第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用2

1、第二節(jié)第二節(jié) 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則v二、二、其他類型的未定式其他類型的未定式v三、三、小結(jié)與作業(yè)小結(jié)與作業(yè)型型、00v一、一、 未定式未定式洛必達(dá)法則型未定式解法型及一、:00定義定義.00)()(lim)()()()(型未定式或常把這種極限稱為在通可能存在、也可能不存極限大，那末都趨于零或都趨于無窮與時(shí)，兩個(gè)函數(shù)或如果當(dāng)xfxfxfxfxaxxax.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(,)2(;)()(,0)1(xfxfxfxfxfxfxfxfxfaxfxfxaxaxax 那末那末或?yàn)闊o窮大或?yàn)闊o窮大存在存在且且都存在都存在及及點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)點(diǎn)的某去心鄰

2、域內(nèi)在在都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)定理定理定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則. .證證 定義輔助函數(shù)定義輔助函數(shù), 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxfxf,),(0 xau內(nèi)任取一點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn)在在 ,為端點(diǎn)的區(qū)間上為端點(diǎn)的區(qū)間上與與在以在以xa,)(),(11件件滿足柯西中值定理的條滿足柯西中值定理的條xfxf則有則有)()()()()()(afxfafxfxfxf )()( ff )(之間之間與與在在ax ,aax

3、 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)()(limaxfxfax ,)()(limaffa .)()(lim)()(limaffxfxfaax .,該法則仍然成立該法則仍然成立時(shí)時(shí)以及以及時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xaxx使使用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則，即即定定理理的的條條件件，可可以以繼繼續(xù)續(xù)滿滿足足型型，且且仍仍屬屬如如果果)(),(00)()(xfxfxfxf .)()(lim)()(lim)()(lim xfxfxfxfxfxfaxaxax.)()(lim)()(limxfxfxfxfxx 注注：例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.1

4、23lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式. 1 )00()( axbxxcoscoslim0 例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xx

5、x2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. .例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 型未定式解法二、00,1 ,0 ,0例例7 7解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原式原式2limxxe . 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定式化為洛必達(dá)法

6、則可解決將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型的類型 . .),00()( 型型 0)1(步驟步驟: :,10 .0100 或或例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 )2(步驟步驟: :步驟步驟: :型型00,1 ,0)3( ln01ln0ln01000取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù).0 例例9 9 求求xxx 0lim解解 設(shè)設(shè) 取對(duì)數(shù)得取對(duì)數(shù)得,xxy xxylnln 0)ln(limlnlim00 xxyxx0ln000limlimlimeeyxyxxxx 1 )0(

7、0例例1010解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對(duì)數(shù)得取對(duì)數(shù)得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 洛必達(dá)法則失效洛必達(dá)法則失效.)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意：洛必達(dá)法則的使用條件注意：洛必達(dá)法則的使用條件