立體幾何10道大題

1、立體幾何練習(xí)題1.四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面面，已知，1）設(shè)平面與平面的交線為，求證：；5.BC 2 AD ，AB/ DC AB丄求證：；求直線與面所成角的正弦值2.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形， AD=AC=1 0為AC的中點(diǎn)，P0平面ABCD P0=2 M為PD的中點(diǎn)。（1）證明：PB如圖，四棱錐 P ABCD中， ABC BAD 90 , PAB與 PAD都是等邊三角形.1）證明： CD 平面 PBD ；2）求二面角 C PB D 的平面角的余弦值4.如圖，四棱錐 P-ABCD中, PA1底面ABCD AC丄AD底面ABCD為梯形,BC PA=AB=BC

2、=3 點(diǎn) E 在棱 PB上，且 PE=2EB求證：平面 PABL平面PCB(n)求證：PD/平面EAC（川）求平面 AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值.如圖3已知矩形 ABCD所在平面垂直于直角梯形 ABPE所在平面于直線AB 3平面AB ，且ABCD I 平面 ABPE AB，且 AB BP 2 , AD AE 1 , AEAE/BP (1)設(shè)點(diǎn)M為棱PD中點(diǎn)，在面 ABCD內(nèi)是否存在點(diǎn) N，使得MN平面 ABCD ？若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)求二面角D PE A的余弦值.6.如圖，在直三棱柱 ABC- ABC中，平面 AiBC丄側(cè)面 AiABB,且AA=AB=2(1)

3、求證：AB丄BC(2)若直線AC與平面AiBC所成的角為，求銳二面角 A- AiC- B的大小.7.在四棱錐V- ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面 VAD是正三角形，平面VADL底面 ABCD(1)求證AB丄面VAD(2)求面VAD與面VDB所成的二面角的大小.8.如圖，在五面體 ABCDE中，四邊形 ABCD為菱形，且/ BAD=，對(duì)角線AC與BD相交于O, OF丄平面 ABCD BC=CE=DE=2EF=2(I)求證：EF/ BC(n)求面AOF與平面BCEF所成銳二面角的正弦值.9.如圖，在四棱錐 P- ABCD中，底面為直角梯形，AD/ BC / BAD=90 , PA丄底面AB

4、CD且PA=AD=AB=2BCM N 分別為 PC PB的中點(diǎn).(I)求證：PB丄DM(n)求BD與平面ADMN所成的角.10.如圖，在等腰梯形 ABCD中，AB/CD , AD DC CB 1, ABC 60°，四邊形ACFE為矩形，平面 ACFE 平面 ABCD， CF 1.1)求證： BC 平面 ACFE ；2)點(diǎn) M 在線段 EF 上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面 MAB 與平面 FCB 二面角的平面角為 (90o)，試求 cos 的取值范圍 .立體幾何試卷答案（2）證明：連接AC由余弦定理得，6分 取中點(diǎn)，連接，貝y .（川）如圖，以射線 0A為軸，以射線0B為軸，以射線 OS為軸，以為原點(diǎn)

5、，建立空間直角2、試題解析：（1 ）證明：為AC的中點(diǎn)，即0為BD的中點(diǎn)，且 M為PD的中點(diǎn),又平面ACM平面ACM,連接BD,交AC于點(diǎn)M則=2 所以PB1）證明見解析；（2）試題解析：（1）證明：過P作P0 平面ABCD于0，連0A 依題意PA PB PD , P0 面 PBD，二面則0A 0B 0D 又 ABD為Rt ，故0為BD的中點(diǎn).PBD 面 ABCD 在梯形 ABCD 中，CD2 DB2 CB2,4.【解答】（I）證明：PA1底面 ABCDBC?底面 ABCD 二 PA1BC.又 AB丄 BC PAD AB=A - BC丄平面 PAB 又BC?平面PCB 平面 PAB丄平面PCB

6、(n)證明： PC 丄 AD,BAC= , / DCA2 BAC=在梯形 ABCD中，由 AB丄 BC, AB=BC 得/ 又AC丄AD故 DAC為等腰直角三角形, DC= AC= (AB) =2AB.連接EM在 BPD中,=2,. PD/ EM又PD? /平面EAC EMf 平面 EAC PD/平面 EAC （川）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB AP所在直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A (0, 0, 0), B (0, 3, 0), C(3, 3,0),P (0, 0, 3), E (0, 2,1)=(X,y, 1）為平面AEC的一個(gè)法向量，則=(3,3, 0),= (0,

7、2, 1),1)解得x= , y=-=(X',y，1）為平面PBC的一個(gè)法向量,=(3, 0, 0),= (0,-3, 3),，解得 X' =0, y' =1,.=(0, 1,1).（取PB中點(diǎn)為F,連接AF可證 為平面PBC的一個(gè)法向量.）/ cos <平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值為注：以其他方式建系的參照給分.5. （ 1）詳見解析；（2）-3試題分析：（1）連接AC , BD交于點(diǎn)N，連接MN，證明MN 平面ABCD，從而MN 即為所求；（ 2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量后即可求解試題解析：（ 1）連接 AC BD 交于點(diǎn) N 連

8、接 MN 貝 MN 平面 ABCD/ M為PD中點(diǎn)，N為BD中點(diǎn)， MN為 PDB的中位線，二 MN/PB ,又平面ABCD 平面ABPE ,平面 ABCD I 平面 ABPE AB , BC平面ABCD，BC AB，6【解答】本小題滿分14 分）1）證明：如右圖，取AiB的中點(diǎn)D,連接AD,因 AA=AB,貝U ADXAiB由平面AiBC丄側(cè)面AiABB,且平面AiBCn側(cè)面AiABB=AB。得AD丄平面 ABC,又BC?平面ABC,所以 ADX BC.因?yàn)槎庵?ABCAiBiCi是直二棱柱,則AA丄底面 ABC 所以AA丄BC 又AA Q AD=A從而 BC丄側(cè)面 AABB,又AB?側(cè)面

9、AiABB，故AB丄BC.（2）解：連接CD由（1）可知AD丄平面ABC則CD是 AC在平面ABC內(nèi)的射影 / ACD即為直線AC與平面AiBC所成的角，則在等腰直角 AiAB中，AA=AB=2,且點(diǎn)D是AiB中點(diǎn),且， 過點(diǎn)A作AEL AiC于點(diǎn)E,連DE由（i）知 AD丄平面 ABC,貝U ADL Ac,且 AEn AD=A/AED即為二面角 A- AiC- B的一個(gè)平面角，且直角 AiAC中:且二面角 A- A1C- B 為銳二面角 ,即二面角 A- A1C- B 的大小為7.【解答】證明：（i）由于面VAD是正三角形，設(shè) AD的中點(diǎn)為E,貝U VEL ad 而面 VADL底面 ABCD

10、 貝U VE1 AB.又面ABCD是正方形，則 AB丄AD,故AB丄面VAD連AF, BF由VDB所成的二面（2）由AB丄面VAD則點(diǎn)B在平面VAD內(nèi)的射影是 A,設(shè)VD的中點(diǎn)為F ,VAD是正,貝U AFL VD,由三垂線定理知 BFL VD故/ AFB是面VAD與面角的平面角設(shè)正方形ABCD勺邊長為a ,則在 Rt ABF 中，AB=a AF=a, tan / AFB=故面VAD與面VDB所成的二面角的大小為.8. 【解答】（本小題滿分 12 分） 證明：（I）T四邊形 ABCD為菱形 AD/ BC,且 BC?面 ADEF AD?面 ADEF BC/面 ADEF 且面 ADEfA面 BCE

11、F=E F - EF/ BC.解：(n)T F0丄面 ABCD - F0 丄 AQ F0丄 OB又 OBI AQ以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A 0B OF分別為x軸, y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,取CD的中點(diǎn) M 連 0M EM 易證EM丄平面 ABCD又 BC=CE=DE=2EF=2得出以下各點(diǎn)坐標(biāo):B（ 0，1 ， 0 )， C(-， 0，0），D( 0, - 1 , 0),F( 0，0,), E(-），向量=(-），向量=（-，- 1， 0），向量設(shè)面BCFE的法向量為:，得到時(shí)，1, , 1)面A0F的一個(gè)法向量 設(shè)面AOF與面BCEF所成的銳二面角為 0,則 cos 0 =故面AOF與面B

12、CEF所成的銳二面角的正弦值為如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)BC=1,則 A (0, 0, 0) P( 0, 0, 2), B (2, 0, 0), M( 1 , 12, 1), D (0, 2, 0)(I)因?yàn)?0所以PB丄DM(n)因?yàn)?0所以PB丄AD.又PB丄DM因此的余角即是 BD與平面ADMN所成的角.因?yàn)樗?因此BD與平面ADMr所成的角為10.試題解析:(1)證明：在梯形ABCD中,/ AB/CD ,AD DC CB 1, ABC 60°, AB 2,- AC2 AB2BC2 2AB?BC?cos60o2BC , BC AC,平面 ACFE平面ABCD，平面ACFEI平面ABCD AC , BC 平面ABCD ,平面ACFE.(2 )由1)分別以直線CA,CB,CF為x軸，y軸，z軸發(fā)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,令FMuuu AB73)，則 C(0,0,0), A(屁,0), B(0,1,0), M( ,0,1),uuuuurV3,1,0), BM( , 1,1).設(shè) n1(x,y,z