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1、 §12 簡(jiǎn)單的邏輯概念甲 . 簡(jiǎn)易邏輯概念1. 敘述與開(kāi)放語(yǔ)句: (1) 敘述:凡可明確而斷言為真或假的語(yǔ)句稱為敘述. Ex:2 + 3 = 5,太陽(yáng)從西方升起均為敘述.(2) 開(kāi)放語(yǔ)句:一語(yǔ)句若不加限制條件, 即無(wú)法判別其對(duì)錯(cuò), 此種語(yǔ)句稱 為開(kāi)放語(yǔ)句. Ex:中, 如果便是真, 如果便是假.(3) 否定敘述:將一敘述加以否定, 便是其否定敘述. 設(shè)表示一敘述, 則其否定敘述( 敘述的反面 ), 以 ( 或 )表示之. Ex:表2 + 3 = 5, 表.(4) 真假值:敘述的真或假, 稱為此敘述的真假值. 通常以表示敘述為真, 以表示敘述為假.(5) 複合敘述:將二個(gè)或二個(gè)以上的
2、敘述用連接詞或或是且組成 一個(gè)新的敘述, 稱為複合敘述, 通?;蛞员硎局? 且以表示之.(6) 基本應(yīng)用符號(hào):(i) 存在:意思是 ” 意思有一個(gè) ”. 代表符號(hào)用 ” ”.(ii) 所有的:亦可稱作 “ 對(duì)每一個(gè) ”, 記號(hào)為 ” ”.(iii) ?。骸?既存在且唯一 “的意思, 也就是正好一個(gè). 記號(hào)為 “! ”.2. 邏輯推理: 由一些已知是正確( 即真 )或已知錯(cuò)誤( 即偽 ), 來(lái)論斷其他事物的真?zhèn)?如何,所用到的思考法則, 就是邏輯理論. (1) 命題:凡型如 ”若., 則.”之形式的敘述, 稱為命題( 命題亦為 複合敘述的一種 ). 設(shè)為兩個(gè)敘述, 命題若, 則通常以表之. 其中
3、 稱為命題的前提, 稱為命題的結(jié)論. (2) 命題四態(tài):命題名稱命題記法(i)原命題若則(ii)逆命題若則(iii)否命題若非則非(iv)否逆命題若非則非 (i)(iv) 同真或同假. (ii)(iii) 同真或同假. 原命題( ) 逆命題( ) 互 逆 轉(zhuǎn) 互 轉(zhuǎn) 轉(zhuǎn) 否命題( ) 否逆命題( ) 3. 判斷命題真?zhèn)蔚姆椒ǎ?1) 直接證法:由前提出發(fā), 經(jīng)過(guò)一系列正確命題的推導(dǎo), “ ” 再由” 蘊(yùn)含關(guān)係 ”之遞移性, 導(dǎo)致結(jié)論成立, 此種證法叫做直接證法.(2) 舉反例:要確定一個(gè)命題是偽命題, 只要舉出一個(gè)滿足” 前提 ”而不滿足 ” 結(jié)論 ”的實(shí)例即可. 此種在數(shù)學(xué)中稱為舉反例.例
4、1. 下列各語(yǔ)句, 何者為一個(gè)敘述? (A) (B) (C)上帝保佑你 (D) (E) (F) (G)三角形之三內(nèi)角的和為. (A)(B)(G) 類題. 下列各語(yǔ)句, 何者表一敘述? (A)2, 4, 8三數(shù)成等比數(shù)列 (B)今天天氣很好 (C)你的數(shù)學(xué)程度很好 (D) (E)數(shù)學(xué)太難了 (F)二平行線的內(nèi)錯(cuò)角相等 (A)(D)(F)例 2. 下列複合敘述何者為真? (A)且 (B)或 (C)且 (D)或 (E) 或5 = 5. (B)(C)(E)例 3. 寫(xiě)出下列各敘述的否定敘述: (1)或 (2) (3)張三比李四高( 指身高 ) (4) 且 (5)為銳角三角形 (6). 2 = 2且,
5、1 > 2, 張三不比李四高, 或, 不為銳角三角形, 類題. 寫(xiě)出下列敘述的否定敘述: (1)且 (2)或 (3)或 (4) (5) 或, 且, 且, , 或例 4. 寫(xiě)出下列敘述的否定敘述:(1) 今天本班同學(xué)都出席. 今天本班有同學(xué)缺席.(2) 上次考試數(shù)學(xué)有人不及格. 上次考試所有人都及格. (3) 中至少有1個(gè)元素. 中不存在有元素. (4) 中至多有10個(gè)元素. 中至少有11個(gè)元素.(5) 中恰有3個(gè)元素. 中至少有4個(gè)元素或中至多有2個(gè)元素 (中不恰有3個(gè)元素 ).類題. 寫(xiě)出下列各語(yǔ)句的否定句:(1) 本班學(xué)生數(shù)學(xué)皆及格. 本班至少有一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)不及格.(2) 本班學(xué)生數(shù)
6、學(xué)皆不及格. 本班至少有一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)及格.(3) 本班學(xué)生, 至少有5個(gè)數(shù)學(xué)及格. 本班至多有4個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)及格.(4) 本班學(xué)生, 至多有5個(gè)數(shù)學(xué)及格. 本班至少有6個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)及格. 例 5. 設(shè)為實(shí)數(shù), 試判斷下列各命題的真?zhèn)? (A) 若, 則或 (B) 若, 則且 (C) 若或, 則 (D) 若且, 則 (E) 若, 則且 (A)(C)(D)(E)為真, (B)為偽 例 6. 寫(xiě)出若兩個(gè)三角形全等, 則其面積相等的四態(tài), 並判定它們的真?zhèn)? 原命題若兩個(gè)三角形全等, 則其面積相等真逆命題若兩個(gè)三角形面積相等, 則兩者全等偽否定命題若兩個(gè)三角形不全等, 則其面積不相等偽逆否命題若兩個(gè)三角形
7、面積不相等, 則兩者不全等真類題. 寫(xiě)出原命題的四態(tài), 並指出它們的真?zhèn)? 原命題若四邊形為平行四邊形, 則其對(duì)角線互相平分真逆命題若四邊形的對(duì)角線互相平分, 則該四邊形為平行四邊形真否定命題若四邊形不為平行四邊形, 則其對(duì)角線不互相平分真逆否命題若四邊形的對(duì)角線不互相平分, 則該四邊形不是平行四邊形真例 7. 寫(xiě)出對(duì)頂角相等的逆命題, 否定命題, 逆否命題. 原命題若兩個(gè)角是對(duì)頂角, 則這兩個(gè)角相等真逆命題若兩個(gè)角相等, 則這兩個(gè)角是對(duì)頂角偽否定命題若兩個(gè)角不是對(duì)頂角, 則這兩個(gè)角不相等 偽逆否命題若兩個(gè)角不相等, 則這兩個(gè)角不是對(duì)頂角真類題. (1) 寫(xiě)出若, 則的命題四態(tài), 並判定真?zhèn)?
8、? 原命題若, 則真逆命題若, 則偽否定命題若, 則偽逆否命題若, 則真(2) 設(shè), 寫(xiě)出原命題若, 則的逆命題, 否定命題, 逆否命題.原命題若, 則真逆命題若 則偽否定命題若, 則 偽逆否命題若, 則真例 8. 作某班學(xué)生的家庭調(diào)查時(shí), 有如下之結(jié)果:(1) 有哥哥的人沒(méi)有弟弟. (2) 沒(méi)有哥哥的人有妹妹 (3) 沒(méi)有姊姊的人有弟弟和妹妹, 由此可推得下列那一個(gè)結(jié)論? (A) 沒(méi)有弟弟的人有哥哥 (B) 有妹妹的人沒(méi)有哥哥 (C) 沒(méi)有哥哥的人有弟弟 (D) 沒(méi)有妹妹的人有姊姊 (E) 以上皆非 (D)類題.(1) 假如我們承認(rèn)下列二蘊(yùn)涵式成立: (i) 某人家裡有電視機(jī)某人不是窮人.
9、(ii) 某人是窮人某人不必納稅 是否可以推得某人家裡沒(méi)有電視機(jī)某人不必納稅? 不可以(2) 已知下列三敘述為真:(i) 若為綠, 則為紅. (ii) 若為白, 則為黃. (iii) 若為紅, 則為藍(lán). 今已知非藍(lán), 試問(wèn)能否判別之顏色? A非綠, 而B(niǎo)白 (3) 設(shè)為三函數(shù), 且下列三命題皆為真:(i) 若, 則 (ii) 若, 則(iii) 若, 則.今已知為真, 由此可推知下列何者為 真? (A) (B) (C) (D) (E) (C)(E) 乙 . 充分、必要、充要條件1. 充分、必要條件: 命題為真, 我們以表示之, 讀做可推演或 蘊(yùn)涵, 此時(shí)稱為的充分條件, 而稱為必要條件. 2.
10、 充要條件: 如果且均成立時(shí), 記作. 此時(shí)稱為的充分且必要條件( 簡(jiǎn)稱為充要條件 ), 也是的充要條件. <Notes:>(1) 設(shè)具有性質(zhì)之元素所成之集合為,具有性質(zhì)之元素所成之集合為. 則: (i) 當(dāng)為之充分條件時(shí), 則若則為真, 故若, 則亦真 .(ii) 反之, 若, 則若, 則為真, 故若則為真 為之充分條件.(iii)為之充要條件, 則且 .(2) 充分、必要、充要條件之證明方法:(i) 欲證為之充分條件時(shí), 只要證出若則為真即可.(ii) 欲證為之充分條件時(shí), 只要證出若則為真即可.(iii) 欲證為之充分條件時(shí), 只要證出若則及若則 都為真即可.3. 證明問(wèn)題的
11、方法: (1) 直接證法: 證明命題時(shí), 如果從已知條件( 前提 )出發(fā), 利用已有的定義, 公設(shè), 定理, 經(jīng)正確的邏輯推理, 證得命題的結(jié)論成立, 這種方法稱為直接證法. (2) 反證法:( ) 欲證明時(shí), 轉(zhuǎn)而證明, 就是反證法. 其步驟: (i) 反設(shè):假設(shè)結(jié)論不成立. (ii) 歸謬:從結(jié)論的反面出發(fā), 進(jìn)行一系列的推導(dǎo), 得出矛盾的結(jié)果. (iii) 結(jié)論:說(shuō)明” 反設(shè) ”不成立, 從而肯定結(jié)論是真. 例 9. 試就下列各試題填上最適當(dāng)?shù)臈l件, 其中各題的文字皆為實(shí)數(shù) (A) 充分非必要 (B) 必要非充分 (C) 充要條件 (D) 非充分且非必要 (1)是的 條件. (2)是的
12、條件. (3)是的 條件. (4)是的 條件. (5)是的 條件. (6)是的 條件. (C)(A)(D)(A)(B)(A)類題. (1) 下列各小題中, 是什麼條件 ? ( 充分, 必要, 充要或都不是 ) (i):二次方程式有實(shí)根. :是實(shí)數(shù). (ii):是正三角形. :為等腰三角形. (iii):是實(shí)數(shù), . :是實(shí)數(shù), . (iv):是鈍角三角形. :為鈍角. (v):是自然數(shù), 是7的倍數(shù). :是自然數(shù), 是7的倍數(shù). 充要, 充分, 都不是, 必要, 充要(2) 試就下列各試題填上最適當(dāng)?shù)臈l件, 其中各題的文字皆為實(shí)數(shù) (A) 充分非必要 (B) 必要非充分 (C) 充要條件 (D) 非充分且非必要 (i)是的 條件. (ii)是的 條件. (iii)是的 條件. (iv)是的 條件. (v)且是的 條件. (vi)或是的 條件. (A)(D)(B)(A)(C)(B)例10. 設(shè)為整數(shù), 試證:當(dāng)為奇數(shù), 則為奇數(shù). 類題
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