、 彎 矩 方 程 為一Me一J八Mp- x2M e(x2l)兩段的撓曲線(xiàn)近似微分方程及其積分分別為:AC段:ElyiMeTxiEIyiMe2l2xiCi,EIyiMe 3xi6lC1x1Di(b)BC段:Ely?MelX2MeEly?Ely?M e2lMe6i2x2Me C2,MeX2C2 x2D2(d)邊界條件為：xi=0時(shí),yi=0, X2=l 時(shí)，y2=0,變形連續(xù)條件為：xil gx2 二時(shí)，yi2y2,yiy2代入（a）、（b）式、（c）、（d）式,得：Ci 號(hào)LC2iiMe“Di0, D2Me 2l2,8梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為:AC段:y /BC段：y2(ElMe 2 一xi2

3、l惺x22l所以：8AMel24EIii- 2Mel), 24MeX2yiET(Me 3xi6lMe24lxi)iiMeld)，Me .匕 -i, yC24Ely2Me 3-x26lMe 22 x2iiMeelx224Mel2-)用積分法求下列懸臂梁自由端截面的轉(zhuǎn)角和撓度。(a)習(xí)題ii - 2圖解：（a）取坐標(biāo)系如圖所示。彎矩方程為：q 2M x2MeAEl(b)El(a)Bx撓曲線(xiàn)近似微分方程為：Ely 9x22積分一次和兩次分別得：Ely qx3 C ,(a)6Ely -qx4 Cx D (b)24邊界條件為：x=l時(shí)，y=0, y' = 0,代入(a)、(b)式，得：Cql3,

4、 D -ql468梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為：6l3),1 z q 4 q.31 14、( x lx -ql )EI 2468所以：8AI 3. 4yq_6EI , Ya 8EI(b)取坐標(biāo)系如圖所示。彎矩方程為：M撓曲線(xiàn)近似微分方程為:EIy MeMe積分一次和兩次分別得：EIy Mex C(a)EIyMex2 Cx D (b)邊界條件為：x=l時(shí)，y=0, y' = 0,代入(a)、(b)式，得：C M el,D-Mel22梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為:1(Mex Mel) EIMe 2x2Melx所以：8AM el日yA122Mel2)Mel22EI11- 3 一懸臂梁在 端截面C

5、的轉(zhuǎn)角和撓度。BC段受均布荷載作用,如圖所示，試用積分法求梁自由qEICl/2習(xí)題11- 3圖解：取坐標(biāo)系如圖所示AB段彎矩方程為：M梟|ql2 （0 Xi f(；X2l)BC段彎矩方程為：M 如X2 3ql2 1q（X2 -）22822兩段的撓曲線(xiàn)近似微分方程及其積分分別為：AB段:ElyiqlXi23 128qlEIyiql 24Xi32 ql Xi8Ci,EIyiq 3 lXii2312一ql i62XiCi XiD i (b)BC段:EIy23笳 、8ql-q(X2EIy2ql 27X23ql2X28一 q(X2 一)62C2(c)EIy2蟲(chóng)X i2332 2 iql Xq(X22 i

6、6 224C2X2D2 (d)邊界條件為：xi=0時(shí)，yi=0, yi' = 0,變形連續(xù)條件為:XiX22 時(shí)，yiy2,yiy2代入（a）、（b）式、（c）、（d）式,得: 梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為：Ci0,C20, Di0, D2 0AB段:yi3 2 gqi Xi),yiBC段:iy2y2EIiEI2X23ql2X28r ql 3 Xi2 2ilql2 2X2i / Yi二q(X2 二)62i / l 、4q(X2 一)242所以：外黑,yC4iql 4,yC384EIii- 4 一外伸梁受均布荷載，如圖所示，試用積分法求 A B截面的轉(zhuǎn)角以 及C、D截面的撓度。qCDEID

7、-B習(xí)題ii - 4圖yEI1，T "，TC， -Bxi j.解：取坐標(biāo)系如圖所示AB 段彎矩方程為：M3qlxi -qx2 (0 x1 2l)42BC 段彎矩方程為：M3qlx2 -qx2 -ql(X2 2l) (2l X2 3l)424兩段的撓曲線(xiàn)近似微分方程及其積分分別為：AB 段：Ely-3q41 22qxiEly-3ql2x1136qx1C1 ,(a)EIy1 3qlx3 qx4 Cx1 D1 (b) 24243ql129BC 段：EIy2x2 -qx2 - ql (x2 2l)424(c)3ql 21392 cEIy2x2qx2-ql(x22l)C2868EIy2 果 x

8、：24qx424ql(x22l)3C?'?D2(d)邊界條件為：x1=0時(shí)，y1=0,變形連續(xù)條件為：x1 x22l時(shí)，y1y20, y1y2代入(a)、(b)式、(c)、(d)式，得：C11ql3,C2q-,D10,D2 066梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為：AB段：y1 ( 3ql x12 -qx： - ql3)EI 86 16y1 E7(BC段：q. 3 lx1814qx12413 f)6y2EI1 36qx292-ql(x22l)86ql31y2ET所以：曲ql 3 x.8 2,3ql6eiqx4242徐 0,9324ql(x22l)3ql4yC8EPyDJql% 6ql412EI

9、11-5用積分法求位移時(shí)，下列各梁應(yīng)分幾段來(lái)列撓曲線(xiàn)的近似微分方程式？試分別列出積分常數(shù)時(shí)所需的邊界條件和變形連續(xù)條件Ll/2 上-1 | -1/2|I l 1/2一|(a)(b)習(xí)題11- 5圖解：(a)分三段。AB、BC、CD段位移分別為y1、y2、y3。則邊界條件B點(diǎn)：x1 x2 ；時(shí)，y1 y2 0,C 點(diǎn)：X2 X3 3時(shí)，y3 y2 0,變形連續(xù)條件為：X1x2；時(shí)，y1y2 ,x1x2；時(shí)，y1y2(b)分兩段。AB、BC段位移分別為y1、平。則邊界條件A點(diǎn)：x1 0日！ y1 0,B 點(diǎn)：x2 x3 l時(shí)，y y20,變形連續(xù)條件為：x1 x2 l時(shí)，y1y2 ,11-6 簡(jiǎn)支

10、型鋼梁承受荷載如圖所示，已知所用型鋼為 18號(hào)工字鋼， E = 210GPa, M = 8.1kNm, q=15kN/m,跨長(zhǎng)l = 3.26m。試用積分法求此梁跨中 點(diǎn)C處的撓度。-l/2 L r l/2習(xí)題11 - 6圖解：取坐標(biāo)系如圖所示。彎矩方程為：M 2 qlx M e 1 qx2撓曲線(xiàn)近似微分方程為：EIy 2 qlx M e 2qx2積分一次和兩次分別得：EIy 1 qlx2 M ex 1 qx3 C(a)13 M e 214EIy 12 qlx xqxCx D (b)邊界條件為：x=0=l時(shí)，y=0代入（a）、（b）式，得：CMel 3 qi24習(xí)題11- 8圖習(xí)題11- 9圖

11、梁的撓度方程式為:113ET i2qlxMe 22-X1 > 424qX(24ql3Mex2")x所以4234325ql Mel 115 15 103.268.1 103.26yC384EI 8EI 210 109 1660 10 83848-3 3.24 10 (m) 3.24mm11-7 簡(jiǎn)支梁受力如圖所示，試用疊加法求跨中截面 C點(diǎn)的撓度。習(xí)題11- 7圖解：當(dāng)右邊的F單獨(dú)作用時(shí)，查表得:ycFbx 26lET(l.22、b x )4aLlr16a222 1a 4a 11Fa312EI由對(duì)稱(chēng)得：yc_ 3_ 311Fa 2 11Fa12EI6EI11- 8 一簡(jiǎn)支梁承受均

12、布荷載作用, 圖所示，已知：M q-,試用疊加法求20并在 A支座處有一集中力偶作用，如A、B截面的轉(zhuǎn)角和跨中截面C的撓度。解：當(dāng)q單獨(dú)作用時(shí),24EI24EIycq5ql4384EI當(dāng)Mq單獨(dú)作用時(shí),Ml3Ei 3ql60EIMl6EI 3ql_120EI ,以ql330EIycMycMl2 16EIql4320EIycqycM19ql41920EI11- 9 一懸臂梁受力如圖所示，試用疊加法求自由端截面的轉(zhuǎn)角和撓度。B解： yB _q.yB 8EIql4128EI ,n _q_龜6EIl_2ql348EI所以：yC=yBl_2°Bql4128EIl_ 2ql348EI7ql438

13、4EIql3 飛/嘉11-10 外伸梁受力如圖所示，試用疊加法求自由端截面的轉(zhuǎn)角和撓度。已知：F = ql/6。EIBAl/2習(xí)題11- 10圖解：對(duì)AB段，看作在均布荷載和力偶3 ql24EI所以：出0Bq龜M將BC段看作懸臂梁,Ml Fl2電M 甫甫ql372EI 固定端處有轉(zhuǎn)角Fl/2作用下的簡(jiǎn)支梁,3ql36EI8b,則yC1F3EI3J_2Fl324EI 4ql仆144EI , yC2Bql4144EI所以:ycyc1yc26cfF2ei2J_2Fl28EI3黯，則生修,3.3,3ql ql ql48EI72 EI144EI ,11- 11試用疊加法求下述懸臂梁自由端截面的撓度和轉(zhuǎn)角

14、。(a)A ?解：（a）當(dāng)M單獨(dú)作用時(shí)，yCM習(xí)題Ml2A<11- 11 圖2EI 2EIFl3 工 4FEIa(b)MlFl2EI EI當(dāng)F單獨(dú)作用時(shí)，yBFF l3E72Fl324EI ,Fl28ET所以：y CF y BF飽F5Fl348EI&4fFl28ET則：y C y CMyCF2EI5Fl348ET29Fl3 48EI°CFFl2百Fl28eT9Fl2"8eT解：（b）當(dāng)C點(diǎn)處的F單獨(dú)作用時(shí),ycFa3 3EI,Fa22EI4Fa3此時(shí)yB1 ycC 2a需3 EI也1（CFa2 2ET當(dāng)D點(diǎn)處的F單獨(dú)作用時(shí)，丫口F(2a)33EI8Fa33EI

15、 ,OdF(2a)22EI2Fa2EI此時(shí)yB2yD(D a臂3EI2Fa2EI所以yB yB1 yB2 誓一,色5Fa22EI11- 12一工字鋼的簡(jiǎn)支梁,梁上荷載如圖所示，已知：l=6m, M=4kN m,q = 3kN/m,1,工字鋼為20a, 400鋼材的彈性模量E = 200GPa,試校核梁的剛度。習(xí)題11 - 12圖習(xí)題11- 13圖y max2005ql4384EI1109Ml 216EII( 5 3 103 64 2370 10 83844 10342、Cc / c)0.01448m 14.48mm則 ymax尢f表，所以剛度滿(mǎn)足要求。已知： l=6m, F = 10kN,11

16、- 13 一工字鋼的簡(jiǎn)支梁，梁上荷載如圖所示,彈性模量 E = 200GPq試q = 4kN/m, f ,材料許用應(yīng)力150MPa l 250選擇工字鋼的型號(hào)并校核梁的剛度 解：跨中最大彎矩為：M q-max 8W M max (T取I 20a,則Fl 1X 833 103150 1064 620.1210 3 m3 220cm34yqymax384EI1Fl348EI_ 9_8200 102370 105 4 103 64(38410 103 62-00 6 ) 0,0237m 23.73mm48則 ymax薪f看所以剛度滿(mǎn)足要求。11- 14在下列梁中，指明哪些梁是超靜定梁，并判定各種超靜

17、定梁的次數(shù)。Fq(a)Fq(d)(c)q(e)(f)習(xí)題11- 14 圖解：（a） 2次；（b） 1次；（c） 2次；（d）1次；（e）靜定結(jié)構(gòu)；（f） 3次。(b)(a)11- 15試畫(huà)出下列各超靜定梁的彎矩圖。F由該式可解得：Frb(b)(c)(d)則M圖為：（b）該梁為一次超靜定梁，將B支座視為多余約束，解除該支座，并施加解：（a）該梁為一次超靜定梁，將B支座視為多余約束，解除該支座，并施 加多余約束反力Frbo根據(jù)該梁的變形條件，梁在 B點(diǎn)的撓度應(yīng)為零，即補(bǔ)充方 程式為：y b 0由疊加法：yB yBM yBF 0（a）式中：yBM為梁在力偶單獨(dú)作用下引起的B點(diǎn)的撓度（圖d）,由表格1

18、1-1可查 得：Ml2yBM2eTyBF為梁在Frb單獨(dú)作用下B點(diǎn)的撓度，同樣由表格11- 1可查得:FrbI2FrbI3yBF 21了 6EI3EI將（b）、（c）兩式代入式（a）,得：M122EI3M"2T多余約束反力Frb。根據(jù)該梁的變形條件，梁在 B點(diǎn)的撓度應(yīng)為零，即補(bǔ)充方程 式為：(a)由疊加法:y ByB Fy RB 0式中：yBF為梁在F單獨(dú)作用下引起的B點(diǎn)的撓度，由表格11-1可查得:一 一 3 一一F(2a)F(2a)3EI2EI2 14Fa3一 a IeT(b)yRB為梁在Frb單獨(dú)作用下B點(diǎn)的撓度，同樣由表格11- 1可查得:FRB3yRB(3a)3EI將(b)

19、、(c)兩式代入式(a),得：9FrbS3(c)由該式可解得：Frb14Fa33EI14F"279Frb33EI(d)則M圖為：該梁為一次超靜定梁，將B支座視為多余約束，解除該支座，并施加多余約束反力Frb。根據(jù)該梁的變形條件，梁在B點(diǎn)的撓度應(yīng)為零，即補(bǔ)充方程式 為：yB 0由疊加法:yB yBF式中：yBF為梁在F單獨(dú)作用下引起的yBF22Fbx( l2 b26lEIyRB 0B點(diǎn)的撓度，由表格11-1可查得:x2) 11Fa312EI(a)(b)yRB為梁在Frb單獨(dú)作用下B點(diǎn)的撓度，同樣由表格11-1可查得:yRB將(b)、(c)兩式代入式(FRB3碉(甸a),得：64FrbH

20、348EI(c)由該式可解得：Frb11Fa364Frb2312EI 48EI11F76"(d)則M圖為：(d)該梁為三次超靜定梁，將 A支座化為固定較支座，解除該支座的轉(zhuǎn)動(dòng) 約束，并施加多余約束反力 Ma。將B支座化為可動(dòng)較支座，解除該支座的轉(zhuǎn)動(dòng) 約束和水平約束，并施加多余約束反力 Mb和水平力Hb,由于水平支反力對(duì)位移的影響可忽略不計(jì)，所以先不考慮 的轉(zhuǎn)角應(yīng)為零，即補(bǔ)充方程式為：Hb,根據(jù)該梁的變形條件，梁在 A點(diǎn)和B點(diǎn)由疊加法：0A0AF0AMA0AMB0,備If備MA0BMB0,(a)式中：Mf和也f為梁在F單獨(dú)作用下引起的A點(diǎn)和B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角，由表格11-1 可查得：(AMA行

21、：°AMA0AMB行：F(2a)2 Fa2 牝16EI 4EI , 電FF(2a)2 Fa216EI4EI(b)但MA為梁在MA單獨(dú)作用下署(2a)警, “和 伯mb為梁在Mb單獨(dú)作用下°AMB普2a)MBa3EI將(b)、(c) (d)式代入式(a),得:Fa2TFa24由上式可解得：MaFa, MB則M圖如下：(e)該梁為一次超靜定梁，將A點(diǎn)和B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角，同樣由表格11-1可查6EI3EI(c)A點(diǎn)和B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角，同樣由表格11-1可查署3)2MAa3EIMAa3EIFaMBa3EI2MBa3EI2MBa3EI(d)B支座視為多余約束，解除該支座，并施加多余約束反力FrB

22、o根據(jù)該梁的變形條件，梁在 B點(diǎn)的撓度應(yīng)為零，即補(bǔ)充方程 式為：yB 0(a)由疊加法:y B y Bq yRB 0式中：yBq為梁在q單獨(dú)作用下引起的B點(diǎn)的撓度，由表格11-1可查得:22_2_2qx(x 6l 4lx) q(2a)24EI24EI42234qa(2a)6( 3a)4 3a 2a6 日(b)yRB為梁在Frb單獨(dú)作用下B點(diǎn)的撓度，同樣由表格11- 1可查得:F RB3yRB(2a)3EI 將(b)、(c)兩式代入式(a)，得：8FrbH33EI(c)由該式可解得：FrbR B_434qa6EI17qa838FrbH3EI(d)則M圖為:11- 16 一 知：EI1 = 0.8

23、EI2集中力F作用在梁AB和CD連接處，試?yán)L出二梁的彎矩圖F習(xí)題11- 16圖解：該梁為一次超靜定梁，AC和CD梁的受力圖如圖所示，其中Fc為未知力變形條件為：二梁在自由端處撓度相等，即：yBA ycD由表格11-1可查得：F Fc3yBAq匚 (2a)3EI1Fc 3 yCD 3EHa_38( F Fc )a3 0.8EI2代入上式解得:10Fvf則彎矩圖為：11-17在下列結(jié)構(gòu)中，已知橫梁的彎曲剛度均為 EI,豎桿的拉伸剛度均為 EA,試求圖示荷載作用下各豎桿內(nèi)力。q一一 Iy 口i 11 口(a)習(xí)題11 - 17圖(a)解：（a）該結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)，將 BC桿的拉力Fbc看作多余約

24、束，變形方程為：yBA yBc式中yBA為梁AB在q和拉力Fbc共同作用下，B端的撓度。yBC為拉桿BC的伸長(zhǎng),q 4 FbcI3yBA y q+ yFBC= 1 yBA yq yFBC 8EI 3EIyBCFbcEA代入(a)式得：Fbc3Aql4一8( Al3 3aI )(a)(b)該結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)，將EC桿的拉力Fec看作多余約束，變形方程為:yCEyC式中yc為梁AB在q和拉力Fec共同作用下，C點(diǎn)的撓度。ycE為拉桿EC的伸長(zhǎng) 量。工 _ 5q ,4 FecI3 yc yq yFEC- 384EI l48EIF ECyEC 6 a代入(a)式得：Fec5A之一EC 24( Al3 16aI )11-18梁AB因強(qiáng)度、