微積分中值定理

1、第三章第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用本章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用包括：本章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用包括：2、利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性態(tài)（、利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性態(tài)（3.33.5節(jié)）節(jié)）3、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用（、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用（3.6節(jié)）節(jié)）1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極限、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極限 (3.2節(jié)節(jié))(xf 導(dǎo)數(shù))(xf函數(shù)中值定理中值定理 羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理 中值定理 3.1 中值定理中值定理泰勒定理我們先通過幾何圖形直觀理解羅爾定理我們先通過幾何圖形直觀理解羅爾定理:3.1.1 羅爾羅爾(rolle)定理定理 0 xyab圖1ab圖2a0 xy1abb2（1）連續(xù)；）連續(xù)；（2）可導(dǎo)

2、；）可導(dǎo)； （3）端點(diǎn)處函數(shù)值相等。）端點(diǎn)處函數(shù)值相等。點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)為零。:)(滿足設(shè)xfy ;,)1 (上連續(xù)在閉區(qū)間ba;),()2(內(nèi)可導(dǎo)在開區(qū)間ba).()()3(bfaf. 0)(),(fba使則至少存在一點(diǎn) 如何證明？0 xyabab一、定理一、定理3.3.1(羅爾定理羅爾定理)函數(shù) f(x) 在最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)為零。證明證明關(guān)鍵關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)a0 xy1abb2,) 1 (mm , 0)( xf故. ),( bax,),(內(nèi)任意一點(diǎn)均可作為此時(shí)ba. 0)(f使),()(bfaf因?yàn)樘巸?nèi)的在不妨設(shè)),(bam,)(mf即).,(, 0)(baf下證.,)(,) 1 (mmb

3、axf和最小值上一定取得最大值在知由條件,)2(mm 內(nèi)取到，在至少有一個(gè)與即),(bamm.取到.,)()(baxccxf，為常數(shù)則證證證明關(guān)鍵點(diǎn)：f(x) 在最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)為零。故故m和和m不可能同時(shí)不可能同時(shí)在區(qū)間端點(diǎn)在區(qū)間端點(diǎn)a,b處取到，處取到，由極限的不等式性質(zhì)知:xfxffx)()(lim)(0 xfxffx)()(lim)(0存在，）知由條件（)(2f )()()(fff則. 0證畢,)()(上的最大值在是因?yàn)閎axfmf, 0)()(,fxfbax都有所以對(duì)分母0分子0分式0注：注：(1) 羅爾定理三個(gè)條件是充分條件，只要三個(gè)條件滿足，就保證結(jié)論成立，若定理中的

4、三個(gè)條件缺少其中任何一個(gè)，定理結(jié)論不一定成立.如下圖:abxy點(diǎn)不連續(xù)在圖二b中解出形，可以從多少，但對(duì)于簡(jiǎn)單的情值為的個(gè)數(shù)，也沒有指出值，而不能肯定一個(gè)即它肯定了至少存在0)( f,羅爾定理是定性的結(jié)果(2)abxy不連續(xù)圖一0 xabxy)()(bfaf圖四abxy0 x不可導(dǎo)圖三條件及結(jié)論上滿足羅爾定理的在驗(yàn)證函數(shù)例2 , 0sin1xy 上連續(xù)；，為初等函數(shù)，故在20sin) 1 (xy 解：解：）內(nèi)可導(dǎo)；，（在上存在，故在20sin)2 , 0(cos)()2(xyxxf02sin0sin3）（，上滿足羅爾定理的條件，在故20sinxy )2 , 0(0cossinxx于是有均屬于或

5、故)2 , 0(232軸線平行于弧上，至少有一點(diǎn)的切等的連續(xù)且光滑的曲線在兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相x在性及范圍的根的存的條件判斷導(dǎo)數(shù)方程由）（0)()(1 xfxf注意與零點(diǎn)定理應(yīng)用的區(qū)別注意與零點(diǎn)定理應(yīng)用的區(qū)別及柯西定理推導(dǎo)拉格朗日中值定理)2(三、應(yīng)用三、應(yīng)用二、幾何意義( )0f x 用零點(diǎn)定理判斷方程的根的存在性及范圍并指出各根所在區(qū)間有幾個(gè)實(shí)根說明，不求設(shè),0)()()3)(2)(1()(xfxfxxxxf解：，令0)(xf. 321321xxx，易知此方程有三個(gè)實(shí)根連續(xù)，在為初等函數(shù)，易知又因?yàn)? , 22 , 1 )()(xfxf內(nèi)可導(dǎo)，在)3 , 2(),2 , 1 (. 0)3()

6、2() 1 (fff且上應(yīng)用羅爾定理，在2 , 1 . 0)()2 , 1 (11f使則至少. 0)()32(22f使，同理，至少.0)()(實(shí)根至多有兩個(gè)為二次多項(xiàng)式，又xfxf.)3 , 2(),2 , 1 (,0)(內(nèi)分別位于有且僅有兩個(gè)實(shí)根所以 xf至少有故0)( xf兩個(gè)實(shí)根，例2例例3 3 設(shè)設(shè) 為為n次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式， 沒有實(shí)根，試證明沒有實(shí)根，試證明 最多最多( )np x( )0np x( )0np x 只有一個(gè)實(shí)根只有一個(gè)實(shí)根. .證證 設(shè)設(shè) 至少有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)為至少有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)為 ，不妨設(shè)，不妨設(shè)( )0np x 12,x x12,xx因因 在在 上連續(xù)，

7、上連續(xù)，( )np x12 ,x x在在 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，12( ,)x x且且 12( )()0,nnp xp x由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)12( ,),x x使得使得( )0.np方程方程 的根，的根，( )0np x即即 是是x與題設(shè)矛盾與題設(shè)矛盾. 所以，所以，( )0np x 最多只有一個(gè)實(shí)根最多只有一個(gè)實(shí)根. .0)()1 , 0()()(1)21(0)1 ()0()1 , 0(1 , 0)(gxxfxgfffxf使證明：至少存在一點(diǎn)，又，內(nèi)可導(dǎo)，且上連續(xù)，在在設(shè), 00)0()0( fg分析：, 11) 1 () 1 ( fg.2121)21()21(

8、fg，又01) 1 (021)21(gg故由零點(diǎn)定理知上連續(xù)在又由題設(shè)知使, 0)(0)() 1 ,21(cxgcgc，故由羅爾定理，至少內(nèi)可導(dǎo)，在0)()0(), 0(cggc. 0)() 1 , 0(), 0(gc，使證：證：例4 羅爾羅爾(1652-1719)是法國(guó)數(shù)學(xué)家是法國(guó)數(shù)學(xué)家.1652年年4月月21日生于昂貝爾日生于昂貝爾特特,1719年年11月月8日卒于巴黎日卒于巴黎. 羅爾在數(shù)學(xué)上的成就主要是在代數(shù)方面羅爾在數(shù)學(xué)上的成就主要是在代數(shù)方面,專長(zhǎng)于丟番圖方程的研專長(zhǎng)于丟番圖方程的研究究. 羅爾于羅爾于1691年在題為年在題為任意次方程的一個(gè)解法的證明任意次方程的一個(gè)解法的證明的論

9、文的論文中指出了：在多項(xiàng)式方程的兩個(gè)相鄰的實(shí)根之間，方程中指出了：在多項(xiàng)式方程的兩個(gè)相鄰的實(shí)根之間，方程 0)( xf0)(xf 至少有一個(gè)根。但羅爾并沒有使用導(dǎo)數(shù)的概念和符號(hào)，至少有一個(gè)根。但羅爾并沒有使用導(dǎo)數(shù)的概念和符號(hào)，后一個(gè)多項(xiàng)式實(shí)際上是前一個(gè)多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)，羅爾只敘述了這個(gè)后一個(gè)多項(xiàng)式實(shí)際上是前一個(gè)多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)，羅爾只敘述了這個(gè)結(jié)論，而沒有給出證明。這個(gè)定理本來和微分學(xué)無關(guān)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)結(jié)論，而沒有給出證明。這個(gè)定理本來和微分學(xué)無關(guān)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)羅爾是微積分的懷疑者和極力反對(duì)者，他拒絕使用微積分，而寧羅爾是微積分的懷疑者和極力反對(duì)者，他拒絕使用微積分，而寧肯使用繁難的代數(shù)方法。但在一百多年之后

10、，即肯使用繁難的代數(shù)方法。但在一百多年之后，即1846年，尤斯托年，尤斯托.伯拉維提斯將這一定理推廣到可微函數(shù)伯拉維提斯將這一定理推廣到可微函數(shù),尤斯托尤斯托.伯拉維提斯還把此定理命名為羅爾定理伯拉維提斯還把此定理命名為羅爾定理.中值定理拉格朗日)(2 . 1 . 3lagrangeabxyababxyab（拉格朗日中值定理）一、定理2 . 1 . 3滿足：設(shè))(xf上連續(xù)在閉區(qū)間）（,1ba內(nèi)可導(dǎo)在開區(qū)間）（),(2ba)()()(),(fabafbfba使則至少存在一點(diǎn)明分析拉格朗日中值定理的證0)()()(abafbff分析：要證結(jié)論等價(jià)于( )( )( )( )0 xxf bf af

11、xfxba即0)()()(xxabafbfxfdxd即.,)()()()(上應(yīng)用羅爾定理在因此我們對(duì)函數(shù)baxabafbfxfxf根據(jù)待證結(jié)論構(gòu)根據(jù)待證結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)造輔助函數(shù):明拉格朗日中值定理的證xabafbfxfxf)()()()(設(shè)內(nèi)可導(dǎo)，且上連續(xù)，在在可驗(yàn)證),(,)(babaxfabbafabfbfaf)()()()(故由羅爾定理知，0)(),(fba使至少0)()()(abafbff即abafbff)()()(即證畢證注：即得，令在拉格朗日中值定理中),()() 1 (bfaf.特殊情況是拉格朗日中值定理的羅爾定理，故羅爾定理幾何意義)2(.abba平行于割線上，至少有一條切線

12、在連續(xù)且光滑的曲線弧abxyab端點(diǎn)的大小。個(gè)用公式時(shí)，不必討論兩公式仍成立，故應(yīng)若，在拉格朗日中值公式中ab )3(例如：例如：f (x)在以在以a,b為端點(diǎn)的區(qū)為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理間上應(yīng)用拉格朗日中值定理聯(lián)系起來，函數(shù)改變量同函數(shù)導(dǎo)數(shù)微分中值定理，它將拉格朗日中值定理又稱)4(.函數(shù)提供了理論基礎(chǔ)為用導(dǎo)數(shù)研究幾種等價(jià)形式：下微分中值公式，它有以拉格朗日中值公式又稱.,),)()()(之間在baabfafbf10),)()()(ababafafbf則有若令,xxbxa.公式該公式也稱為有限增量）xfxxf()(10,)(xxxf注： 例例1 1 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，并上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，并( )lnf xx1, e求出定理中的求出定