“等體積代換法”

1、問題一“等體積代換法(一)多面體的體積(外表積)問題1.【上海理】 在四棱錐P ABCD中，底面是邊長為 2的菱形，/ DAB = 60二對角線AC與BD相交于點O, P0丄平面ABCD , PB與平面ABCD所成的角為60二(1)求四棱錐P ABCD的體積;【解】(1)在四棱錐P-ABCD中，由P0丄平面ABCD,得 / PB0是PB與平面 ABCD 所成的角,/ PBO=60 .在 Rt A0B 中 B0=ABsin30 =1,由 P0 丄 B0,于是，P0=B0tg60 =、3 ,而底面菱形的面積為 2 3.1四棱錐 P-ABCD 的體積 V= X2 3 X 3=2.32 【上海文】 在

2、直三棱柱ABC - ABjCj中，.ABC =90°,AB二BC =1. (2)假設AC與平面ABC所成角為45°，求三棱錐A, - ABC的體積?！窘狻?2)v AA1丄平面ABC,/ ACA 1是A1C與平面ABC所成的角，/ ACA 1=45 °./ ABC=90 , AB=BC=1 , AC= . 2 AA 1= 2。三棱錐A1-ABC的體積V=1 2SABC XAA 1 =3 6(二)點到平面的距離問題一“等體積代換法1.【福建理】 如圖，四面體 ABCD中，0、E分別是BDBC 的中點，CA 二 CB 二 CD 二 BD =2, AB 二 AD 二.2

3、.(III )求點E到平面【解】 (III )設點ACD的距離。E到平面ACDQVeacd - Va .cde ,13 hgS acd的距離為h.1-3gA0gS CDE .3在 ACD 中，CA =CD =2, AD =2,1 2 .：22 -( 2)2 =Oh = A°.S cdeS.ACD-21. 點E到平面ACD7的距離為巨2【湖北文】如圖，正三棱柱 ABC ABC的側(cè)棱長和底面邊長為1, M是底面BC邊上的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN = 2C1N。(n)求點B到平面AMN的距離?！窘狻?n)過B1在面BCC1B1內(nèi)作直線B1H _ MN , H為垂足。又AM _ 平

4、面 BCC1B1，所以 AM _ B-i H。AMN，故B1H即為B1到平面 AMN 的距離。在R BHM 中,B1H = DMsin B1MH=1。故點EB!到平面AMN的距離為1。3【湖南理】如圖4,兩個正四棱錐P -ABCD與Q -ABCD的高分別為1和2, AB =4。(III)求點P到平面QAD的距離。【解】(川)由(I)知， AD丄平面PQM，所以平面 QAD丄平面PQM。過點P作PH丄QM于H，貝U PH丄QAD，所以PH的長為點P到平面QADABC的距離。1連結(jié) 0M。因為 0M= AB=2=0Q，所以/ MQP=452又 PQ=P0+Q0=3，于是 PH=PQsin453,2

5、即點P到平面QAD的距離是。2【江西文】 如圖，三棱錐O- ABC的側(cè)圖4棱0A、OB 0C兩兩垂直，且0A=1 ,0B=0C=2 , E是0C的中點。(1 )求0點到面ABC的距離;ASAD二.OA2 0D2 = .3，在直角三角形OAD 中，有 0H =OA OD .26AD 二石盲(另解：由 Vo YABC = 3 S. ABCOH=oAOBOC=2 知：OH 6 )6335 .【山東理】 如圖，平面AiBiCi平行于三棱錐V - ABC的底面ABC，等邊 ABiC所在的平面與底面 ABC垂直，且/ ACB=90，設 AC =2a,BC =an求點A到平面VBC的距離;【解】1取BC的中

6、點D，連AD、OD。QOB =OC，那么 OD _ BC、AD _ BC, BC丄面OAD。過 O點作OH丄AD于H , 那么0H丄面ABC , OH的長就是所要求的距離。BC =2叮2， OD = OC -CD? = 2。Q 0A _ OB, 0A _ 0C, 0A _ 面 OBC，貝U 0A _ 0D。 AB1C為正三角形, BC丄平面AB1C D為EC的中點. BC _ AD,A1C1【解】n解法1 ：過A作AD _ BC于D, AD丄平面VBC ,線段AD的長即為點A到平面VBC的距離.在正 AB1C 中,ACR點A到平面VBC的距離為，3a .解法2：取AC中點0連結(jié)B10 ,那么耳0丄平面ABC，且B10 = . 3a 由I 知BC _ BQ ,設A到平面VBC的距離為x ,% -ABC