ch3微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)n I課程教案第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用本章內(nèi)容是上一章的延續(xù)， 數(shù)的性質(zhì)及其圖形和各種形態(tài)， 的幾個(gè)微分中值定理。在分析、主要是利用導(dǎo)數(shù)與微分這一方法來分析和研究函 這一切的理論基礎(chǔ)即為在微分學(xué)中占有重要地位 論證過程中，中值定理有著廣泛的應(yīng)用。一、教學(xué)目標(biāo)與基本要求（一）知識(shí)1. 記住羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的條件和結(jié)論；2. 記住泰勒公式及其拉格朗日余項(xiàng)的表達(dá)式；3. 記住 e,sin（x）,cos（x）,ln（1+x）,1/1+x 的 N 階麥克勞林公式；4. 知道極限的末定式及其常見的幾種類型的求法；5. 知道函數(shù)的極值點(diǎn)、駐點(diǎn)的定義以及它們之間的關(guān)系；6

2、. 知道曲線的凹凸性與拐點(diǎn)的定義；7. 知道弧微分的定義與弧微分公式；8. 知道光滑曲線、曲率和曲率半徑的定義；9. 知道求方程的近似解的基本方法。（二）領(lǐng)會(huì)1領(lǐng)會(huì)羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，領(lǐng)會(huì)羅爾定理、拉格 朗日中值定理的幾何意義；2. 領(lǐng)會(huì)羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之間的 聯(lián)系；3. 領(lǐng)會(huì)洛必達(dá)法則；4. 領(lǐng)會(huì)函數(shù)的單調(diào)性與一階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系；5. 領(lǐng)會(huì)函數(shù)的極值與一、二階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系；6. 領(lǐng)會(huì)函數(shù)的極值和最值的定義以及它們之間的區(qū)別和聯(lián)系；7. 領(lǐng)會(huì)曲線的凹凸性與二階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系。（三）運(yùn)用1. 會(huì)用中值定理證明等式和不等式；2. 會(huì)用洛

3、必達(dá)法則求末定式的極限；3. 會(huì)求一些函數(shù)的泰勒公式和利用泰勒公式求函數(shù)的極限及一些函數(shù)的近 似值；4. 會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；5. 會(huì)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；6. 會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點(diǎn)；7. 會(huì)求曲線的水平漸近線和鉛直漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形；8. 會(huì)求一些最值應(yīng)用問題；9. 會(huì)求曲率和曲率半徑；10. 會(huì)用二分法和切線法求一些方程實(shí)根的近似值。（四）分析綜合1. 綜合運(yùn)用中值定理、介值定理和函數(shù)的單調(diào)性等證明方程實(shí)根的存在性和 惟一性；2. 綜合運(yùn)用中值定理、函數(shù)的最（極）值和凹凸性等方面的知識(shí)及構(gòu)造性方 法證明等式和不等式；3. 綜合運(yùn)用洛必達(dá)法則，泰勒公式和其

4、他方法求末定式的極限；4綜合運(yùn)用函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性、凹凸性和極值等方面的知識(shí)描繪函數(shù)的 圖形。二：教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配根據(jù)教學(xué)實(shí)踐，建議本章的教學(xué)課數(shù)可一般控制在18學(xué)時(shí)（含習(xí)題課）左右，各節(jié)的學(xué)時(shí)分配大致如下：第一節(jié)微分中值定理2-3學(xué)時(shí)第二節(jié)洛必達(dá)法則2學(xué)時(shí)第三節(jié)泰勒公式2學(xué)時(shí)第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性2學(xué)時(shí)第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值2-3學(xué)時(shí)第六節(jié)函數(shù)圖形的描述2學(xué)時(shí)第七節(jié)曲率1學(xué)時(shí)第八節(jié)方程的近似解1學(xué)時(shí)（選講）三：本章重點(diǎn)及難點(diǎn)1、三個(gè)中值定理及泰勒公式2、洛必達(dá)法則3、函數(shù)的單調(diào)性，曲線的凹凸性與拐點(diǎn)4、函數(shù)的極值概念及求法5、函數(shù)的最值問題6、函數(shù)圖形的描繪7、弧微分、

5、曲率的概念及計(jì)算、曲率半徑四：本章教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬柯西中值定理的幾何意義以及運(yùn)用 洛必達(dá)法則函數(shù)極值在實(shí)踐中的運(yùn)用1.2.3.五：教學(xué)方法及注意事項(xiàng)本章的內(nèi)容比較多，要學(xué)好它，大家一定要抓住其中心內(nèi)容和主要特點(diǎn)， 對(duì) 本章中的思想方法要融會(huì)貫通，加深理解。首先要掌握中值定理的條件和結(jié)論， 它是本章內(nèi)容的理論基礎(chǔ)，它建立了導(dǎo)數(shù)通向應(yīng)用的橋梁。中值定理無論是在理 論研究中還是在實(shí)際應(yīng)用中都具有十分重要的作用。 其次要掌握中值定理證明的 思想方法構(gòu)造性證明方法。此方法是一個(gè)十分常用的數(shù)學(xué)思想方法，它不僅在中 值定理的證明中，而且在不等式的證明，方程根的存在性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中都具有 廣泛的應(yīng)用，它為

6、我們提供了求未定型的極限的一種重要方法，大家一定要將前 面所介紹過的求極限的方法與洛必達(dá)法則結(jié)合起來， 融會(huì)貫通，真正掌握和靈活 使用洛必達(dá)法則。第四要熟悉和掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào) 性和極值，最值，曲線的凹凸性和拐點(diǎn)等，對(duì)它們的研究，最基本的方法是用它 們的定義和判定定理，這是很重要的。要注意所研究的問題與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系， 并加以比較。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題的求法比較規(guī)范，步驟明確，簡(jiǎn)單易懂，但在求解 過程中要特別注意列表法的使用。注意要點(diǎn)：1. 羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的條件與結(jié)論中的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，并且知道它們之間的關(guān)系；羅爾定理是拉格朗日定理的特例； 拉格朗 日定

7、理又是柯西中值定理的特例。2.3.注意羅爾、拉格朗日、柯西中值定理的中值定理的中值點(diǎn)是開區(qū)間內(nèi)的某 一點(diǎn)，而非區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)或指定一點(diǎn)，換言之，這三個(gè)中值定理都僅“定 性”地指出了中值點(diǎn)的存在性，而非“定量”地指明的具體數(shù)值。結(jié)合這三個(gè)中值定理在本節(jié)中的應(yīng)用以及在以后各章節(jié)的應(yīng)用，反復(fù)體會(huì)這些定理在微積分學(xué)的意義與作用。六：思考題和習(xí)題第一節(jié)習(xí)題3 12,7,8,11, 12, 14第二節(jié)習(xí)題3 21，4第三節(jié)習(xí)題3 31，3,4,10第四節(jié)習(xí)題3 41，3,4,7, 8, 9第五節(jié)習(xí)題3 51，2,4,5, 8, 9, 10第六節(jié)習(xí)題3 61，2,3第七節(jié)習(xí)題3 71，3,5七、教學(xué)方式(手

8、段)本章主要采用講授新課的方式。第一節(jié)微分中值定理:內(nèi)容要點(diǎn)1 .費(fèi)馬引理：f(x)在X0可導(dǎo)，且在某個(gè)領(lǐng)域 U(Xo)內(nèi)+.+ f(nXo)xn +o(xn) f(X)<f(Xo)(或f(X)>f(Xo)= f'(Xo)=O. n!2. 中值定理：羅爾中值定理：f 亡 Ca,bc D(a,b)且 f(a)=f(b),=至巳a,b),使得 f'(©) = 0. 拉格朗日中值定理：f Ca,bcD(a,b)= 予迂(a,b)， 使得 f(a)f(b) b -a理blg®.值 定 b ( a 使得 f(b)-f(a) g(b)-g(a)3 .推論 f

9、 '(X)三0二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點(diǎn) 教學(xué)要求：理解費(fèi)爾馬引理和拉格朗日中值定理并了解柯西中值定理。1.會(huì)用中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式和證明方程解的存在性。 學(xué)習(xí)注意點(diǎn)：1.要注意羅爾、拉格朗日、柯西中值定理的條件與結(jié)論中的共同點(diǎn) 與不同點(diǎn)，并且知道它們之間的關(guān)系：羅爾定理是拉格朗日定理f(x)三C(X引)的特例；拉格朗日定理又是柯西定理的特例。2.3.要注意羅爾、拉格朗日、柯西中值定理的中值點(diǎn)E是開區(qū)間(a,b) 內(nèi)的某一點(diǎn)，而非區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)或指定一點(diǎn)。 換言之，這三個(gè) 中值定理都僅“定性“地指出了中值點(diǎn)E的存在性，而非”定量“地指明E的具體數(shù)值。要結(jié)合這三個(gè)中值定理在本節(jié)中的應(yīng)用

10、以及在以后章節(jié)中的應(yīng) 用，反復(fù)體會(huì)這些定理在微積分學(xué)中意義與作用。第二節(jié)泰勒公式:內(nèi)容要點(diǎn)：1. 泰勒中值定理如果函數(shù)f(x)在含X0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，即f Dn+1(a,b)，那么對(duì)于x (a,b),有 相應(yīng)的泰勒公式1 2 f(X)= f (Xo) + f '(Xo)(X Xo)+ f 7Xo)(XXo) 2!+1 葉認(rèn)X。$ +Rn(X ),n!其中f f 十 V E .尺(x)=(n + 1) f x oX三是Xo與x之間的某個(gè)值。當(dāng)xo=O時(shí)，(1)式稱為帶有拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林1公式，即 f(X)=f(0)+f'(0)(X)+訂(0

11、)(X)2 +.+丄fC*図+吐嚴(yán) n!'廣n+1) !2. 帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式如果函數(shù)f(x)在含有X0的開區(qū)間(a, b)內(nèi)有連續(xù)的n階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于x (a,b)，有1 2 f(X)= f(X0)+ f'(X0)(XX0)+ f"(X0)(X X。) 2!+ .HfeXxXX 中 a(x0nx，) n!當(dāng)X0=0時(shí)，(2)式稱為帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式，即1f(x) = f(0)+f(0)(x)+2f"(0)(x)22!+. . t f(n X 5x0 x2)n!:教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點(diǎn)教學(xué)要求：1 .理解泰勒中值定理。了解ex,sinx,cos

12、x,ln(1+x)等函數(shù)的麥克勞林公式，會(huì) 用定理證明一些相關(guān)的命題。2. 學(xué)習(xí)注意點(diǎn)：(1) 要懂得泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的進(jìn)一步的推廣，即拉格 朗日中值定理是泰勒中值定理當(dāng)n=0時(shí)的特例；并懂得 函數(shù)在一點(diǎn) xo附近.的近似表達(dá)式，比起函數(shù)的依次近似，高階泰勒多項(xiàng)式有更好 的近似精度。(2) 記住基本初等函數(shù)的帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式：第三節(jié)洛必達(dá)法則:內(nèi)容要點(diǎn)在求0/0型或o/o型未定式極限時(shí)，在一定的條件下可以用洛必達(dá)法則。第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第8頁共8頁1. (0/0 型)： Limit(f(x)/g(x)=lim(f (x)/g (x) (x x0)2. (o

13、/o型)：Limit(f(x)/g(x)=lim(f (x)/g'(x) (x X0)以上xX0的極限過程改為 xX0+0, x7X0 0, x, x + o，或 x7 o時(shí)，公式仍然成立。1:教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點(diǎn)教學(xué)要求：會(huì)用洛必達(dá)法則求各種類型的未定式極限，基本類型是？和？，而1. 對(duì)0*o，o±o型未定式，可通過取倒數(shù)、通分等恒等變形 化為0/0型或o /o型。co2. 對(duì)00, 1o,o0等幕指型未定式，可取對(duì)數(shù)化為0*o型，然后 化為0/0型或o /o型。學(xué)習(xí)注意點(diǎn)：1. 要懂得洛必達(dá)法則是求0/0型與o/o型未定式極限的一種比較有效的方法，但也有一定的使用范圍：只

14、有滿足條件一一 lim(f (x)/g (x) (x7x0)存在或?yàn)閛(這時(shí)我們稱lim(f (x)/g(x) (x 7 X0)有確定意義)，用洛必達(dá)法則求的的極限 Limit(f(x)/g(x)才是正確的，洛必達(dá)法則的條件是未定式存在 極限的充分而非必要條件，換言之，當(dāng) lim(f (x)/g (x) (x7 X0)不存在或也不為o時(shí)，Limit(f(x)/g(x)仍然可能是確定的。2. 應(yīng)注意洛必達(dá)法則不是求0/0型或與o/o型未定式的唯一方 法。讀者在計(jì)算時(shí)應(yīng)該結(jié)合使用等價(jià)無窮小的替換、帶有佩亞 諾余項(xiàng)的泰勒公式等方法，以使計(jì)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確。3. 在每一次使用洛必達(dá)法則前，都要驗(yàn)證以下所求

15、極限是否為 0/0或o/o型未定式，否則就會(huì)出錯(cuò)。第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性:內(nèi)容要點(diǎn)1. 函數(shù)單調(diào)性的判別法2. 函數(shù)的凸性極其判別法(1) 定義(2) 判別法1。判別法2。(3) 通常用f (x)=0的點(diǎn)(函數(shù)的駐點(diǎn))和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來劃分并 討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；用f" (x)=0的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來劃分并討論函數(shù)的凹凸區(qū)間。:教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點(diǎn) 教學(xué)要求：1. 掌握用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性的方法。2. 會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。3. 會(huì)利用函數(shù)單調(diào)性與凹凸性證明某些不等式。 學(xué)習(xí)注意點(diǎn)：在討論函數(shù)形態(tài)(單調(diào)性與凹凸性)時(shí)，要注意一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo) 數(shù)各自所起的作用，并

16、進(jìn)行比較以加深理解。第四節(jié)函數(shù)的極值與最大值、最小值:內(nèi)容要點(diǎn)1. 函數(shù)的極值極其判別法(1) 函數(shù)的極值與極值點(diǎn)的定義(2) 函數(shù)極值的判別法必要條件若函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)且除了某些點(diǎn)外處處可導(dǎo)，則可疑極值點(diǎn)為駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)。第一充分條件第二充分條件2. 最大值與最小值(1)某些優(yōu)先問題可歸結(jié)為求函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值與最小(1)值，求連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上最大(小)值的一般步驟是： 求出f(x)在(a,b)內(nèi)的全部的駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)X1, X2,Xn,;(3)計(jì)算出函數(shù)值f(X1), f(x2),f(x);以及f(a)與f(b); 比較上述值的大小.(2有關(guān)最大(小

17、)值的應(yīng)用問題，其關(guān)鍵是建立目標(biāo)函數(shù)。該函數(shù) 的實(shí)際意義下的定義域稱為約束集或可行域。若f(x)在約束I內(nèi)的駐點(diǎn)唯一，又根據(jù)問題的實(shí)際意義知f(x)的最大(小)值存在，則該駐點(diǎn)即為最大(小)值點(diǎn)，不必另行判定。二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點(diǎn) 教學(xué)要求：1 理解函數(shù)的極值概念，掌握求函數(shù)極值的方法。2根據(jù)實(shí)際問題，會(huì)建立目標(biāo)函數(shù)與約束集，從而解決有關(guān)的優(yōu)化問題。學(xué)習(xí)注意點(diǎn)：1. 要將極大(極小)值與最大(最小)值混為一談，要懂得它們 的區(qū)別和聯(lián)系。2不要將極值點(diǎn)與駐點(diǎn)混為一談，要清楚駐點(diǎn)是對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言 的，二極值點(diǎn)對(duì)不可導(dǎo)函數(shù)、甚至對(duì)不連續(xù)函數(shù)也是有意義 的，只有可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)才是駐點(diǎn)；而可導(dǎo)函數(shù)

18、的駐點(diǎn)僅 是可疑極值點(diǎn)。3要學(xué)會(huì)用極值判定條件來求函數(shù)的極值，但又要知道極值的判定條件是充分而不必要的。第六節(jié)函數(shù)圖形的描述一：內(nèi)容要點(diǎn)：函數(shù)的圖形為我們提供了函數(shù)的直觀的幾何形象，這對(duì)于研究函數(shù)很有幫助，以前作函數(shù)圖形的基本方法是描點(diǎn)法，這種方法的最大缺陷在于 選點(diǎn)的盲目性，不能把握整個(gè)圖形的特點(diǎn)和趨勢(shì)。前面，我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)給 出了一套研究函數(shù)性態(tài)的方法，將其應(yīng)用于函數(shù)作圖上，就可以得到一種 遠(yuǎn)比秒點(diǎn)法更有效的作圖方法一一微分作圖法。應(yīng)用微分作圖法去作函數(shù) 圖形，是前幾節(jié)所講知識(shí)的綜合性應(yīng)用，二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點(diǎn) 函數(shù)作圖的步驟如下：(1) 確定函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)是否有奇偶性，周期性；(2) 求出y，y，并求出使f (x)=0; f (x)