信號與系統(tǒng)第二章習(xí)題(1)

1、卷積積分法：卷積積分法：求零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng)內(nèi)容摘要 狀狀態(tài)態(tài)變變量量描描述述法法輸輸出出描描述述法法輸輸入入建建立立系系統(tǒng)統(tǒng)的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型求求解解系系統(tǒng)統(tǒng)響響應(yīng)應(yīng)定初始條件定初始條件滿足換路定則滿足換路定則起始點有跳變：起始點有跳變：求跳變量求跳變量零輸入響應(yīng)：用經(jīng)典法求解零輸入響應(yīng)：用經(jīng)典法求解零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分法求解零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分法求解 0000LLcciiuu例題 例題例題1 1：連續(xù)時間系統(tǒng)求解（經(jīng)典法，雙零法）：連續(xù)時間系統(tǒng)求解（經(jīng)典法，雙零法） 例題例題2 2：求沖激響應(yīng)求沖激響應(yīng)（nm） 例題例題3 3：求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 例題例題4 4：

2、卷積：卷積 例題例題5 5：系統(tǒng)互聯(lián)：系統(tǒng)互聯(lián)例2-1 強迫響應(yīng)。強迫響應(yīng)。狀態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)，狀態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)，并指出零輸入響應(yīng)，零并指出零輸入響應(yīng)，零，求系統(tǒng)的全響應(yīng)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)，已知已知系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為描述某描述某tuterrtettetrttrttr , 00, 206dd22dd3ddLTI22 000)(zs)()(kkkrrr分別利用分別利用 00)()(zskkrr，求零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)，需先確定微分方程的特解。求零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)，需先確定微分方程的特解。 這三個量之間的關(guān)系是這三個量之間的關(guān)系是分析在求解系統(tǒng)的完全響應(yīng)時，要用到有關(guān)的三個量是：在求

3、解系統(tǒng)的完全響應(yīng)時，要用到有關(guān)的三個量是： 0)(kr：起始狀態(tài)，它決定零輸入響應(yīng)；：起始狀態(tài)，它決定零輸入響應(yīng)； 0)(zskr：跳變量，它決定零狀態(tài)響應(yīng)；：跳變量，它決定零狀態(tài)響應(yīng)； 0)(kr：初始條件，它決定完全響應(yīng)；：初始條件，它決定完全響應(yīng)；解： 代代入入原原方方程程有有將將tute tuttrttrttr622dd3dd22 方法二方法二：用方法一求零輸入響應(yīng)后，利用跳變量：用方法一求零輸入響應(yīng)后，利用跳變量 0,0zszsrr來求零狀態(tài)響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)加上零輸入響應(yīng)等于完來求零狀態(tài)響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)加上零輸入響應(yīng)等于完全響應(yīng)。全響應(yīng)。 方法一方法一：利用：利用 0,0rr響應(yīng)，響

4、應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)等于完全響應(yīng)減去零輸入響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)等于完全響應(yīng)減去零輸入響應(yīng)。 先來求完全響應(yīng)，再求零輸入先來求完全響應(yīng)，再求零輸入本題也可以用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。本題也可以用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 方法一該完全響應(yīng)是方程該完全響應(yīng)是方程 tuttrttrttr622dd3dd22 （1） 的的解解且且滿滿足足00, 20 rr方程（方程（1）的特征方程為）的特征方程為0232 特征根為特征根為2121 ，完全響應(yīng)完全響應(yīng)方程（方程（1）的齊次解為）的齊次解為 ttAAtr221ee 因為方程（因為方程（1）在）在t0時，可寫為時，可寫為 tutrttrttr62dd3dd22

5、 顯然，方程（顯然，方程（1）的特解可設(shè)為常數(shù)）的特解可設(shè)為常數(shù)D，把，把D代入方程代入方程（2）求得）求得3 D所以方程（所以方程（1）的解為）的解為 3ee221 ttAAtr下面由沖激函數(shù)匹配法定初始條件。下面由沖激函數(shù)匹配法定初始條件。 （2）由沖激函數(shù)匹配法定初始條件據(jù)方程（據(jù)方程（1 1）可設(shè)）可設(shè) tubtattr 22dd tuattr dd 無跳變無跳變tr代入方程（代入方程（1 1），得），得 tuttrtuatubta6223 匹配方程兩端的匹配方程兩端的 ，及其各階導(dǎo)數(shù)項，得，及其各階導(dǎo)數(shù)項，得 t 2 a所以所以 22000 arr 200 rr 代代入入把把20,

6、20 rr 3ee221 ttAAtr1, 021 AA得得，所以系統(tǒng)的完全響應(yīng)為，所以系統(tǒng)的完全響應(yīng)為 0 3e2 ttrt trzi再求零輸入響應(yīng)再求零輸入響應(yīng)2.求零輸入響應(yīng) 是是方方程程響響應(yīng)應(yīng)因因為為激激勵勵為為零零，零零輸輸入入trzi 02d3dd22 trdttrttr（3） 的的解解。，且且滿滿足足 0000 2000zizizizi rrrrrr（3）式的特征根為）式的特征根為2121 ，方程（方程（3）的齊次解即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為）的齊次解即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 ttBBtr221ziee ttBBtr221ziee 式解得式解得，代入，代入，由由)4(0020zizi r

7、r2, 421 BB所以，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為所以，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 0 e2e42zi ttrtt下面求零狀態(tài)響應(yīng)。下面求零狀態(tài)響應(yīng)。 3.求零狀態(tài)響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)= =完全響應(yīng)完全響應(yīng)零輸入響應(yīng)，即零輸入響應(yīng)，即 0 3ee42zs ttrtt因為特解為因為特解為3 3，所以，所以強迫響應(yīng)是強迫響應(yīng)是3 3，自由響應(yīng)是，自由響應(yīng)是tt2ee4 方法二 是是方方程程零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)trzs tuttrttrttr622dd3dd22 （5） 的解的解且滿足且滿足000zszs rr 項項由由于于上上式式等等號號右右邊邊有有t 應(yīng)應(yīng)含含有有沖沖激激函函數(shù)數(shù)，故故tr zs 將發(fā)生

8、跳變，即將發(fā)生跳變，即從而從而tr zs 00zszsrr 處是連續(xù)的。處是連續(xù)的。在在而而0zs ttr以上分析可用下面的數(shù)學(xué)過程描述以上分析可用下面的數(shù)學(xué)過程描述 tuatrttubtatrt zszs22dd ,dd代入（代入（5 5）式）式 tuttrtuatubta6223 根據(jù)在根據(jù)在t=0時刻，微分方程兩端的及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)時刻，微分方程兩端的及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等，得該平衡相等，得 t 2 a于是于是 002000zszszszs rrarrt0時，方程為時，方程為 tutrttrttr62dd3dd22 齊次解為齊次解為 ee221ttDD ，特解為，特解為3 3，于是有，于

9、是有 3ee221zi ttDDtr 得得由初始條件由初始條件00, 20zszs rr1, 421 DD所以，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為所以，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 0) ( 3ee42zs ttrtt方法一求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為方法一求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 0 e2e42zi ttrtt完全響應(yīng)完全響應(yīng)= =零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)+ +零輸入響應(yīng)，即零輸入響應(yīng)，即 0)( 3e2 ttrt例2-2 。試求其沖激響應(yīng)試求其沖激響應(yīng)為為已知某系統(tǒng)的微分方程已知某系統(tǒng)的微分方程)(2dd36dd5dd22thtettetrttrttr 沖激響應(yīng)是系統(tǒng)對單位沖激信號激勵時的零狀態(tài)響應(yīng)。沖激響應(yīng)是系統(tǒng)對單位沖激信

10、號激勵時的零狀態(tài)響應(yīng)。在系統(tǒng)分析中，它起著重要的作用。下面我們用兩種方在系統(tǒng)分析中，它起著重要的作用。下面我們用兩種方法來求解本例。法來求解本例。 方法：奇異函數(shù)項相平衡法方法：奇異函數(shù)項相平衡法 奇異函數(shù)項相平衡法 首先求方程的特征根，得首先求方程的特征根，得3, 221 因為微分方程左邊的微分階次高于右邊的微分階次，因為微分方程左邊的微分階次高于右邊的微分階次，沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為 tuAAthtt3221ee 對上式求導(dǎo)，得對上式求導(dǎo)，得 tuAAtAAtthtt322121e3e2dd tuAAtuAAtAAtthtttt322132212122e9e4 e3e2dd (1) 入入原原

11、微微分分方方程程，整整理理，以以及及上上述述三三個個等等式式代代將將tte tttAAtAA 23232121 則得則得 22332121AAAA解得解得 7421AA代入（代入（1 1）得）得 tuthtt32e7e4 例2-3已知線性時不變系統(tǒng)的一對激勵和響應(yīng)波形如下圖所示，已知線性時不變系統(tǒng)的一對激勵和響應(yīng)波形如下圖所示，求該系統(tǒng)對激勵求該系統(tǒng)對激勵的零狀態(tài)響應(yīng)。的零狀態(tài)響應(yīng)。 1sin tututte O12t teO12t tr113對激勵和響應(yīng)分別微分一次，得對激勵和響應(yīng)分別微分一次，得 2 ttte 32 1 tututututrO 12t te O12t tr 113 11 時

12、時，當(dāng)當(dāng)激激勵勵為為tte 1 tututr響響應(yīng)應(yīng)為為 時，時，于是，當(dāng)激勵為于是，當(dāng)激勵為tte 1 tututr響響應(yīng)應(yīng)為為)1()()( tututh即即 時時的的零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)為為當(dāng)當(dāng)激激勵勵為為1sin tututte 2cos112dsin2dsin11sin110tututtututututututututthtetrtt此題如果直接利用卷積微分與積分性質(zhì)計算，則將得出此題如果直接利用卷積微分與積分性質(zhì)計算，則將得出錯誤的結(jié)果。錯誤的結(jié)果。例2-4ottf1121ottf21111tuet 時時不不等等于于零零；在在其其原原因因在在于于 ttf1 111 tttf 點點有

13、有一一個個沖沖激激信信號號只只在在從從圖圖形形上上看看， ，即即分分并并不不能能恢恢復(fù)復(fù)原原信信號號然然而而，對對此此微微分分信信號號積積tf1 tftuftt111d1ddd ，并并畫畫出出波波形形。計計算算卷卷積積)()( 21tftf 顯然，所有的時限信號都滿足上式。對于時限信號，可顯然，所有的時限信號都滿足上式。對于時限信號，可以放心地利用卷積的微分與積分性質(zhì)進行卷積計算。以放心地利用卷積的微分與積分性質(zhì)進行卷積計算。從原理上看，如果從原理上看，如果 tdfttftftfdddd1121則應(yīng)有則應(yīng)有 tftfddd11很容易證明，上式成立的充要條件是很容易證明，上式成立的充要條件是 0

14、lim1 tft 1e 11121 tutftutft此題若將此題若將f1(t)看成兩個信號的疊加，則也可以利用該性看成兩個信號的疊加，則也可以利用該性質(zhì)計算：質(zhì)計算： tututtuututututututftftsttttttt e11de1de1ded1ed1dd1e1e11e11e1111111111111121 1e1e1 11 tututt注注意意： o12t)()(21tftf 例例2-52-5對圖對圖(a)所示的復(fù)合系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)構(gòu)成，已知各子系所示的復(fù)合系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)構(gòu)成，已知各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)如圖統(tǒng)的沖激響應(yīng)如圖(b)所示。所示。(1)求復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求復(fù)合系統(tǒng)的沖

15、激響應(yīng)h(t) ，畫出它的波形；，畫出它的波形；(2)用積分器、加法器和延時器構(gòu)成子系統(tǒng)用積分器、加法器和延時器構(gòu)成子系統(tǒng)的框圖的框圖; ththba和和ootttha thb12111(b)thathbthatfty(a)分析 本例的總系統(tǒng)是幾個子系統(tǒng)串、并聯(lián)組合而成的。本例的總系統(tǒng)是幾個子系統(tǒng)串、并聯(lián)組合而成的。對因果系統(tǒng)而言，對因果系統(tǒng)而言，串聯(lián)串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各串聯(lián)子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各串聯(lián)子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)卷積卷積；并聯(lián)并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各并系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各并聯(lián)子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)聯(lián)子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)相加相加。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，可以用系統(tǒng)的微分方程求解，也系統(tǒng)的零

16、狀態(tài)響應(yīng)，可以用系統(tǒng)的微分方程求解，也可以用系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與激勵信號的卷積求解。后一可以用系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與激勵信號的卷積求解。后一種方法回避了起始點跳變問題，但是，這種方法只限種方法回避了起始點跳變問題，但是，這種方法只限于求零狀態(tài)響應(yīng)，不能求完全響應(yīng)。其原因在于卷積于求零狀態(tài)響應(yīng)，不能求完全響應(yīng)。其原因在于卷積運算是一種線性運算，它滿足疊加性、齊次性與時不運算是一種線性運算，它滿足疊加性、齊次性與時不變性。而當(dāng)系統(tǒng)的起始狀態(tài)不為零時，系統(tǒng)的完全響變性。而當(dāng)系統(tǒng)的起始狀態(tài)不為零時，系統(tǒng)的完全響應(yīng)不滿足疊加性、齊次性與時不變性。應(yīng)不滿足疊加性、齊次性與時不變性。 （1）求h(t) 復(fù)復(fù)合合系系統(tǒng)統(tǒng)的的沖沖激激響響應(yīng)應(yīng)為為為為時時，系系統(tǒng)統(tǒng)的的零零狀狀態(tài)態(tài)響響