數(shù)值分析課后題答案

1、第二章2.當 X 1, 1,2 時，f(x)解:X01,X11,X20,f (X1)f(Xo)2,3,f(X2)12(X)(XX1)(XX2)(X0X1)(X0X2)(XX0)(XX2)(X1X0)(X,X2)(XX0)(XX1)lo(X)li(x)(X2 Xo)(X2 X1)則二次拉格朗日插值多項式為2L2(x)ykik(x)k 06設(1)證明(1)數(shù)值分析0, 3,4,求f(X)的二次插值多項式。4；1-(X 1)(x 2)23(x3l0(x) 4l2(x)1 4 -(X 1)(x 2) -(X2 35 2 -X637-X 一231)(x1)(x1)(x2)1)1)Xj, J0,1,L

2、n為互異節(jié)點，求證:Xjkl j (X) Xkj 0(k0,1 L , n);(Xjx)klj(x) 00(k 0,1,L ,n);令 f(x) xk若插值節(jié)點為xJ, J 0,1,L,n，n k則函數(shù)f (X)的n次插值多項式為 J(x)xklj(x)。j 0插值余項為Rn(x)f(x)Ln(x)(n 1)!n 1(X)又Q k n,f(n1)()Rn(x)0nxklj(x)j 0xk (k 0,1,L ,n);n(Xj x)klj(x)j 0n n(C?xj( x)ki)lj(x)j 0 i 0 nnik iiCk( X) (Xjlj(x)i 0又Q0 in 由上題結(jié)論可知nxfl j (

3、x)j 0原式i(X X)k0i ,、k i iCk( x) x得證。7 設 f（X）2C2 a,b 且 f (a) f (b)0,求證:max f (x)a x b-(b a) max f (x).8a x b解：令X0a, Xib,以此為插值節(jié)點，則線性插值多項式為xx,f(x 10)x0 x1f(a)Ta bf(b)-ax a又 Q f (a) f(b) 0 Li(x)01插值余項為 R(x) f (x) l_1(x) - f (x)(x x0)(x x,)又Q (x X0)(x Xi)2 (x xo)(Xi2x)4(x1Xo)24(ba)2maxa x bf(x)a)2 maxi f(

4、x)&在4 X4上給出f（x） ex的等距節(jié)點函數(shù)表，若用二次插值求ex的近似值，要使截斷誤差不超過10 6，問使用函數(shù)表的步長 h應取多少?解：若插值節(jié)點為 x 1,xi和xi 1，則分段二次插值多項式的插值余項為i 1,1Rdx)3! f ( )(x Xi 1)(x X)(x Xi 1)3!(X Xi 1)(X6R2（X）x)(x Xi 1)max f (x)設步長為h,即 xi 1 xih,x 1 Xi hR2（X）1e4 2h36 3/3若截斷誤差不超過10 6，&(x)| 10 6Vs 4 36e h 1027h 0.0065.9.若 yn 2n,求 4yn及4yn.

5、，解：根據(jù)向前差分算子和中心差分算子的定義進行求解。yn 2n44yn (E 1) yn44(j 04(j 04(j 01)j1)j1)j(21)4ynE4 jyny4 n24 jynyn2n14yn (E21E 2)4yn1(E 2)4(E 1)4ynE24ynyn2n16. f(x)X7X43x1,求 F 20,21,L ,27 及 F 20,21,L ,28 。解：Q f(x)X7X4 3x 1若 x 2i,i0,1,L,8則 f Xo,Xi,L,Xnf(n)()n!f Xo,Xi,L,X7(7)()7!7! 1 7!f X0,X1,L ,X8f(8)()8!19 . 求一個次數(shù)不高于

6、4次的多項式 P ( X)， 使它滿足P(0) P (0)0,P(1) P (1) 0,P(2)解法一：利用埃米爾特插值可得到次數(shù)不高于4的多項式X 0,X11y。0, y1 1m。 0,m,1H3(x)yj j(x)mj j(x)j 0j 0具有3次代數(shù)精度。i(X)(30(X)i(X)X(X 1)2(X 1)x22 2H3(x)(3 2x)x (X 1)xX32X22設 P(x) H3(x) A(x X0)(XXi)2o(x)(121)( j)2Xo Xi Xo Xi(1 2x)( X 1)2(1 21)( j2 Xi Xo Xi Xo2x)x2其中，A為待定常數(shù)QP(2)1P(x)X3

7、2X2 Ax2(x 1)2從而P(X)lx2(x 3)2解法二：采用牛頓插值，作均差表:一階均差二階均差00111210-1/2又由得 所以第四章1.確定下列求積公式中的特定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所 具有的代數(shù)精度：hh f(x)dx2h2hf(x)dxiif(x)dxh0 f(x)dxAif( h) A0f(O) Af(h)；Aif(f( 1)hf(O)h) Aof(O) Af(h)；2f(xi) 3f(X2)/3;f(h)/2 ah2 f (0) f (h);解：m的多項求解求積公式的代數(shù)精度時，應根據(jù)代數(shù)精度的定義，即求積公式對于次數(shù)不超過式均能準確地成立，但

8、對于m+i次多項式就不準確成立，進行驗證性求解。h(i )若(i) f (x)dx Aif( h) Ajf (0) Af(h)hf(x)則 2h Ai A Aif(x)f(x)則Ih3h2Ai h2Ai從而解得令 f (X)AoAiAix34h-h3ih3f (x)dx：x3dx 0Aif( h) Aof(O) Aif(h)f(x)dxif(h)Ajf (0) Af(h)成立。令 f (x)x4hhf(x)dxhx4dx2h55Aif (h)Af (0)Aif(h)Ih5故此時,hhf(x)dxAif(h) A0f(0) A,f(h)A1h Ahh故 h f (x)dx A if ( h) A

9、0f(0) Af(h)(2 )若2hf (x)dx2hA1f( h) AJ(0) A1f(h)令 f (x)1，則 4hA1A0A1令 f (x)x，則0A1h Ah令f(x)2 x16 32?則一h3h2A1 h2A134h3從而解得Ai8h38h3f(x)x32h2hf(x)dx2h x3dx 02hAif( h) Aof (0) Af(h) 02h2hf(x)dxAif(h) Aof(O)A1f(h)成立。f (x) x4，則2h2h f(x)dx2h .x4dx2hAif(h) Aof(O)Af(h)1fh5故此時,2h2hf(x)dxAif( h) Aof(O)Af(h)因此,2h2

10、h f (x)dx A1f( h) A0f (0) Af(h)具有3次代數(shù)精度。(3 )若11f(x)dx f( 1) 2f(X1)3f(X2)/3f(x)11，則 1 f (x)dx2f( 1) 2f(x,)3f (X2)/3f(x)2x1 3x2f(x)x2，則 212 22x1 3x2從而解得為 0.2899亠或X?0.5266XiX20.68990.1266令 f(x)3x，則11 f (x)dx'x3dx 01f( 1) 2f(xi) 3f(X2)/ 3 03f (x2)/ 3不成立。因此，原求積公式具有2次代數(shù)精度。h(4 )若0 f(x)dxhf(O) f(h)/2ah2

11、 f (0) f (h)令 f (x)1，則h0 f (x)dxh,hf(0)f(h)/2 ah2 f (0) f (h) h令 f (x)h0 f(x)dxhxdx0Ih22h f (0)f(h)/22ah f (0)f (h)1h2令 f (x)，則h0 f(x)dxhx2dx -h303h f (0) f (h)/ 2 ah2 f (0)f (h)1 3 2-h 2ah2故有1h31 32-h 2ah2丄12f(x)x3，則h0 f(x)dx3dx0h f (0)丄h441 2f(h)/2 -h2f(0)12f (h)2h44h41h44令 f(x)，則h 4 .1.5x dx - h0

12、51 2 hf(0) f(h)/2 12hf(0)h0 f(x)dxf (h)1h5»51h5故此時，h0 f (x)dx h f (0)f(h)/21 2h2f (0) f 12h12因此，0f(x)dx hf(0) f(h)/2 -h2f(0) f(h)(h),具有3次代數(shù)精度。7。若用復化梯形公式計算積分1I eXdx，問區(qū)間0,1應多少等分才能使截斷誤差不超過010 6 ？解:采用復化梯形公式時，余項為R(f)b a 2h2f12()，(a,b)eXdx0故 f(x)ex, f (x) ex,a0,b1-h2 f ()12旦h212110 6，則當對區(qū)間0,1進行等分時，h丄

13、,若 |Rn fnRn(f)1因此，將區(qū)間476等分時可以滿足誤差要求第五章2.用改進的歐拉方法解初值問題取步長h=計算，并與準確解相比較。近似解準確解近似解準確解3、解：改進的歐拉法為1yn1jmXnyn) f(Xn1'yn hf(Xn'yn)將 f(X, y)X2y代入上式，得同理，梯形法公式為h -yn2h 1 hxn11 XiXi2yn 12Jh2 hyn 丸Xn(1 Xn) Xn1(1 X. J0,0-1 代入上二式，計算結(jié)果見表9 5表9 5x n改進歐拉yn|y(Xn) Yn l梯形法yn|y(xn) yn |0. 10. 0055000. 00523809540

14、. 20 . 00.337418036 10 30 . 00.755132781 100. 30 . 030 . 030. 40 . 00.658253078 100 . 00.136648778 100. 50 . 70 . 80.962608182 10 30.185459653 10 30.125071672 10 20.223738443 10 30.152291668 10 20.253048087 10 3可見梯形方法比改進的歐拉法精確。4、用梯形方法解初值問題證明其近似解為 并證明當時，它原初值問題的準確解。證明：梯形公式為yn 1hyn hf(xn，yn)f 1' 1)

15、代 f (x, y)y入上式，得解得yn 12(2hh)yn因為y。，故ynyn 1 yn h2 h 2(齊)yn 1h)n(2 hyn yn l2 h n 1(訂)y0以h為步長經(jīng)n步運算可求得 y(x) 的近似值yn ,故nh, nxh'代入上式有yn (| h2 h - h叫yn阿訂)h2h2h 劊 2h x2h )2h 2Th2 h)10.證明解的下列差分公式是二階的，并求出截斷誤差的首項。,代入得，截斷誤差首項為。12.將下列方程化為一階方程組:1) (1)，其中。2) (2)，其中。第六早1、用二分法求方程的正根，要求誤差小于.解 設，故1,2為的有根區(qū)間.又，故當時，單增

16、，當時單增.而，由單調(diào)性知的惟一正根.根據(jù) 二分法的誤差估計式知要求誤差小于，只需，解得，故至少應二分6次.具體計算結(jié)果見表7-7.表7-7012-12+2+3-4-5-即.3、為求在附近的一個根，設將方程改寫成下列等價形式，并建立相應的迭代公式：(1) ，迭代公式；(2) ，迭代公式；(3) ，迭代公式.試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根.解取的鄰域，來考察.(1) 當時”故迭代公式在上整體收斂.(2) 當時故在,上整體收斂.故發(fā)散.由于(2)的L叫小，故取(2)中迭代式計算.要求結(jié)果具有四位有效數(shù)字，只需取計算結(jié)果見表7-8.表7-8123456由于,故可取7、用下列方法求在附近的根.根的準確值，要求計算結(jié)果準確到四位有效數(shù)字(1)用牛頓法；用弦截法，?。?3)用拋物線法，取.解，對(1)取,用牛頓迭代法 計算得，故.(2)取,利用弦截法 得”故取.(3)