第4章習(xí)題解答線代解幾

1、第四章空間與向量運(yùn)算 習(xí)題一1(1)AB(1,3,O)BC(5,0,0) CA(4-3,O)72 2 2,十(2十1)十(1-1)104, O)在xoy面上2a (3 ,C (3, 0, 0)在x軸上33u 2v = 3 (a b+ 2c) 24B (0, 4, 3)點(diǎn)在yoz面上D (0, - 1, 0)在 y 軸上 (3b c) = 3a+ 3b + 8cC設(shè)四邊形 ABCD中AC與DB交于O,由已知 AO = OC , DO = OB 因?yàn)?ab = AO + OB = OC+ DO = dc,ad=ao+od=oc+bo=bc 所以abcd為平行四邊形。5Prjur 7cos(?u)=

2、4* COS60 =4X于=2a/3設(shè)起點(diǎn)a為(xo, yo, zo)PrjxAB F-Xo)=4PrjyABpT-yo)=-4 卩立 AB = (7 - 勿=7解得：Xo = 2y0 =3zo =076coscosa=( 2,- 1,b=(4,-2,2)-2-7622+(-1)2cosY =COSa76I 2224 +(-2) +2cosY =-J6b0COSQtV6b|costc=(6,-3,3)coscos-46cosY =d=(-2,1,-1)To與前三向量單位同的 d8.(1)cosa =0(2)cos P =146tl22-7(-2) +1 +(-1)=J6cosa-2cosY =

3、-J6= 4-J6表明向量與X軸垂直;表明向量與y軸平行;(3) cos。=cos表明向量既和 X軸垂直又與 y軸垂直，即垂直于 xoy面。9.設(shè)向量的方向余弦為cosG.cosP.cosY。由已知P=aY = 2a，又寫 cos2 a + cos2 P +2 cos222222 r ,1即 cos a +cos a +cos 2口 =1= 2 cos + (2 cos a _1) =1= cos = 0或 CosP = -10( 加題 )iAABC中，D為BC邊中點(diǎn)，證明 AS=(AB + AC5。2證明：由三角形法則 AD=AB + BD AD=AC + CD 又 D為BC中點(diǎn)。.BD =

4、 -CD.,.1 兩式相加得 2AD=AB+AC,即AD=-(AB + AC)。11(加題)試證點(diǎn) A (-3,3,3), B ( 5,1,1) , C (-1, 5,1) , D (-1,-1, 5 且一個(gè) 正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，且此四個(gè)頂點(diǎn)到原點(diǎn)的 距離相等。證：由距離公式得：IAB = J5-(-3)2 +-1-(3)2 =672同樣可得|AC =說明四點(diǎn)中每兩點(diǎn)得距 離均相等，每三點(diǎn)都可 作成一個(gè)正三角形，這 樣得正三角形共四個(gè), 但平面內(nèi)得四個(gè)點(diǎn)不可 能作成四個(gè)正三角形，由距離公式：|oA =|oB =|oC =|od|二&丘。AD=BC = BD = CD =672習(xí)題1(1)a b

5、 =|a|b|cos日=3咒4、兀cos =6；3= 4x4 1 =16；a2 -b2 =9 -16 =-7;2L .2-(2)b b = b b cos日(a + b) (a - b)=(4) (a-2b) 13c-12-3ab3-312= -(b9c (ca ) c = 012 1證：a =-1,3,2.e2b=2,-3,-4”耳丿2c = -3,12,6X2解:t1 )(axb)c(2 Jaxb 卜(axe)=115解:-10 -1-1 10 -1-11 1 C1 10I0 1=2OA = fe,3,1OB =12,2 OC=fe,1,41V =舀(OAxOB)OC21:=6-1習(xí)題三1

6、.( 1)由點(diǎn)法式：O(0,0,0)A(1,3,2)貝 y OA= 1,3,2 2(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0, 即 2x+2y+3z-7=0B(2,-1,-1)OB= 2,-1,-1 n=i +5j 7k所以法向量為 -1，5,-7-1-1-(x-1)+5(y-3)-7(z-2)=0 即 x-5y+7z=0由點(diǎn)法式：設(shè)平面法向量為 A, B, C ,由點(diǎn)法式平面方程：A(x-2)+B(y- 3)=0因?yàn)椋浩矫嫫叫衂軸，所以：法向量垂直 Z軸 即(A, B, C ) (0, 0, 1)=0= e=0A B = -4, -2, 0 , A B 丄 n.即(-4 ,-2,0)*(A,

7、 B, C)=0即A-2B=0= B=-2A 代入 *A(x-2)-2A(y-3)=0 兩邊同時(shí)除以 A 得方程：x-2y+4=0平面法向量為 n= 7, -3, 1 ,由點(diǎn)法式，平面方程為：7(x-1)-3(y+z)+(z-3)=0即 7x-3y+z-16=02.(1)過原點(diǎn)且以2 , -1,-1 為法向量的平面y4.表示平行于Z軸的平面，且過 XOY面上的直線： -x+3y+6=0表示平行于y表示平行于Z軸的平面，且過 XOY面的直線：x+y=O3.(1)n1n1n12, 0, -1 1,2, -1 兩平面平行2, -3, 1 n2 5,1,0 n2 2, 4, -2 n2 5, 1, -

8、7 平面斜交1/2=2/4=-1/-2-2 *5+(-3) *1 + 1 *(-7)=0兩平面垂直AB= -5, -4, 1 AC= -4, 2, -6 n=-5-4= 22i -34 j -26k法向量為 11 , -17, -13 -42二由點(diǎn)法式:11(x +1) -17(y +2)-13(z-2) =0 即11x -17y -13z +3 =05.設(shè)平面法向量為n平面與另兩平面垂直，則平面法向量也與另兩平面法向量垂直n=ijk1-24= 16i+14 j +11k n 為-16，14，11 3.35-2由點(diǎn)法式，平面方程為：-16(x-2)+11(z-8) =0 即16x+11z+12

9、0=06.Ax0 + By。+Cz0 + DVa2+b2 心2*1 +(-2)*2 +1 *3-3J22 +(-2)2十12= 2/37.(1)cos日=2(-1) +(-2)*7+6-3J22 +(-2)2 +1= 13/32 *8+(-2) *3+(-4) -3|= 22/3A,A2 + B1BC1C2|4*3 + 2*(-4)|/(A2+B12+C12)(A22+B22+C22)譏42 +22 + 42)(32 +(4)2)20 =26 *5 3所求夾角為arccos2/38.1 .2 + (1) *(1) +1 *(3)COS0 =, ,+(-1)2 +12J22 +(_1)2 +(_

10、3)廠0/.所求夾角為兀/2設(shè)所成二面角平分面上任一點(diǎn)為（X, y, z）,該點(diǎn)到兩平面距離相等X -2y +2z +217x +24y -50|J12 +22 +(2)2廳 +(24)2 +02習(xí)題四2x+10y+15Z-155 =0 或 12x 10y+34z+55 = 0(1)取直線方向向量 AB= -2,-2, 6 由直線對(duì)稱式方程X -3 _ y -5 _ Z + 2-1-1直線與取直線方向向量X + 2z 4 = 0ly +3z 5 =0AB= 0 , 0, 1 則直線的方程為x-1 = 0ly 1 = 0平行，則直線的方向向量t同時(shí)與兩平面的法向量垂直直線方程為-3解：先求出這條

11、直線上一點(diǎn)(X0,y0,Z0)取 X0 =1= y。=1 Z0 =11 -1+ j +3k二對(duì)稱式方程為:X1yT zTx= 1-2t參數(shù)方程為:=1 +tix=1 + 3t直線的方向向量t =1 -2_16i +14j +11k-2它可作為所求平面的法向量，由點(diǎn)法式:-16(x-2) +14y+1(z+3) =0即 一16x+14y +11Z+65 =0兩直線的方向向量可分別取為t1 =j-3-2t2 2 2-1= 10i -5j +10kc oSh譏2|t1t2t10t2(1)寫(2) *4+(7) (2) +3(2) =0二平面與直線平行(2)=3,2,7 n =3,2,7二平面與直線垂

12、直(3) 3 *1 +1 *1 +(4) *1 = 0平面與直線平行又(2 , -2 , 3)滿足平面方程x + y+3z = 0直線在平面上T 直線平行于兩個(gè)互不平行的平面二t同時(shí)垂直于m門2 （平面法向量）-3=2i +3j +k二所求直線方程_2ik9.設(shè)tit2 =t2分別為兩直線的方向向量,2 -1 11 -1 1t1-1-1 = i - 2 j 3k=-j 一 k設(shè)n為所求平面法向量n = tt2 =-2-1-1由平面點(diǎn)法式方程：-(X-1) + (y -2)-(z-1)=0即 x-y + z=0過點(diǎn)p(3,-1,2)作與直線垂直的平面，設(shè)平面與直線的交點(diǎn)與P距離即為所求。設(shè)與直線

13、垂直的的平面法向量為-1=-3i-3k則平面方程為:3(y +1) + 3(z-2) =0 即平面與直線的交點(diǎn)為10.X +y -Z +1 =0*2x-y+z4=0 的解二y + z-1 =0X =113z = 一2pp，= J(31)2 +(1 +1/2)2 +(2 -3/2)2 =342作過已知直線且垂直于已知平面的平面，設(shè)平面與已知平面的交線即為所求，過直線的平面束方程為(2x4y+z) +幾(3x y2z 9) = 0即(2 + 3 扎)x (4 +) y + (1 2 扎)z 9 扎=0由 垂直 條件(2+3 肋 x4+(4 +A)+(1 -2k) =0=兀=衛(wèi)11過直線且與已知平面

14、垂直的平面為:11(2 + 3%m)x-(4+衛(wèi))y + (1-2xm)z-9xP = 0 即八11111117X + 31y-37z-117=0 即所求直線方程為 j173137-11 04x - y + z = 1習(xí)題四添加題11.判斷直線I與平面兀的位置關(guān)系，l :X-5 y + 4 Z-1-2X +ky 5z 10 = 0直線的參數(shù)方程為y = 2t - 4 f代入兀中整理得z =3t +13k + 30當(dāng)k H 7時(shí)，I與兀有唯一交點(diǎn)，交點(diǎn)為 ( k + 718 5k+8) k + 7 k+7當(dāng)k = -7時(shí)，方程無解，即直線與平面平行12.判斷m為何值時(shí)h與12相交？l1 :X +

15、2 y z 1y1Z-7解:t1 =2,4tt22-34P1(2,0,1)p2 (3，1，7)分別在l1 l2 上，P1P1= 5,1,6 方向向量t2 =m,4,2，令p1P2 t1二m = 3時(shí)，h與l2相交。t2=1習(xí)題五設(shè)動(dòng)點(diǎn)M (X,y, Z),AMBMJ222222i(x-1) +(y-2) +(z-3) 7(x-2) +(y-3) +(z-1)等式兩邊平方化簡得:2x + y 2z= 0。（2 2 2 /設(shè) R 為球的半徑，R =+3中2=114, 則球面方程為2 2 2(x-1) +(y-3) +(z+2) -142 2 2寫方程中x，y，Z系數(shù)均為1,且不含xy，yz，zx項(xiàng)

16、/.方程為球面，整理得：2 2 2 2 2 2x +y-6x+8y+10z+10 =(X -6x+9)+(y +8y + 16) +(z +10z + 25)-492 2 2即(x-3) +(y+4) +(z+5) =49球心為（3， 4， 5），半徑為7的球面。4J 2222(1 )2 2 2即得 4 X -9y + 4 Z =36。將Ny + z代入z =5x方程中的z后，即得y將蘭t + z代入4x 9 y 36方程中的x后,(1)J 22心+y代入2 2Ui942亡+J12 2x_+yayxI LB Jy=1方程中的x后，即得X2(1)z = yX是xoy面上的橢圓繞X軸旋轉(zhuǎn)生成的。是

17、xoy面上的雙曲線2 2Z -y=1繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的，或是XOZ面上的橢圓=1繞y軸旋轉(zhuǎn)生成的。2是xoy面上的雙曲線X42-y2X +=1繞X軸旋轉(zhuǎn)生成的。4 z是xoy面上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的。2眷+22z=1繞y軸旋轉(zhuǎn)生成的，或是=1繞X軸旋轉(zhuǎn)生成的，或是2+ y =1繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的或是 xoZ面2X + z2 = 19乙yoz面上的橢圓XOZ面上的雙曲線2上的橢圓普+ z2 = 1X22z x9uK 構(gòu)圓拋物面y2(3)4X +92y2-Z =36單葉雙曲面y8.(1)22cXy=0是Xoy平面上的兩直線(2)22cX-y=2是平面z =1上的雙曲線(3)2X =2z是平面Xoy面

18、上的拋物線(4)X2 -1 =2z是平面y =1上的拋物線(5)y2 =-2z是yoz面上的拋物線(6)21 -y=2z是平面X =1上的拋物線y =xy =X9.(畫圖).投影曲線為y 2葺2x，原曲線是旋轉(zhuǎn)拋物面2x =y2 +異與Z =3平面所截的拋物線解；母線平行于X軸且過軸線的柱面方程：3y 22f xv16，是yoz面上的雙曲線, 2/.3x +2y 勻6為橢圓柱面 Z2 =16，準(zhǔn)線方程:T 3y2 Z2 =16為雙曲柱面，母線平行于y軸且過曲線的柱面方程為3x2 +2y2=16，準(zhǔn)線為F；216，是xoy面上的橢圓11.將z =1 X代入球面方程得投影柱面:X +y2 +(1 -x)2 =9，在 xoy面上的投影為 Jx2 +y2 +(1X)2 =9 jz =012.將y =3代入y2 tz2 2x =0得投影柱面：y2 + 9-2x =0+9 =2x13.(1)是在x =3平面上的一個(gè)圓，以（3, 0, 0）為圓心，4為半徑(2)(3)長為14.是y =1平面上的橢圓，長軸為 V2且平行于x軸，短軸為上晩，且平行于z軸3是z =2平面上的雙曲線，虛軸于 y軸平行，實(shí)軸