數(shù)列基礎(chǔ)知識點和方法歸納

1、數(shù)列基礎(chǔ)知識點和方法歸納1.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an1 an d ( d為常數(shù))，ana,n 1 d ,推論公式：？?=?+(?) ?(? ?, n > m)等差中項：X, A, y成等差數(shù)列2A xy,?=?-1+?+1,2?= ?.1 + ?+1(?> 2)等差數(shù)列前n項和：Sna1 an nna12性質(zhì)：an是等差數(shù)列(4)數(shù)列n p q,貝U am an apaq；(下標(biāo)和定理)注意：要求等式左右兩邊項數(shù)相等a2n 1 J a2n j a2n 1 仍為等差數(shù)列，Sn, S2nSn,S3nS2n 仍為等差數(shù)列，公差為n2d ;若三個成等差數(shù)列，可設(shè)為a d, a, a

2、d ；am若an, bn是等差數(shù)列，且前n項和分別為Sn,，貝UbmS2m 1T2m 1an為等差數(shù)列Sn an2 bn(a, b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù))Sn的最值可求二次函數(shù)Sn an2bn的最值；或者求出an中的正、負(fù)分界項,即：當(dāng)ai 0, d 0 ,解不等式組anan 100可得Sn達(dá)到最大值時的n值.,an當(dāng) a10, d 0 ,由an 100可得Sn達(dá)到最小值時的n值.(6)項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列an有S2nn(a1a2n) n(a2a2n 1)n(an an 1)(an,an 1 為中間兩項)nd ,(7)項數(shù)為奇數(shù)2n 1的等差數(shù)列an有S2n 1(2n 1)

3、an(an為中間項)an2. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義:an 1q ( q為常數(shù)，qan0），an qqn1.推論公式：？?=?（?？,?？ ?且 n > m）等比中項：X、G、y成等比數(shù)列G Xy'或GJxy.等比數(shù)列中奇數(shù)項同號，偶數(shù)項同號2?=等比數(shù)列前n項和公式：?= 1）?=?（?_?-?（?k 1）1-?1-?性質(zhì)：an是等比數(shù)列(1) 若m n p q，則am- an apaq (下標(biāo)和定理)注意：要求等式左右兩邊項數(shù)相等。(2)Sn, S2nSn, SsnS?.仍為等比數(shù)列，公比為q"。.(3) an是正項等比數(shù)列，則?是等比數(shù)列。注意：由Sn求an時應(yīng)

4、注意什么?n 1 時，ai Si ；3. 求數(shù)列通項公式的常用方法（1）定義法求通項公式（已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列）（2）已知Sn與n的關(guān)系 或Sn與an的關(guān)系時求ananSnS1(n 1)Sn 1( n 2)例：數(shù)列口的前挖項和£嚴(yán)求數(shù)列仏J的通項公式；解：當(dāng)K =時 = & = 2當(dāng)起2時線=二數(shù)列的通項公式為 練習(xí)：設(shè)數(shù)列的前"和為沉且凡二宀4求數(shù)列仏的通項公式。（3）求差（商）法1 1例：數(shù)列 an ,豕a? 2n 5，求 an114解：n 1 時，2印 2 1 5 , a1an 2n 514(n 2n1(n 2)1) 1 1n 2 時， 一 a12 a

5、22 2練習(xí)：在數(shù)列?中，?= 1, ?+?!+?= ?(?鄉(xiāng)),求數(shù)列?的通項公式。形女口 an can 1d (C、d為常數(shù)，c 0, c 1, d 0 )的遞推式。(4)累乘法形如警=?的遞推式?由52anf(n),則聖a1f(2)丄 Lf(n)an兩邊分別相乘得,an 1a1ainf(k)k 1例：數(shù)列an中,ai3,an 1an求an解生豈a1a2anan 1aai1又 a13, /. ann練習(xí):已知? = 3, ?+i =3?-13?+2?> 1),求數(shù)列?的通項公式。(5) 累加法形如？?+1- ?= f(?的遞推式。anan 1 f (n),a1a0，求an，用迭加法2

6、時,a2a3aia2f(2)f(3)兩邊相加得an a1f(2) f (3) f(n)anan 1f(n)an ao f(2)f(3)f(n)例:已知數(shù)列滿足?= 1,?= ?-1 + 3?- 2(?2) ,(1)求?與?的值。(2) 求數(shù)列的通項公式練習(xí)：已知數(shù)列中，皿產(chǎn)2 ,如-廿厶-2 = 0 (譏礦).求數(shù)列唧的通項公式;(6) 構(gòu)造法可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an x c an 1 x an can 1 c 1 xpl令(c 1)x d，二 xc 1an 是首項為a1 , c為公比的等比數(shù)列c 1c 1d- an C1aidn 1.dn 1 d； c ，an q- c-c 1c 1c 1例

7、已知數(shù)列滿足口丄=1,比吐=紐+1(丼色.求數(shù)歹何的通項公式;解1)%計 紐+1，"“ +1 =絕"+1)，卅產(chǎn)1，故數(shù)列M十。是首項為，公比為的等比數(shù)列,肌*=尸，因此訃Z1練習(xí)1:已知數(shù)列?中?= -,?+1 = 3?+ 3,求數(shù)列an的通項公式。練習(xí)2:已知數(shù)列an滿足an 1 2an 3 5n，內(nèi)6，求數(shù)列an的通項公式。(7) 倒數(shù)法例:a11， an 12anor?，求an由已知得：an 1an 22 an21 ._，anan 1丄an1 1為等差數(shù)列，一1 ,-ananaian練習(xí)：已知數(shù)列的首項,?= 1。?+i曇(？?)求數(shù)列儀的通項公式。? ?+2總結(jié)：

8、公式法、利用 anS1(n 1)Sn 1 ( n 2)、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比an 1pan q 或an 1 pan f(n)、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法。4. 求數(shù)列前n項和的常用方法(1)定義法：如果已知數(shù)列為等差或者等比數(shù)列，這用對應(yīng)的公式求和等差數(shù)列前n項和：Snnaj等比數(shù)列前n項和公式：?= 1)?= ?(-?> . ?-?(?, 1)1-?1-?1 + 3+ 5+ ? + (2?7 1) = ?常見公式：? = E；?=1 ?= 2 ?% 1)12 + 22 + 32 + ? + ? = 1?% 1)(2?+ 1) ,13 + 23 + 33 + ? + ?=

9、;?+ 1)2(2)錯位相減法給?= ?+ ?+ ? + ? + ?兩邊同乘以一個適當(dāng)?shù)臄?shù)或者式，然后把所得的等式與原等式相減，對應(yīng)項互相抵消，最后得出前n項的和？為一般適用于an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，求數(shù)列 anbn (差 比數(shù)列)前n項和，可由Sn qSn，求Sn，其中q為bn的公比.22例：Sn 1 2x 3x4x3n 1 nxcc 2 c 3X Sn x 2x 3x4x41 xn1nnx一1x Snxn1nnxx 1 時，Snnnx練習(xí)：已知數(shù)列是等差數(shù)列,1 時，Sn12 3 tAJ是等比數(shù)列，且口產(chǎn) = 2瓦=54 Of +莊2 +碼=婦+鳥(1)求數(shù)列和的通項公式(2)數(shù)列

10、滿足G =勺氏，求數(shù)列9的前耳項和'x(2)裂項法把數(shù)列的通項公式拆成兩項差的形式，相加過程中消去中間項,只剩下有限項再求和。常見形式：若an是公差為d的等差數(shù)列，則?+1?(4-喬)(2?-1 )(2?+1)1如:解:?+1)(?+2)=；(12、？+1)v?+v?11 制皿v?)(?+1)(?+2)5?+?= ?("丹？7 "?)an是公差為d的等差數(shù)列，求由ak akak akd akk 1 akak 1k 1 d akak 1k 1 akak 1ak 1da1a2a2a3an an 1a1an 1練習(xí):已知數(shù)列S J的前n項和=宀2"求數(shù)列的通項公式;的前n項和石。(3)倒序相加法把數(shù)列的各項順序倒寫,再與原來順序的數(shù)列相加求?的通項公式,求?+ ?的前n項和飾Sna1Snana2an 1an 1a2ana1相加2snaiana2an 1aian練習(xí)已知f(x)2Xr XX22X2Xf(1) f(2) f1由 f(X) f X原式 f(1)f(2)f(3)f11 32(3) 分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，若將這個數(shù)列適當(dāng)