小學(xué)的奧數(shù)幾何五大模型燕尾模型

1、例題精講燕尾定理：在三角形 ABC中，AD, BE, CF相交于同一點(diǎn) O,那么，ABO和ACO的形狀上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)楹芟笱嘧拥奈舶?，所以這個定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣為三角形中的三角泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.通過一道例題 趾明燕尾定理：如右圖，D是BC上任意一點(diǎn)，請你說明：§:S4 3£ BD:DC【解析】例1三角形BED與三角形 CED同高，分別以 BD、DC為底, 三角形 ABE與三角形 EBD同高，S1：S2 ED :EA ； 三角形AC

2、E與三角形CED同高，S4：S3 ED:EA,所以 綜上可得，Si: S4 S2:S3 BD :DC .（2009年第七屆希望杯五年級一試試題）如圖，三角形所以有 G :S4 BD : DC ;§ §S2 £ ;ABC的面積是1 , E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BC上，且BD:DC 1:2, AD與BE交于點(diǎn) F .則四邊形 DFEC 的面積等于.【解析】方法一：連接CF ,根據(jù)燕尾定理,MBD 1Sa abfAE設(shè)Sa BDF1份，則S所以 Sdcef S S12方法二：連接'ADCF5DC 22份，Sa cbfSA ABFEC3份，1,SA AEFSaefc

3、3份，如圖所標(biāo)Sa adeS DEF1s212)ADCSA DEB而 Sacde） ABC 一12DE,由題目條件可得到Sa abd12122sS ABCSa ABCSA BECBFFESz ABDSA ADE11sSa ABC31SA ABC一123 .所以則四邊形DFEC的面積等于152 .【鞏固】如圖，已知BD DC, EC 2AE,三角形ABC的面積是30,求陰影部分面積.【解析】題中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值，其他條件給出的實(shí)際上是比例的關(guān)系，由此我們可以初步判斷這道題不應(yīng)該通過面積公式求面積.又因?yàn)殛幱安糠质且粋€不規(guī)則四邊形，所以我們需要對它進(jìn)行改造，那么我們需要連一條輔助線，

4、（法一）連接CF,因?yàn)锽D DC, EC 2AE,三角形ABC的面積是30,所以Sa ABE - Sa ABC10 , Sa abd3根據(jù)燕尾定理,Sa abfAE 11s一Sa ABC2SA ABFS CBF EC 2 ' S ACFBDCD 1，所以 SA ABF SA ABC7.5 , SABFD 15 7.54所以陰影部分面積是30 10 7.5 12.5.（法二）連接DE ,由題目條件可得到Sa ABESa ABCSa bde1s人-Sa BEC21 2sSa ABC2 310,所以AFFDS DEFS11SA DEA一 2 3而 Sacde2 - SAABC【鞏固】如圖，3

5、SA ABESa bde111SA ADC一 一 & ABC 2.5 ,2 3 210.所以陰影部分的面積為12.5.3 2三角形ABC的面積是200 cm2 , E 在AC上，點(diǎn)D在BC上，且AE: EC 3:5 , BD:DC 2:3 , 于AD與BE交于點(diǎn)DFEC的面積等【解析】連接CF ,根據(jù)燕尾定理,Sa ABFBDSA ACFDCSa ABFAESA CBFEC10設(shè)SA ABF6份,則 SA ACFSA BCF10份，Sa efc_3Sa CDF 102 3【鞏固】如圖，已知BD6 份，所以 Sdcfe200 (6 94510) (76) 893 545 一、2(6) 9

6、3 (cm )3DC , EC 2AE , BE與CD相交于點(diǎn)8O,則 ABC被分成的4部分面積各占4ABC面積的幾分之幾?【解析】連接CO,設(shè)&AEO 1份，則其他部分的面積如圖所示,所以Sa ABC18 30份，所以四部分按從小到大各占 ABC面積的1 2 4.5 13 9, 3030【鞏固】（2007年香港圣公會數(shù)學(xué)競賽）如圖所示，在,60 3013 13.5,10 30BQ與AP相交于點(diǎn)X ,若4ABC的面積為6 ,【解析】 方法一：連接PQ .1由于CP -CB ,2由蝴蝶定理知,CQ 1CA ,所以 SvABQ -Sv33_2 _AX : XPSvABQ : SVBPQCP

7、 CB , CQ2則4ABX的面積等于Svbpq1 Svbcq2-S/ABC .6所以 Svabx Sv59 1c2OABP SVABC - SVABC5 25SvABC : SvABC4:1 ,362-6 2.4 .5方法二：連接CX 設(shè) SA CPX 1 份,根據(jù)燕尾定理標(biāo)出其他部分面積,所以SA ABX 6 【鞏固】如圖，三角形(1 1 4 4) 4 2.4ABC的面積是1 ,請寫出這4部分的面積各是多少201-CA , 3BD 2DC , CE 2AE , AD 與 BE 相交于點(diǎn) F,【解析】連接CF,設(shè)SAAEF 1份，則其他幾部分面積可以有燕尾定理標(biāo)出如圖所示，所以 SAAEF,

8、 SA ABF21212 o _8 o,Sa bdf, Sfdce721217【鞏固】 如圖， E在 AC上，D在BC上，且 AE:EC 2:3 , BD: DC 1:2, AD與BE交于點(diǎn)F.四邊形DFEC的面積等于22 cm2,則三角形ABC的面積連接CF，根據(jù)燕尾定理,S ABFBD1S ACFDC2，SA ABFSA CBFAEEC./八24 份，Saaef 4 1.62 34.4 份，Sa abc 2 3 4 9份設(shè)Sa BDF1份,則 Sa DCF 2份 ,Sa ABF 2份， Sa AFC份，Szxefc42.4 份，如圖所標(biāo)，所以 Sefdc2 2.42 3所以 SA ABC

9、22 4.4 9 45 (cm2)【鞏固】三角形 ABC中，C是直角，已知AC 2, CD 2, CB 3, AM BM ,那么三角形AMN (陰影部分)的面積為多少?【解析】連接BN . ABC的面積為3 2 2 3根據(jù)燕尾定理，ACN/ABN CD:BD 2:1 ；同理CBWACAN BM : AM 1:1設(shè)4AMN面積為1份，則4MNB的面積也是1份，所以4ANB的面積是1 1 2 份，而4ACN的面積就是2 2 4份，4CBN也是4份，這樣 4ABC的面積為 4 4 11 10份，所以 4AMN的面積為 3 10 1 0.3.【鞏固】如圖，長方形 ABCD的面積是2平方厘米，EC 2D

10、E, F是DG的中點(diǎn).陰影 部分的面積是多少平方厘米 ？【解析】設(shè)Sdef 1份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示S月影-Sabcd芻平方厘米.1212【例2 如圖所示，在四邊形 ABCD中，AB 3BE , AD 3AF ,四邊形AEOF的面積是12, 那么平行四邊形BODC的面積為 .【解析】連接ao,bd,根據(jù)燕尾定理SA ABO : SA BDO AF : FD 1: 2 , SAAOD : SABOD AE : BE 2 :1 ,設(shè)SAbeo 1,則其他圖形面積，如圖所標(biāo)，所以 Sbodc 2Saeof 2 12 24 .例3 ABCD是邊長為12厘米的正方形，E、F分另4是AB、BC

11、邊的中點(diǎn)，AF與CE交 于G,則四邊形AGCD的面積是 平方厘米.【解析】連接AC、GB ,設(shè)Saagc 1份，根據(jù)燕尾定理得Saagb 1份，Sabgc 1份，則S正方形 (111) 2 6 份，SADCG 3 1 4份，所以 Sadcg 122 6 4 96 (cm2)【例4】如圖，正方形 ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)， 四邊形BGHF的面積是平方厘米.【解析】連接BH,根據(jù)沙漏模型得BG:GD 1:2,® SAbhc 1份，根據(jù)燕尾定理SA郵2份，Sa BHD 2份，因止匕S正方形(1 2 2) 2 10份，Sbfhg 1 -, 所以 2 3

12、6Sbfhg 120 10 7 14(平方厘米).例5 如圖所示，在4ABC中，BE: EC 3:1, D是AE的中點(diǎn)，那么AF : FC . 【解析】連接CD .由于SAABD : SA BED 1:1 , SABED : SA BCD 3: 4 ,所以SAABD : SABCD 3: 4 ,根據(jù)燕尾定理，AF :FC SAABD : SABCD 3: 4 .【鞏固】 在 ABC 中，BD:DC 3:2, AE: EC 3:1,求 OB:OE ?即 S AOB S AOC ；24sS AOE32S AOE ,【解析】連接OC .因?yàn)锽D : DC 3: 2 ,根據(jù)燕尾定理，S aob :S

13、aoc BD: BC433又 AE: EC 3:1 ,所以 S AOC - S AOE 則S AOB - S AOC -322所以O(shè)B:OE S AOB : S AOE 2 :1 .【鞏固】 在 ABC 中，BD:DC 2:1 , AE: EC 1:3,求 OB:OE ?【解析】題目求的是邊的比值，一般來說可以通過分別求出每條邊的值再作比值，也 可以通過三角形的面積比來做橋梁，但題目沒告訴我們邊的長度，所以應(yīng)該 通過面積比而得到邊長的比.本題的圖形一看就聯(lián)想到燕尾定理，但兩個燕 尾似乎少了一個，因此應(yīng)該補(bǔ)全，所以第一步要連接 OC.連接OC .例6【解析】因?yàn)锽D: DC 2:1 ,根據(jù)燕尾定

14、理，S aob : S 又AE: EC 1:3 ,所以 S AOC 4S AOE 則 S AOBaoc BD: BC 2:1,2S AOC 2 4S AOE所以O(shè)B:OES AOB : S AOE 8:1 .（2009年清華附中入學(xué)測試題）如圖，四邊形ABCD是矩形，BC上的點(diǎn)，且 AE 1AB , CF 1 BC , AF與CE相交于 G ,若 34即 S AOB 2S AOC ；8S AOE ,E、F分另U是AB、 矩形ABCD的面積為120,則 AEG與 CGF的面積之和為 .（法1）如圖，過F做CE的平行線交 AB于H ,則EH : HB CF : FB 1:3 ,所以AE所以Saeg

15、1 EB213S ABFAG:GF AE:EH 2 ,即 AG且 EG -HF 33 EC2 3 1 一一 Sx ABCD9 4 2EC , CG2則 S CGF1 SS AEG2所以兩三角形面積之和為10 5 15.（法2）如上右圖，連接AC、BG .根據(jù)燕尾定理, S ABG : S ACG BF :CF1而 S ABC - SXABCD 60 ,2S BCG : S ACGBE: AE【例7】以 S ABG, S ABC3 2 1'1 一 一 一貝 U S AEG - S ABG 10 , S CFG 31-60 30 , 2一S bcg 5 , 4S BCGS ABC60 20

16、 ,所以兩個三角形的面積之和為15 .如右圖，三角形 ABC中，BD: DC 4:9CE: EA求 AF:FB .12: 27根據(jù)燕尾定理得S aob S aoc BD:CD 4:9（都有AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 SA AOC : SABOC 27:16 AF : FB【點(diǎn)評】本題關(guān)鍵是把4AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)， 我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【鞏固】 如右圖，三角形 ABC中，BD:DC 3:4, AE:CE 5:6 ,求AF : FB.【解析】 根據(jù)燕尾定理得 Saaob : S；Aaoc

17、 BD：CD 3: 4 15:20（都有4AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 SA AOC : S BOC 20 :18 10:9 AF : FB【鞏固】 如圖， BD:DC 2:3,AE:CE 5:3，貝 U AF : BF 【解析 I 根據(jù) ）、尾 ：-理有 8 ABG , 八、ACG 2 , 3 1 * 5 , 8 ABG . SA bcg 5:3 10:6，所以SA ACG : SABCG 15； 6 5:2 AF : BF【鞏固】 如右圖，三角形 ABC中，BD:DC 2:3, EA:CE 5:4,求AF: FB.【解析】 根據(jù)燕尾定理得SAAOB : SAaoc BD:CD

18、 2:3 10:15（都有4AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 SA AOC : SABOC 15:8 AF ： FB【點(diǎn)評】本題關(guān)鍵是把4AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)， 我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【例8】（2008年“學(xué)而思杯”六年級數(shù)學(xué)試題）如右圖，三角形ABC中，AF : FB BD:DC CE : AE 3:2,且三角形 ABC的面積是1,則三角形 ABE的面積,三角形AGE的面積為,三角形GHI的面積為【分析】 連接AH、BI、CG .由于CE: AE 3:2 ,所以AE根據(jù)燕尾定理,S ACG

19、: S ABG : S BCGS ACG : S ABG4:6:9 ,則222一 AC，故 S ABE一 SABC一；555CD: BD 2:3, S bcg :S abg CE:EA 3: 2 ,所以S ACG 19SBCG 旦;19那么 SAGE -SAGC 2 -；55 19 95同樣分析可得 S ach_9，則 EG:EH S ACG : S ACH 4:9 , EG: EB S ACG : S ACB 4:19,19所以 EG:GH :HB所以 S BIE S BAE10【鞏固】如右圖，三角形積是1 ,求三角形4:5:10 ,同樣分析可得 AG:GI : ID 10:5:4,A 2

20、1 S AS,S GHI S BIE10 5 519ABC 中，AF :FB BD:DCABC的面積.5 1119 5 19 .CE:AE 3:2,且三角形 GHI的面【解析】連接BG SA AGC6份根據(jù)燕尾7E理，SA agc : SA bgcAF : FB 3:2得SA BGC 4（份）,SA ABG 9（份）,則SABC6:4, SA abg : SA AGCBD : DC19（份），因此且厘且，SA ABC193: 2 9:6同理連接AI、CH得產(chǎn)SA ABC6SA BIC19 ' SA ABCg19所以SA ABC19 6 6 611919三角形GHI的面積是1,所以三角形

21、ABC的面積是19【鞏固】（2009年第七屆 CE 2EB , AF【分析】如圖，連接AI . 根據(jù)燕尾定理，“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽六年級）如圖,2FC ,那么ABC的面積是陰影三角形面積的S BCI :S ACI BD： AD 2:1,S bci : S abi CF : AF所以,那么,SbciS ACI ： S BCI ： S ABI2S1 2 41:2:4,2sABC S ABC 7同理可知ACG和ABH的面積也都等于面積等于ABC面積的倍.【鞏固】如圖在4ABC中，空DBEAECFBFAABC 中 BD 2DA , 倍.ABC面積的1 ,所以陰影三角形的ABC的面積是陰影三角形面

22、積的7:，求的值.【解析】連接BG設(shè)Sabgc 1份，根據(jù)燕尾定理Saagc ： Sabgc AF ： FB 2：1,S.bg： &agc BD ： DC 2:1 彳導(dǎo) Sagc 2（份）,SA ABGS ABHSA ABC所以4（份），則Sabc7（份），因此產(chǎn) 2,同理連接AI、CH得SAABC72 Se27，Sa abc7，& GHI 722 21SA ABC77【點(diǎn)評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形,雖然形狀千變?nèi)f化，但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理 得到”的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我們有對稱法作輔助線【鞏固】如圖

23、在MBC中，型且里1,求的面積的值.DB EC FA 3 ABC 的面積【解析】連接BGK Sabgc 1份，根據(jù)燕尾定理SA AGC ： SA BGCAF ：FB 3:1 , SAabg ： SaagcBD：DC 3:1,得工 agc 3（份），&abg 9（份），則&ABC13（份），因此 J 2,同理連接AI、CH導(dǎo)SA ABC13SA ABC13,SA BICSA ABC3_13所以、SA ABC13 3 3 341313【鞏固】 如右圖，三角形 ABC中，AF : FB BD: DC CE:AE 4:3 是74,求角形GHI的面積.且三角形ABC的面積【解析】連接BG

24、 SA agc 12份根 據(jù) 燕 尾 定 理SAAGC ： SA BGC AF ： FB 4 :312:9& ABG ： SAAGCBD :DC 4:3 16:12得SA BGC9（份）， SAABG 16（份），則SAABC9 12 16 37（份），因此SA AGCSA ABC1237同理連接AI、CH得運(yùn)回SA ABC12SABIC37 ' SA ABC所以S GHISA ABC37 12 12 12137371237三角形ABC勺面積是74,所以三角形GHI的面積是74工237【例9】兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形，如圖所示，三個三角形的面積 分別是3, 7

25、, 7,則陰影四邊形的面積是多少？【解析】方法一：遇到?jīng)]有標(biāo)注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點(diǎn)標(biāo)注字母，方便后面的計算.再看這道題，出現(xiàn)兩個面積相等且共底的三角形.設(shè)三角形為所以三角形ABC, BE和CD交于F ,貝U BF FE ,再連結(jié) DE .DEF的面積為3.設(shè)三角形ADE的面積為x ,AD : DB x方法二：設(shè)SA ADFx ,10 ：10 ,所以根據(jù)燕尾定理再根據(jù)向右下飛的燕子，有 (x 3x 15,四邊形的面積為18.SA ABF : SA BFCSA AFE : SA EFC ，得至U SA AEFx 3 ,7) :7 x:3 ,解得x 7.5四邊形的面積為77.5

26、 7.5 3 18【鞏固】右圖的大三角形被分成5個小三角形，其中4個的面積已經(jīng)標(biāo)在圖中，那么，陰影三角形的面積是 .【解析】方法一：整個題目讀完，我們沒有發(fā)現(xiàn)任何與邊長相關(guān)的條件，也沒有任何與高或者垂直有關(guān)系的字眼，由此，我們可以推斷，這道題不能依靠三角形 面積公式求解.我們發(fā)現(xiàn)右圖三角形中存在一個比例關(guān)系：2:“影1 3 :4 ,解得阿影2.方法二：回顧下燕尾定理，有 2:0影4) 1:3,解得S陰影2.4個三角形的面積，問三【例10】如圖，三角形ABC被分成6個三角形，已知其中角形ABC的面積是多少？【解析】設(shè)&bofx,由題意知BD:DC 4:3根據(jù)燕尾定理3rl 33SA AB

27、O ： SA ACO SA BDO ： SACDO 4 ：1 2 3 ,所以 SA ACO(844，得x)363 -x ,再根據(jù)SAABO : SA BCOSA AOE : SA COE , 列方程(84 x) :(4030) (63:x到35解得x 56SAAOE : 35 (56 84): (40 30)，所以 8aoe 7056 70 315所以三角形ABC勺面積是84 40 30 35【例11】三角形ABC的面積為15平方厘米，D為AB中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，求陰影部分的面積.【解析】令BE與CD的交點(diǎn)為 M Cg EF的交點(diǎn)為N,連接AM BN在 ABC 中，根據(jù)燕尾定理，

28、SA ABM : SA BCM AE :CE 1:1 ,SA ACM : SA BCMAD: BD 1:1 ,所以SA ABM SA ACM SA BCN - SA ABC 3所以Sa BCN1s-Sa BCE21s 411 ABC , SA BNE- SABCE- S ABC48,因?yàn)锽M:ME 2:1 ,F 為 BC中所以SA BMN所以2s 31公BNE1sS ABC8一 SAABC , SA BFN12111- SABNC22 41sSA ABC ,8【例12】如右圖,-SA ABC12 85 SASA ABC245一 15 3.12524（平方厘米） ABC中，G是 AC的中點(diǎn)，D、

29、E、F是BC邊上的四等分點(diǎn)， AD與BG交于 M , AF與BG交于N ,已知 4ABM的面積比四邊形 FCGN的面積大7.2 平方厘米，則 ABC的面積是多少平方厘米？【解析】 連接CM、CN .根據(jù)燕尾 7E 理，SA ABM : SA CBM AG :GC1:1 , SA ABM : SA ACMBD :CD 1:3 ,所以1.SA ABM- SA ABC ,5再根據(jù)燕尾定理,Sa abn : Sa cbnAG : GC所以 AN:NF 4:3SAANG,那么SA AFC1:1 ,所以SAABN : SA FBNSA CBN : SZXFBN4:3 ,2 一2 ,所以2Sfcgn1&am

30、p; AFC75 iSAABC7 4亙&ABC. 28根據(jù)題意，有1SAABC SAABC 7.2 ,可得S ABC 336 （平方厘米） 528【鞏固】（2007年四中分班考試題）如圖，ABC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F是邊BC的三等分點(diǎn)，若ABC的面積為1,那么四邊形CDMF的面積是【解析】由于點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F是邊BC的三等分點(diǎn),如果能求出BN、 NM、其中當(dāng)然也包括四MD三段的比，那么所分成的六小塊的面積都可以求出來,邊形CDMF的面積.連接CM、CN .根據(jù)燕尾定理,S ABM : S ACM BF : CF 2 :1 ,而S ACM2S ADM , 所以S A

31、BM 2S ACM 4S ADM,那么 BM 4DM，即 BM - BD . 5那么S BMFBM BF S BCDBD BC,新邊形CDMF 15另解：得出S ABM 2S ACM 4S ADM 后, 可得s ADM21ss ABD5151301則SI邊形CDMF112_S ACF S ADM31030【例13如圖，三角形ABC的面積是1, BD DE EC, CF FG分成9部分，請寫出這9部分的面積各是多少？GA,三角形ABC被【解析】設(shè)BG與AD交于點(diǎn)P, BG與AE交于點(diǎn)Q BF與AD交于點(diǎn)M BF與AE交于點(diǎn)N.連接 CP CQ CM CN根據(jù)燕尾 7E 理，SA ABP : SA

32、CBPAG :GC 1: 2 ,SA ABP : SA ACPBD ：CDSA ABP 1（份），貝USA ABC 1 2 2 5（份），所以 SAABP一5同理可得，S ABQ- , SA ABN,而 SA ABG-,所以723S 2SA APQ1 w,5 35S121S AQG 3 7 21同理，S»A BPM-Sa bdmSH邊形 MNED【鞏固】如圖,13ABC353935 70,T 以 SI邊形 PQMN21511,SI邊形 NFCE一423211254223973570 ,1。 1,SH邊形 GFNQ-63的面積為1,點(diǎn)D、E是BC邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)121F156 42、G

33、是AC邊的【解析】三等分點(diǎn)，那么四邊形 JKIH的面積是多少?連接 CK、CI、CJ .21160根據(jù)燕尾定理，S ACK : S ABK CD : BD 1:2 ,S ABK : S CBK所以S ACK : S ABK : S CBK1:2:4,為B么 SackAG:CGS AGK S31:2ACK121類似分析可得Sagi215又 S ABJ : S CBJAF : CF2:1 , S ABJ : S ACJBD: CD2:1可得Sacj那么，SCGKJ1 14 211784根據(jù)對稱性,可知四邊形 CEHJ的面積也為-的面積之和為SCGKJ2 S AGI S ABE1784842 2 1

34、15 3,那么四邊形JKIH祟所以四邊形周圍的圖形JKIH的面積【例14】619為 1 70 70如右圖，面積為1的 ABC中 AH:HI:IB 1:2:1,求陰影部分面積.BD:DE:EC 1:2:1 , CF :FG: GA 1:2:1 ,設(shè)IG交HF于 M , IG交HD于N , DF交EI于P .連接 AM ,IF.9. AI : AB 3: 4 , AF : AC 3: 4 ,Saaif-&abc，16, SA FIM:SAAMFIH : HA 2 ,SAFIM : S»AAIMFG :GA 2 ,S»A AIM19-SA AIFSA ABC. AH :

35、AI 1:3464. SA AHM364S»A ABC ,. AH:AB 1:4AF : AC 3: 4 Sahf316S»A ABC.同理SA CFDSA BDHSA ABC- -SA FDH167_16S»A ABCHM : HF: AI :AB 3: 4,AF : AC 3:4,IF IIBC ,又 IF:BC 3: 4, DE : BC 1:2,.DE : IF 2:3, DP : PF 2:3 ,3 364,16同理 HN : ND 2:3: HM : HF 1:4 , HN : HD 2:5 ,.1-S»A HMN- SAHDF107160S

36、A ABC7160同理6個小陰影三角形的面積均為7160陰影部分面積 -80【例15】如圖，面積為l的三角形 ABB, D E、F、G H I分別是 AB BG CA的 三等分點(diǎn)，求陰影部分面積.【解析】三角形在開會，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!令BI與CD的交點(diǎn)為M AF與CD的交點(diǎn)為N, BI與AF的交點(diǎn)為PBI與CE的交點(diǎn)為Q連接AM BN CP求金邊形ADMI :在 ABC中，根據(jù)燕尾定理,設(shè) Saabm1（份）,則 Sa cbmSa ABM ：SacbmAI ：CI 1:2 Sa acm ： Sa cbmAD : BD 1:22（份），$ACM 1（份）sABC

37、4 （仿），所以Sa ABMSa ACM1s 4所以& ADM ABM 311Sa abc , Sa aim Sa abc ,1212所以時邊形ADMIJ 2）S12 12121s 6ABC ,同理可得另外兩個頂點(diǎn)的四邊形面積也分別是ABC面積的'1: 2以 Sa adn- Sa abn - Sa ABC33 7Sa ABC，同理211Sa BEQ Sa ABC21在4ABC中，根據(jù)燕尾定理Sa abp : Sa acpBF : CF 1:2, Sa abp : Sacbp AI : CI 1: 21 _所以Sa ABPSa ABC5所以邑邊形 DNPQE & ABP SA ADNSabep5 21111SA ABCSA ABC21105同理另外兩個五邊形面積是 ABC面積的111051113-3 一 3 610570求 S邊形 DNPQE : 在 ABC中，根據(jù)燕尾定理SA ABN ：SAACNBF ： CF 1： 2 SA ACN ：