數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)嚴(yán)蔚敏第6章ppt課件

1、第六章第六章樹和二叉樹樹和二叉樹教學(xué)目的和要求教學(xué)目的和要求 1、熟練掌握二叉樹的構(gòu)造特點(diǎn)，了解相應(yīng)的證明。、熟練掌握二叉樹的構(gòu)造特點(diǎn)，了解相應(yīng)的證明。 2、熟習(xí)二叉樹的各種存儲(chǔ)構(gòu)造的特點(diǎn)及適用范圍。、熟習(xí)二叉樹的各種存儲(chǔ)構(gòu)造的特點(diǎn)及適用范圍。 3、掌握二叉樹遍歷的遞歸與非遞歸算法。、掌握二叉樹遍歷的遞歸與非遞歸算法。 4、掌握二叉線索樹的相關(guān)算法。、掌握二叉線索樹的相關(guān)算法。 5、熟習(xí)樹的各種存儲(chǔ)構(gòu)造及特點(diǎn)，掌握樹和森林、熟習(xí)樹的各種存儲(chǔ)構(gòu)造及特點(diǎn)，掌握樹和森林與二叉樹的方法。與二叉樹的方法。 6、了解最優(yōu)樹的特性，掌握最優(yōu)樹和哈夫曼編碼、了解最優(yōu)樹的特性，掌握最優(yōu)樹和哈夫曼編碼的方法。的方

2、法。 1數(shù)據(jù)的邏輯構(gòu)造 2、數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)構(gòu)造 3、數(shù)據(jù)的運(yùn)算：檢索、排序、插入、刪除、修正等。 A線性構(gòu)造 B非線性構(gòu)造A 順序存儲(chǔ) B 鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ) 線性表?xiàng)ｊ?duì)樹形構(gòu)造圖形構(gòu)造數(shù)據(jù)構(gòu)造的三個(gè)主要問題 樹形構(gòu)造樹形構(gòu)造全校學(xué)生檔案管理的組織方式全校學(xué)生檔案管理的組織方式ABCDEFGH樹形構(gòu)造樹形構(gòu)造 結(jié)點(diǎn)間具有分層次的銜接關(guān)系結(jié)點(diǎn)間具有分層次的銜接關(guān)系HBCDEFGA6.1 樹的類型定義樹的類型定義6.2 6.2 二叉樹的類型定義二叉樹的類型定義6.3 二叉樹的存儲(chǔ)構(gòu)造二叉樹的存儲(chǔ)構(gòu)造6.4 二叉樹的遍歷二叉樹的遍歷6.5 線索二叉樹線索二叉樹6.6 樹和森林的表示方法樹和森林的表示方法6.7 樹

3、和森林的遍歷樹和森林的遍歷6.8 哈夫曼樹與哈夫曼編碼哈夫曼樹與哈夫曼編碼6.1 樹的類型定義樹的類型定義數(shù)據(jù)對(duì)象數(shù)據(jù)對(duì)象 D：D是具有一樣特性的數(shù)據(jù)元素的集合。是具有一樣特性的數(shù)據(jù)元素的集合。 假設(shè)D為空集，那么稱為空樹 。 否那么: (1) 在D中存在獨(dú)一的稱為根的數(shù)據(jù)元素root； (2) 當(dāng)n1時(shí)，其他結(jié)點(diǎn)可分為m (m0)個(gè)互 不相交的有限集T1, T2, , Tm，其中每一 棵子集本身又是一棵符合本定義的樹， 稱為根root的子樹。 數(shù)據(jù)關(guān)系 R：ABCDEFGHIJMKLA( B(E, F(K, L), C(G), D(H, I, J(M) )T1T3T2樹根例如例如: : 根本

4、操作：查查 找找 類類 插插 入入 類類刪刪 除除 類類 Root(T) / 求樹的根結(jié)點(diǎn) 查找類：查找類：Value(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的元素值求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的元素值 Parent(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的雙親結(jié)點(diǎn)求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的雙親結(jié)點(diǎn)LeftChild(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的最左孩子求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的最左孩子 RightSibling(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的右兄弟求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的右兄弟TreeEmpty(T) / 斷定樹能否為空樹斷定樹能否為空樹 TreeDepth(T) / 求樹的深度求樹的深度TraverseTree( T, Visit() )

5、/ 遍歷遍歷InitTree(&T) / 初始化置空樹初始化置空樹 插入類：插入類：CreateTree(&T, definition) / 按定義構(gòu)造樹按定義構(gòu)造樹Assign(T, cur_e, value) / 給當(dāng)前結(jié)點(diǎn)賦值給當(dāng)前結(jié)點(diǎn)賦值InsertChild(&T, &p, i, c) / 將以將以c為根的樹插入為結(jié)點(diǎn)為根的樹插入為結(jié)點(diǎn)p的第的第i棵棵子樹子樹 ClearTree(&T) / 將樹清空 刪除類：刪除類：DestroyTree(&T) / 銷毀樹的構(gòu)造銷毀樹的構(gòu)造DeleteChild(&T, &p, i) / 刪除結(jié)點(diǎn)刪除結(jié)點(diǎn)p的第的第i棵子樹棵子樹對(duì)比樹型構(gòu)造和線性

6、構(gòu)造對(duì)比樹型構(gòu)造和線性構(gòu)造的構(gòu)造特點(diǎn)的構(gòu)造特點(diǎn)線性構(gòu)造線性構(gòu)造樹型構(gòu)造樹型構(gòu)造第一個(gè)數(shù)據(jù)元素第一個(gè)數(shù)據(jù)元素 ( (無前驅(qū)無前驅(qū)) ) 根結(jié)點(diǎn) (無前驅(qū))最后一個(gè)數(shù)據(jù)元素最后一個(gè)數(shù)據(jù)元素 (無后繼無后繼)多個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)多個(gè)葉子結(jié)點(diǎn) ( (無后繼無后繼) )其它數(shù)據(jù)元素其它數(shù)據(jù)元素( (一個(gè)前驅(qū)、一個(gè)前驅(qū)、 一個(gè)后繼一個(gè)后繼) )其它數(shù)據(jù)元素其它數(shù)據(jù)元素( (一個(gè)前驅(qū)、一個(gè)前驅(qū)、 多個(gè)后繼多個(gè)后繼) )基基 本本 術(shù)術(shù) 語語結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn): :結(jié)點(diǎn)的度結(jié)點(diǎn)的度: :樹的度樹的度: :葉子結(jié)點(diǎn)葉子結(jié)點(diǎn): :分支結(jié)點(diǎn)分支結(jié)點(diǎn): :數(shù)據(jù)元素+假設(shè)干指向子樹的分支分支的個(gè)數(shù)樹中一切結(jié)點(diǎn)的度的最大值度為零的結(jié)點(diǎn)度大

7、于零的結(jié)點(diǎn)DHIJM(從根到結(jié)點(diǎn)的)途徑：孩子結(jié)點(diǎn)、雙親結(jié)點(diǎn)孩子結(jié)點(diǎn)、雙親結(jié)點(diǎn)兄弟結(jié)點(diǎn)、堂兄弟兄弟結(jié)點(diǎn)、堂兄弟祖先結(jié)點(diǎn)、子孫結(jié)點(diǎn)祖先結(jié)點(diǎn)、子孫結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)的層次結(jié)點(diǎn)的層次: :樹的深度：樹的深度： 由從根到該結(jié)點(diǎn)所經(jīng)分支和結(jié)點(diǎn)構(gòu)成ABCDEFGHIJMKL假設(shè)根結(jié)點(diǎn)的層次為1，第l 層的結(jié)點(diǎn)的子樹根結(jié)點(diǎn)的層次為l+1樹中葉子結(jié)點(diǎn)所在的最大層次任何一棵非空樹是一個(gè)二元組 Tree = root，F(xiàn)其中：root 被稱為根結(jié)點(diǎn) F 被稱為子樹森林森林：森林：是mm0棵互不相交的樹的集合ArootBCDEFGHIJMKLF6.2 二叉樹的類型定義二叉樹的類型定義 二叉樹或?yàn)榭諛?，或是由一個(gè)根結(jié)點(diǎn)加上兩棵

8、分別稱為左子樹和右子樹的、互不交的二叉樹組成。ABCDEFGHK根結(jié)點(diǎn)左子樹右子樹二叉樹的五種根本形狀：二叉樹的五種根本形狀：N空樹空樹只含根結(jié)點(diǎn)只含根結(jié)點(diǎn)NNNLRR右子樹為空樹右子樹為空樹L左子樹為空樹左子樹為空樹左右子左右子樹均不樹均不為空樹為空樹 二叉樹的主要根本操作：二叉樹的主要根本操作：查查 找找 類類插插 入入 類類刪刪 除除 類類 Root(T); Value(T, e); Parent(T, e); LeftChild(T, e); RightChild(T, e); LeftSibling(T, e); RightSibling(T, e); BiTreeEmpty(T);

9、 BiTreeDepth(T); PreOrderTraverse(T, Visit(); InOrderTraverse(T, Visit(); PostOrderTraverse(T, Visit(); LevelOrderTraverse(T, Visit(); InitBiTree(&T); Assign(T, &e, value); CreateBiTree(&T, definition); InsertChild(T, p, LR, c);ClearBiTree(&T); DestroyBiTree(&T);DeleteChild(T, p, LR);二叉樹二叉樹的重要特性的重要特

10、性 性質(zhì)性質(zhì) 1 ： 在二叉樹的第在二叉樹的第 i 層上至多有層上至多有2i-1 個(gè)個(gè)結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)。 (i1)用歸納法證明：用歸納法證明： 歸納基：歸納基： 歸納假設(shè)：歸納假設(shè)： 歸納證明：歸納證明：i = 1 層時(shí)，只需一個(gè)根結(jié)點(diǎn)：層時(shí)，只需一個(gè)根結(jié)點(diǎn)： 2i-1 = 20 = 1；假設(shè)對(duì)一切的 j，1 j i，命題成立；二叉樹上每個(gè)結(jié)點(diǎn)至多有兩棵子樹，那么第 i 層的結(jié)點(diǎn)數(shù) = 2i-2 2 = 2i-1 。性質(zhì)性質(zhì) 2 ： 深度為深度為 k 的二叉樹上至多含的二叉樹上至多含 2k-1 個(gè)結(jié)點(diǎn)個(gè)結(jié)點(diǎn)k1。證明：證明： 基于上一條性質(zhì)，深度為 k 的二叉樹上的結(jié)點(diǎn)數(shù)至多為 20+21+ +2k

11、-1 = 2k-1 。 性質(zhì)性質(zhì) 3 ： 對(duì)任何一棵二叉樹，假設(shè)它含有對(duì)任何一棵二叉樹，假設(shè)它含有n0 個(gè)葉子個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)、n2 個(gè)度為個(gè)度為 2 的結(jié)點(diǎn)，那么必存在關(guān)的結(jié)點(diǎn)，那么必存在關(guān)系式：系式：n0 = n2+1。證明：證明：設(shè)設(shè) 二叉樹上結(jié)點(diǎn)總數(shù)二叉樹上結(jié)點(diǎn)總數(shù) n = n0 + n1 + n2又又 二叉樹上分支總數(shù)二叉樹上分支總數(shù) b = n1+2n2 而而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1由此，由此， n0 = n2 + 1 。兩類特殊的二叉樹：兩類特殊的二叉樹：滿二叉樹：指的是滿二叉樹：指的是深度為深度為k且含有且含有2k-1個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹。個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹

12、。完全二叉樹：樹完全二叉樹：樹中所含的中所含的 n 個(gè)結(jié)個(gè)結(jié)點(diǎn)和滿二叉樹中點(diǎn)和滿二叉樹中編號(hào)為編號(hào)為 1 至至 n 的的結(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。結(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。123456789 10 11 12 13 14 15abcdefghij 性質(zhì)性質(zhì) 4 ： 具有具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹的個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹的深度為深度為 log2n +1 。證明：證明：設(shè)完全二叉樹的深度為設(shè)完全二叉樹的深度為 k 那么根據(jù)第二條性質(zhì)得那么根據(jù)第二條性質(zhì)得 2k-1 n 2k 即即 k-1 log2 n n，那么該結(jié)點(diǎn)無左孩子， 否那么，編號(hào)為 2i 的結(jié)點(diǎn)為其左孩子結(jié)點(diǎn)；(3) 假設(shè) 2i+1n，那么該結(jié)點(diǎn)無右孩子結(jié)點(diǎn)，

13、否那么，編號(hào)為2i+1 的結(jié)點(diǎn)為其右孩子結(jié)點(diǎn)。6.3 二叉樹的存儲(chǔ)構(gòu)造二叉樹的存儲(chǔ)構(gòu)造二、二叉樹的鏈?zhǔn)蕉?、二叉樹的鏈?zhǔn)?存儲(chǔ)表示存儲(chǔ)表示一、一、 二叉樹的順序二叉樹的順序 存儲(chǔ)表示存儲(chǔ)表示#define MAX_TREE_SIZE 100 / 二叉樹的最大結(jié)點(diǎn)數(shù)二叉樹的最大結(jié)點(diǎn)數(shù)typedef TElemType SqBiTreeMAX_ TREE_SIZE; / 0號(hào)單元存儲(chǔ)根結(jié)點(diǎn)號(hào)單元存儲(chǔ)根結(jié)點(diǎn)SqBiTree bt;一、一、 二叉樹的順序存儲(chǔ)表示二叉樹的順序存儲(chǔ)表示例如例如:ABCDEF A B D C E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131401326

14、順序存儲(chǔ)構(gòu)造僅適用于完全二叉樹！順序存儲(chǔ)構(gòu)造僅適用于完全二叉樹！二、二叉樹的鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)表示二、二叉樹的鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)表示1. 1. 二叉鏈表二叉鏈表2三叉鏈表三叉鏈表3 3雙親鏈表雙親鏈表4線索鏈表線索鏈表ADEBCF rootlchild data rchild結(jié)點(diǎn)構(gòu)造結(jié)點(diǎn)構(gòu)造:1. 1. 二叉鏈表二叉鏈表typedef struct BiTNode / 結(jié)點(diǎn)構(gòu)造結(jié)點(diǎn)構(gòu)造 TElemType data; struct BiTNode *lchild, *rchild; / 左右孩子指針左右孩子指針 BiTNode, *BiTree;lchild data rchild結(jié)點(diǎn)構(gòu)造結(jié)點(diǎn)構(gòu)造:C 言語的類型

15、描畫如下:ADEBCF root 2三叉鏈表三叉鏈表parent lchild data rchild結(jié)點(diǎn)構(gòu)造結(jié)點(diǎn)構(gòu)造: typedef struct TriTNode / 結(jié)點(diǎn)構(gòu)造 TElemType data; struct TriTNode *lchild, *rchild; / 左右孩子指針 struct TriTNode *parent; /雙親指針 TriTNode, *TriTree;parent lchild data rchild結(jié)點(diǎn)構(gòu)造結(jié)點(diǎn)構(gòu)造:C 言語的類型描畫如下:0123456B2C0A -1D2E3F4 data parent結(jié)點(diǎn)構(gòu)造結(jié)點(diǎn)構(gòu)造:3 3雙親鏈表雙親鏈表

16、LRTagLRRRL typedef struct BPTNode / 結(jié)點(diǎn)構(gòu)造 TElemType data; int *parent; / 指向雙親的指針 char LRTag; / 左、右孩子標(biāo)志域 BPTNode typedef struct BPTree / 樹構(gòu)造 BPTNode nodesMAX_TREE_SIZE; int num_node; / 結(jié)點(diǎn)數(shù)目 int root; / 根結(jié)點(diǎn)的位置 BPTree6.4二叉樹的遍歷二叉樹的遍歷一、問題的提出一、問題的提出二、先左后右的遍歷算法二、先左后右的遍歷算法三、算法的遞歸描畫三、算法的遞歸描畫四、中序遍歷算法的非遞歸描畫四、中序

17、遍歷算法的非遞歸描畫五、遍歷算法的運(yùn)用舉例五、遍歷算法的運(yùn)用舉例 順著某一條搜索途徑巡訪二叉樹中的結(jié)點(diǎn)，使得每個(gè)結(jié)點(diǎn)均被訪問一次，而且僅被訪問一次。一、問題的提出一、問題的提出“訪問的含義可以很廣，如：輸出結(jié)點(diǎn)的信息等。 “遍歷是任何類型均有的操作，對(duì)線性構(gòu)造而言，只需一條搜索路徑(由于每個(gè)結(jié)點(diǎn)均只需一個(gè)后繼)，故不需求另加討論。而二叉樹是非線性構(gòu)造， 每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)后繼，每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)后繼，那么存在如何遍歷即按什么樣的搜索那么存在如何遍歷即按什么樣的搜索途徑遍歷的問題。途徑遍歷的問題。 對(duì)對(duì)“二叉樹而言，可以有二叉樹而言，可以有三條搜索途徑：三條搜索途徑： 1先上后下的按層次遍歷； 2先左子

18、樹后右子樹的遍歷； 3先右子樹后左子樹的遍歷。二、先左后右的遍歷算法二、先左后右的遍歷算法先序根的遍歷算法先序根的遍歷算法中序根的遍歷算法中序根的遍歷算法后序根的遍歷算法后序根的遍歷算法 假設(shè)二叉樹為空樹，那么空操作；否那么，1訪問根結(jié)點(diǎn)；2先序遍歷左子樹；3先序遍歷右子樹。先序根的遍歷算法：先序根的遍歷算法： 假設(shè)二叉樹為空樹，那么空操作；否那么，1中序遍歷左子樹；2訪問根結(jié)點(diǎn)；3中序遍歷右子樹。中序根的遍歷算法：中序根的遍歷算法： 假設(shè)二叉樹為空樹，那么空操作；否那么，1后序遍歷左子樹；2后序遍歷右子樹；3訪問根結(jié)點(diǎn)。后序根的遍歷算法：后序根的遍歷算法：課堂提問： 有以下構(gòu)造的二叉樹有以下

19、構(gòu)造的二叉樹 寫出其先序、中序和后序遍歷的序列寫出其先序、中序和后序遍歷的序列ABCDE三、算法的遞歸描畫三、算法的遞歸描畫void Preorder (BiTree T, void( *visit)(TElemType& e) / 先序遍歷二叉樹先序遍歷二叉樹 if (T) visit(T-data); / 訪問結(jié)點(diǎn)訪問結(jié)點(diǎn) Preorder(T-lchild, visit); / 遍歷左子樹遍歷左子樹 Preorder(T-rchild, visit);/ 遍歷右子樹遍歷右子樹 四、中序遍歷算法的非遞歸描畫四、中序遍歷算法的非遞歸描畫BiTNode *GoFarLeft(BiTree T,

20、 Stack *S) if (!T ) return NULL; while (T-lchild ) Push(S, T); T = T-lchild; return T;void Inorder_I(BiTree T, void (*visit) (TelemType& e) Stack *S; t = GoFarLeft(T, S); / 找到最左下的結(jié)點(diǎn)找到最左下的結(jié)點(diǎn) while(t) visit(t-data); if (t-rchild) t = GoFarLeft(t-rchild, S); else if ( !StackEmpty(S ) / 棧不空時(shí)退棧棧不空時(shí)退棧 t =

21、 Pop(S); else t = NULL; / ?？贞U明遍歷終了?？贞U明遍歷終了 / while/ Inorder_I 五、遍歷算法的運(yùn)用舉例五、遍歷算法的運(yùn)用舉例1、統(tǒng)計(jì)二叉樹中葉子結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)、統(tǒng)計(jì)二叉樹中葉子結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù) (先序遍歷先序遍歷)2、求二叉樹的深度、求二叉樹的深度(后序遍歷后序遍歷)3、復(fù)制二叉樹、復(fù)制二叉樹(后序遍歷后序遍歷)4 4、建立二叉樹的存儲(chǔ)構(gòu)造、建立二叉樹的存儲(chǔ)構(gòu)造1、統(tǒng)計(jì)二叉樹中葉子結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)、統(tǒng)計(jì)二叉樹中葉子結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)算法根本思想算法根本思想: : 先序(或中序或后序)遍歷二叉樹，在遍歷過程中查找葉子結(jié)點(diǎn)，并計(jì)數(shù)。由此，需在遍歷算法中增添一個(gè)“計(jì)數(shù)的參數(shù)，并將

22、算法中“訪問結(jié)點(diǎn)的操作改為：假設(shè)是葉子，那么計(jì)數(shù)器增1。void CountLeaf (BiTree T, int& count) if ( T ) if (!T-lchild)& (!T-rchild) count+; / 對(duì)葉子結(jié)點(diǎn)計(jì)數(shù)對(duì)葉子結(jié)點(diǎn)計(jì)數(shù) CountLeaf( T-lchild, count); CountLeaf( T-rchild, count); / if / CountLeaf2、求二叉樹的深度、求二叉樹的深度(后序遍歷后序遍歷)算法根本思想算法根本思想: : 從二叉樹深度的定義可知，二叉樹的深度應(yīng)為其左、右子樹深度的最大值加1。由此，需先分別求得左、右子樹的深度，算法

23、中“訪問結(jié)點(diǎn)的操作為：求得左、右子樹深度的最大值，然后加 1 。 首先分析二叉樹的深度和它的左、右子樹深度之間的關(guān)系。int Depth (BiTree T ) / 前往二叉樹的深度前往二叉樹的深度 if ( !T ) depthval = 0; else depthLeft = Depth( T-lchild ); depthRight= Depth( T-rchild ); depthval = 1 + (depthLeft depthRight ? depthLeft : depthRight); return depthval;3、復(fù)制二叉樹、復(fù)制二叉樹其根本操作為：生成一個(gè)結(jié)點(diǎn)。其根

24、本操作為：生成一個(gè)結(jié)點(diǎn)。根元素根元素T左子樹左子樹右子樹右子樹根元素根元素NEWT左子樹左子樹右子樹右子樹左子樹左子樹右子樹右子樹(后序遍歷后序遍歷)BiTNode *GetTreeNode(TElemType item, BiTNode *lptr , BiTNode *rptr ) if (!(T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode) exit(OVERFLOW); T- data = item; T- lchild = lptr; T- rchild = rptr; return T; 生成一個(gè)二叉樹的結(jié)點(diǎn)生成一個(gè)二叉樹的結(jié)點(diǎn)(其數(shù)據(jù)域?yàn)槠鋽?shù)據(jù)域?yàn)閕tem

25、,左指針域?yàn)樽笾羔樣驗(yàn)閘ptr,右指針域?yàn)橛抑羔樣驗(yàn)閞ptr)BiTNode *CopyTree(BiTNode *T) if (!T ) return NULL; if (T-lchild ) newlptr = CopyTree(T-lchild);/復(fù)制左子樹 else newlptr = NULL; if (T-rchild ) newrptr = CopyTree(T-rchild);/復(fù)制右子樹 else newrptr = NULL; newT = GetTreeNode(T-data, newlptr, newrptr); return newT; / CopyTreeABCD

26、EFGHK D C B H K G F E A例如：以下二叉樹例如：以下二叉樹的復(fù)制過程如下：的復(fù)制過程如下：newT4 4、建立二叉樹的存儲(chǔ)、建立二叉樹的存儲(chǔ)構(gòu)造構(gòu)造不同的定義方法相應(yīng)有不同的不同的定義方法相應(yīng)有不同的存儲(chǔ)構(gòu)造的建立算法存儲(chǔ)構(gòu)造的建立算法以字符串“A!表示 以字符串的方式以字符串的方式 根根 左子樹左子樹 右子樹右子樹定義一棵二叉樹定義一棵二叉樹例如:ABCD以字符“!表示A(B(! ,C(! , ! ),D(! , ! )空樹空樹只含一個(gè)根結(jié)點(diǎn)只含一個(gè)根結(jié)點(diǎn)的二叉樹的二叉樹A以以下字符串表示Status CreateBiTree(BiTree &T) scanf(&ch);

27、 if (ch=!) T = NULL; else if (!(T = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode) exit(OVERFLOW); T-data = ch; / 生成根結(jié)點(diǎn)生成根結(jié)點(diǎn) CreateBiTree(T-lchild); / 構(gòu)造左子樹構(gòu)造左子樹 CreateBiTree(T-rchild); / 構(gòu)造右子樹構(gòu)造右子樹 return OK; / CreateBiTree 僅知二叉樹的先序序列“abcdefg 不能獨(dú)一確定一棵二叉樹，由二叉樹的先序和中序序列建樹由二叉樹的先序和中序序列建樹 假好像時(shí)知二叉樹的中序序列“cbdaegf，那么會(huì)如何？

28、 二叉樹的先序序列二叉樹的中序序列左子樹左子樹左子樹左子樹 右子樹右子樹右子樹右子樹根根根根a b c d e f gc b d a e g f例如例如: :aab bccddeeffggabcdefg先序序列中序序列void CrtBT(BiTree& T, char pre, char ino, int ps, int is, int n ) / 知知preps.ps+n-1為二叉樹的先序序列，為二叉樹的先序序列， / insis.is+n-1為二叉樹的中序序列，本算為二叉樹的中序序列，本算 / 法由此兩個(gè)序列構(gòu)造二叉鏈表法由此兩個(gè)序列構(gòu)造二叉鏈表 if (n=0) T=NULL; els

29、e k=Search(ino, preps); / 在中序序列中在中序序列中查詢查詢 if (k= -1) T=NULL; else / / CrtBT T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode);T-data = preps;if (k=is) T-Lchild = NULL;else CrtBT(T-Lchild, pre, ino, ps+1, is, k-is );if (k=is+n-1) T-Rchild = NULL;else CrtBT(T-Rchild, pre, ino, ps+(k-is)+1, k+1, n-(k-is)-1 );練習(xí)題：練習(xí)題

30、： 1、編寫遞歸算法，將二叉樹中一切結(jié)點(diǎn)、編寫遞歸算法，將二叉樹中一切結(jié)點(diǎn)的左、右子樹交換。的左、右子樹交換。 2、編寫遞歸算法：對(duì)于二叉樹中每一個(gè)、編寫遞歸算法：對(duì)于二叉樹中每一個(gè)元素值為元素值為x的結(jié)點(diǎn)，刪除以它為根的子樹，的結(jié)點(diǎn)，刪除以它為根的子樹，并釋放相應(yīng)的空間。并釋放相應(yīng)的空間。 3、編寫按層次順序同一層自左至右、編寫按層次順序同一層自左至右遍歷二叉樹的算法。遍歷二叉樹的算法。6.5線索二叉樹線索二叉樹 何謂線索二叉樹？ 線索鏈表的遍歷算法 如何建立線索鏈表？一、何謂線索二叉樹？一、何謂線索二叉樹？遍歷二叉樹的結(jié)果是， 求得結(jié)點(diǎn)的一個(gè)線性序列。ABCDEFGHK例如:先序序列先序序

31、列: : A B C D E F G H K A B C D E F G H K中序序列中序序列: : B D C A H G K F E B D C A H G K F E后序序列后序序列: : D C B H K G F E A D C B H K G F E A指向該線性序列中的“前驅(qū)和 “后繼 的指針，稱作“線索與其相應(yīng)的二叉樹，稱作 “線索二叉樹包含 “線索 的存儲(chǔ)構(gòu)造，稱作 “線索鏈表A B C D E F G H K D C B E 對(duì)線索鏈表中結(jié)點(diǎn)的商定：對(duì)線索鏈表中結(jié)點(diǎn)的商定： 在二叉鏈表的結(jié)點(diǎn)中添加兩個(gè)標(biāo)志域，并作如下規(guī)定：假設(shè)該結(jié)點(diǎn)的左子樹不空，假設(shè)該結(jié)點(diǎn)的左子樹不空，那

32、么那么Lchild域的指針指向其左子樹，域的指針指向其左子樹， 且左標(biāo)志域的值為且左標(biāo)志域的值為“指針指針 Link； 否那么，否那么，Lchild域的指針指向其域的指針指向其“前驅(qū)，前驅(qū)， 且左標(biāo)志的值為且左標(biāo)志的值為“線索線索 Thread 。假設(shè)該結(jié)點(diǎn)的右子樹不空，假設(shè)該結(jié)點(diǎn)的右子樹不空，那么那么rchild域的指針指向其右子樹，域的指針指向其右子樹， 且右標(biāo)志域的值為且右標(biāo)志域的值為 “指針指針 Link；否那么，否那么，rchild域的指針指向其域的指針指向其“后繼，后繼， 且右標(biāo)志的值為且右標(biāo)志的值為“線索線索 Thread。 如此定義的二叉樹的存儲(chǔ)構(gòu)造稱作如此定義的二叉樹的存儲(chǔ)構(gòu)

33、造稱作“線索鏈表。線索鏈表。typedef struct BiThrNod TElemType data; struct BiThrNode *lchild, *rchild; / 左右指針左右指針 PointerThr LTag, RTag; / 左右標(biāo)志左右標(biāo)志 BiThrNode, *BiThrTree;線索鏈表的類型描畫： typedef enum Link, Thread PointerThr; / Link=0:指針，指針，Thread=1:線索線索二、線索鏈表的遍歷算法二、線索鏈表的遍歷算法: for ( p = firstNode(T); p; p = Succ(p) ) Vi

34、sit (p);由于在線索鏈表中添加了遍歷中得到的“前驅(qū)和“后繼的信息，從而簡(jiǎn)化了遍歷的算法。例如例如: 對(duì)中序線索化鏈表的遍歷算法對(duì)中序線索化鏈表的遍歷算法 中序遍歷的第一個(gè)結(jié)點(diǎn)中序遍歷的第一個(gè)結(jié)點(diǎn) ？ 在中序線索化鏈表中結(jié)點(diǎn)的后繼在中序線索化鏈表中結(jié)點(diǎn)的后繼 ？左子樹上處于“最左下沒有左子樹的結(jié)點(diǎn)。假設(shè)無右子樹，那么為后繼線索所指結(jié)假設(shè)無右子樹，那么為后繼線索所指結(jié)點(diǎn)；點(diǎn)；否那么為對(duì)其右子樹進(jìn)展中序遍歷否那么為對(duì)其右子樹進(jìn)展中序遍歷時(shí)訪問的第一個(gè)結(jié)點(diǎn)。時(shí)訪問的第一個(gè)結(jié)點(diǎn)。void InOrderTraverse_Thr(BiThrTree T, void (*Visit)(TElemTyp

35、e e) p = T-lchild; / p指向根結(jié)點(diǎn)指向根結(jié)點(diǎn) while (p != T) / 空樹或遍歷終了時(shí)，空樹或遍歷終了時(shí)，p=T while (p-LTag=Link) p = p-lchild; / 第一個(gè)結(jié)點(diǎn)第一個(gè)結(jié)點(diǎn) if ( !Visit( p-data ) ) return ERROR; while (p-RTag=Thread & p-rchild!=T) p = p-rchild; Visit(p-data); / 訪問后繼結(jié)點(diǎn)訪問后繼結(jié)點(diǎn) p = p-rchild; / p進(jìn)至其右子樹根進(jìn)至其右子樹根 / InOrderTraverse_Thr 在中序遍歷過程中修

36、正結(jié)點(diǎn)的在中序遍歷過程中修正結(jié)點(diǎn)的左、右指針域，以保管當(dāng)前訪問結(jié)左、右指針域，以保管當(dāng)前訪問結(jié)點(diǎn)的點(diǎn)的“前驅(qū)和前驅(qū)和“后繼信息。遍歷過后繼信息。遍歷過程中，附設(shè)指針程中，附設(shè)指針pre, 并一直堅(jiān)持指并一直堅(jiān)持指針針pre指向當(dāng)前訪問的、指針指向當(dāng)前訪問的、指針p所指所指結(jié)點(diǎn)的前驅(qū)。結(jié)點(diǎn)的前驅(qū)。三、如何建立線索鏈表？三、如何建立線索鏈表？void InThreading(BiThrTree p) if (p) / 對(duì)以對(duì)以p為根的非空二叉樹進(jìn)展線為根的非空二叉樹進(jìn)展線索化索化 InThreading(p-lchild); / 左子樹線索左子樹線索化化 if (!p-lchild) / 建前驅(qū)線

37、索建前驅(qū)線索 p-LTag = Thread; p-lchild = pre; if (!pre-rchild) / 建后繼線索建后繼線索 pre-RTag = Thread; pre-rchild = p; pre = p; / 堅(jiān)持堅(jiān)持 pre 指向指向 p 的前驅(qū)的前驅(qū) InThreading(p-rchild); / 右子樹線索右子樹線索化化 / if / InThreadingStatus InOrderThreading(BiThrTree &Thrt, BiThrTree T) / 構(gòu)建中序線索鏈構(gòu)建中序線索鏈表表 if (!(Thrt = (BiThrTree)malloc(

38、sizeof( BiThrNode) exit (OVERFLOW); Thrt-LTag = Link; Thrt-RTag =Thread; Thrt-rchild = Thrt; / 添加頭結(jié)點(diǎn)添加頭結(jié)點(diǎn) return OK; / InOrderThreading if (!T) Thrt-lchild = Thrt; else Thrt-lchild = T; pre = Thrt; InThreading(T); pre-rchild = Thrt; / 處置最后一個(gè)結(jié)點(diǎn)處置最后一個(gè)結(jié)點(diǎn) pre-RTag = Thread; Thrt-rchild = pre; 6.6 樹和森林樹和

39、森林 的表示方法的表示方法6.6.1 樹的三種存儲(chǔ)構(gòu)造樹的三種存儲(chǔ)構(gòu)造一、雙親表示法一、雙親表示法二、孩子鏈表表示法二、孩子鏈表表示法三、樹的二叉鏈表三、樹的二叉鏈表(孩子孩子-兄弟兄弟 存儲(chǔ)表示法存儲(chǔ)表示法ABCDEFG0 A -11 B 02 C 03 D 04 E 2 5 F 26 G 5r=0n=6data parent一、雙親表示法一、雙親表示法: typedef struct PTNode Elem data; int parent; / 雙親位置域 PTNode; data parent#define MAX_TREE_SIZE 100結(jié)點(diǎn)構(gòu)造結(jié)點(diǎn)構(gòu)造:C言語的類型描畫言語的類型

40、描畫:typedef struct PTNode nodes MAX_TREE_SIZE; int r, n; / 根結(jié)點(diǎn)的位置和結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)根結(jié)點(diǎn)的位置和結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) PTree;樹構(gòu)造樹構(gòu)造:ABCDEFG0 A -11 B 02 C 03 D 04 E 25 F 26 G 4r=0n=6 data firstchild 1 2 34 56二、孩子鏈表表示法二、孩子鏈表表示法:typedef struct CTNode int child; struct CTNode *next; *ChildPtr;孩子結(jié)點(diǎn)構(gòu)造孩子結(jié)點(diǎn)構(gòu)造: child nextC言語的類型描畫言語的類型描畫: typedef

41、 struct Elem data; ChildPtr firstchild; / 孩子鏈的頭指針 CTBox;雙親結(jié)點(diǎn)構(gòu)造雙親結(jié)點(diǎn)構(gòu)造 data firstchildtypedef struct CTBox nodesMAX_TREE_SIZE; int n, r; / 結(jié)點(diǎn)數(shù)和根結(jié)點(diǎn)的位置結(jié)點(diǎn)數(shù)和根結(jié)點(diǎn)的位置 CTree;樹構(gòu)造樹構(gòu)造:ABCDEFG AB C E D F Groot AB C E D F G 三、樹的二叉鏈表三、樹的二叉鏈表 (孩子孩子-兄弟存儲(chǔ)表示法兄弟存儲(chǔ)表示法typedef struct CSNode Elem data; struct CSNode *firstc

42、hild, *nextsibling; CSNode, *CSTree;C言語的類型描畫言語的類型描畫:結(jié)點(diǎn)構(gòu)造結(jié)點(diǎn)構(gòu)造: firstchild data nextsibling 6.6.2 森林和二叉樹的轉(zhuǎn)換森林和二叉樹的轉(zhuǎn)換設(shè)森林設(shè)森林 F = ( T1, T2, , Tn ); T1 = (root，t11, t12, , t1m);二叉樹二叉樹 B =( LBT, Node(root), RBT ); 由于二叉樹可以用二叉鏈表表示，為了使普通樹由于二叉樹可以用二叉鏈表表示，為了使普通樹也能用二叉鏈表表示，必需找出樹與二叉樹之間的關(guān)也能用二叉鏈表表示，必需找出樹與二叉樹之間的關(guān)系。系。

43、這樣，給定一棵樹，可以找到獨(dú)一的一棵二叉這樣，給定一棵樹，可以找到獨(dú)一的一棵二叉樹與之對(duì)應(yīng)。樹與之對(duì)應(yīng)。方法：方法： 對(duì)每個(gè)孩子進(jìn)展從左到右的排序；對(duì)每個(gè)孩子進(jìn)展從左到右的排序； 在兄弟之間加一條連線；在兄弟之間加一條連線； 對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)，除了左孩子外，去除其與其他孩對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)，除了左孩子外，去除其與其他孩子之間的聯(lián)絡(luò)；子之間的聯(lián)絡(luò)； 以根結(jié)點(diǎn)為軸心，將整個(gè)樹順時(shí)針轉(zhuǎn)以根結(jié)點(diǎn)為軸心，將整個(gè)樹順時(shí)針轉(zhuǎn)45度。度。1、將樹轉(zhuǎn)換成二叉樹的轉(zhuǎn)換規(guī)那么為、將樹轉(zhuǎn)換成二叉樹的轉(zhuǎn)換規(guī)那么為: I A B C DE F G H(b) A B CD E G H FI(a)樹轉(zhuǎn)換為二叉樹樹轉(zhuǎn)換為二叉樹ABEFCDG

44、HI(d)ABCDEFGHI(c)2、由森林轉(zhuǎn)換成二叉樹的轉(zhuǎn)換規(guī)那么為、由森林轉(zhuǎn)換成二叉樹的轉(zhuǎn)換規(guī)那么為:假設(shè) F = ，那么 B = ；否那么， 由 ROOT( T1 ) 對(duì)應(yīng)得到 Node(root)； 由 (t11, t12, , t1m ) 對(duì)應(yīng)得到 LBT； 由 (T2, T3, Tn ) 對(duì)應(yīng)得到 RBT。森林轉(zhuǎn)換為二叉樹森林轉(zhuǎn)換為二叉樹ADCBEFHIGJEFADCBHIGJADCBEFHIGJADCBEFHIGJ3、由二叉樹轉(zhuǎn)換為森林的轉(zhuǎn)換規(guī)那么為：、由二叉樹轉(zhuǎn)換為森林的轉(zhuǎn)換規(guī)那么為：假設(shè) B = ， 那么 F = ；否那么，由 Node(root) 對(duì)應(yīng)得到 ROOT( T1

45、 )；由LBT 對(duì)應(yīng)得到 ( t11, t12, ，t1m)；由RBT 對(duì)應(yīng)得到 (T2, T3, , Tn)。將二叉樹轉(zhuǎn)換成樹或森林的方法如下：將二叉樹轉(zhuǎn)換成樹或森林的方法如下：1.假設(shè)某結(jié)點(diǎn)是其雙親的左孩子假設(shè)某結(jié)點(diǎn)是其雙親的左孩子,那么把該結(jié)點(diǎn)的右孩那么把該結(jié)點(diǎn)的右孩子、右孩子的右孩子子、右孩子的右孩子都與該結(jié)點(diǎn)的雙親結(jié)點(diǎn)用線都與該結(jié)點(diǎn)的雙親結(jié)點(diǎn)用線連起來連起來;2.刪除原二叉樹中一切的雙親結(jié)點(diǎn)與右孩子結(jié)點(diǎn)的連刪除原二叉樹中一切的雙親結(jié)點(diǎn)與右孩子結(jié)點(diǎn)的連線線.3.整理步驟整理步驟1、2所得到的樹或森林所得到的樹或森林,使構(gòu)造層次清楚使構(gòu)造層次清楚.將二叉樹轉(zhuǎn)換為樹或森林的另一種描畫：將二

46、叉樹轉(zhuǎn)換為樹或森林的另一種描畫：ABEFCDGHI(a)ABEFCDGHI(b)將二叉樹轉(zhuǎn)換為樹或森林將二叉樹轉(zhuǎn)換為樹或森林ABEFCDGHI(c) 假設(shè)某結(jié)點(diǎn)是其雙假設(shè)某結(jié)點(diǎn)是其雙親的左孩子親的左孩子,那么那么把該結(jié)點(diǎn)的右孩子把該結(jié)點(diǎn)的右孩子、右孩子的右孩子、右孩子的右孩子都與該結(jié)點(diǎn)的雙都與該結(jié)點(diǎn)的雙親結(jié)點(diǎn)用線連起來親結(jié)點(diǎn)用線連起來;刪除原二叉樹中一刪除原二叉樹中一切的雙親結(jié)點(diǎn)與右切的雙親結(jié)點(diǎn)與右孩子結(jié)點(diǎn)的連線孩子結(jié)點(diǎn)的連線. 由此，樹的各種操作均可對(duì)應(yīng)二叉樹的操作來完成。 該當(dāng)留意的是，和樹對(duì)應(yīng)的二叉樹，其左、右子樹的概念已改動(dòng)為： 左是孩子，右是兄弟。6.7樹和森林的遍歷樹和森林的遍歷一

47、、樹的遍歷一、樹的遍歷二、森林的遍歷二、森林的遍歷三、樹的遍歷的運(yùn)用三、樹的遍歷的運(yùn)用樹的遍歷可有三條搜索途徑樹的遍歷可有三條搜索途徑:按層次遍歷按層次遍歷:先根先根(次序次序)遍歷遍歷:后根后根(次序次序)遍歷遍歷: 假設(shè)樹不空，那么先訪問根結(jié)點(diǎn)，假設(shè)樹不空，那么先訪問根結(jié)點(diǎn)，然后依次先根遍歷各棵子樹。然后依次先根遍歷各棵子樹。 假設(shè)樹不空，那么先依次后根遍歷假設(shè)樹不空，那么先依次后根遍歷各棵子樹，然后訪問根結(jié)點(diǎn)。各棵子樹，然后訪問根結(jié)點(diǎn)。 假設(shè)樹不空，那么自上而下自左假設(shè)樹不空，那么自上而下自左至右訪問樹中每個(gè)結(jié)點(diǎn)。至右訪問樹中每個(gè)結(jié)點(diǎn)。 A B C DE F G H I J K 先根遍歷

48、時(shí)頂點(diǎn)先根遍歷時(shí)頂點(diǎn)的訪問次序：的訪問次序：A B E F C D G H I J K 后根遍歷時(shí)頂點(diǎn)后根遍歷時(shí)頂點(diǎn)的訪問次序：的訪問次序：E F B C I J K H G D A 層次遍歷時(shí)頂點(diǎn)層次遍歷時(shí)頂點(diǎn)的訪問次序：的訪問次序：A B C D E F G H I J K B C DE F G H I J K1森林中第一棵樹的根結(jié)點(diǎn)；2森林中第一棵樹的子樹森林；3森林中其它樹構(gòu)成的森林。森林由三部分構(gòu)成： 假設(shè)森林不空，那么訪問森林中第一棵樹的根結(jié)點(diǎn)；先序遍歷森林中第一棵樹的子樹森林；先序遍歷森林中(除第一棵樹之外)其 余樹構(gòu)成的森林。1. 先序遍歷先序遍歷森林的遍歷森林的遍歷即：依次從

49、左至右對(duì)森林中的每一棵樹進(jìn)展先根遍歷。中序遍歷中序遍歷 假設(shè)森林不空，那么中序遍歷森林中第一棵樹的子樹森林；訪問森林中第一棵樹的根結(jié)點(diǎn)；中序遍歷森林中(除第一棵樹之外)其 余樹構(gòu)成的森林。即：依次從左至右對(duì)森林中的每一棵樹進(jìn)展后根遍歷。 樹的遍歷和二叉樹遍歷的對(duì)應(yīng)關(guān)系樹的遍歷和二叉樹遍歷的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ？先根遍歷先根遍歷后根遍歷后根遍歷樹樹二叉樹二叉樹森林森林先序遍歷先序遍歷先序遍歷先序遍歷中序遍歷中序遍歷中序遍歷中序遍歷設(shè)樹的存儲(chǔ)構(gòu)造為孩子兄弟鏈表設(shè)樹的存儲(chǔ)構(gòu)造為孩子兄弟鏈表typedef struct CSNode Elem data; struct CSNode *firstchild, *

50、nextsibling; CSNode, *CSTree;一、求樹的深度一、求樹的深度二、輸出樹中一切從根到葉子的途徑二、輸出樹中一切從根到葉子的途徑三、建樹的存儲(chǔ)構(gòu)造三、建樹的存儲(chǔ)構(gòu)造int TreeDepth(CSTree T) if(!T) return 0; else h1 = TreeDepth( T-firstchild ); h2 = TreeDepth( T-nextsibling); / TreeDepthreturn(max(h1+1, h2);一、求樹的深度的算法：一、求樹的深度的算法：二、輸出樹中一切從根到葉子的途徑的算法二、輸出樹中一切從根到葉子的途徑的算法: A B

51、 C DE F G H I J K例如：對(duì)左圖所示的樹，其輸出結(jié)果應(yīng)為：A B EA B FA CA D G H IA D G H JA D G H Kvoid AllPath( Bitree T, Stack& S ) if (T) Push( S, T-data ); if (!T-Lchild & !T-Rchild ) PrintStack(S); else AllPath( T-Lchild, S ); AllPath( T-Rchild, S ); Pop(S); / if(T) / AllPath/ 輸出二叉樹上從根到一切葉子結(jié)點(diǎn)的途徑輸出二叉樹上從根到一切葉子結(jié)點(diǎn)的途徑void

52、 OutPath( Bitree T, Stack& S ) while ( !T ) Push(S, T-data ); if ( !T-firstchild ) Printstack(s); else OutPath( T-firstchild, s ); Pop(S); T = T-nextsibling; / while / OutPath/ 輸出森林中一切從根到葉的途徑三、建樹的存儲(chǔ)構(gòu)造的算法三、建樹的存儲(chǔ)構(gòu)造的算法: 和二叉樹類似，不同的定義相應(yīng)有不同的算法。 假設(shè)以二元組(F，C)的方式自上而下、自左而右依次輸入樹的各邊，建立樹的孩子-兄弟鏈表。ABCDEFG例如例如:對(duì)以下所示

53、樹的輸入序列應(yīng)為:(#, A)(A, B)(A, C)(A, D)(C, E)(C, F)(E, G)ABCD(#, A)(A, B)(A, C)(A, D)(C, E)可見，算法中需求一個(gè)隊(duì)列保管已建好的結(jié)點(diǎn)的指針。void CreatTree( CSTree &T ) T = NULL; for( scanf(&fa, &ch); ch!= ; scanf(&fa, &ch);) p = GetTreeNode(ch); / 創(chuàng)建結(jié)點(diǎn)創(chuàng)建結(jié)點(diǎn)EnQueue(Q, p); / 指針入隊(duì)列指針入隊(duì)列if (fa = ) T = p; / 所建為根所建為根結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn) else / 非根結(jié)點(diǎn)的情況非

54、根結(jié)點(diǎn)的情況 / for / CreateTree GetHead(Q,s); / 取隊(duì)列頭元素(指針值)while (s-data != fa ) / 查詢雙親結(jié)點(diǎn) DeQueue(Q,s); GetHead(Q,s); if (!(s-firstchild) s-firstchild = p; r = p; / 鏈接第一個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)else r-nextsibling = p; r = p; / 鏈接其它孩子結(jié)點(diǎn) 6.8 哈哈 夫夫 曼曼 樹樹 與與 哈哈 夫夫 曼曼 編編 碼碼 最優(yōu)樹的定義最優(yōu)樹的定義 如何構(gòu)造最優(yōu)樹如何構(gòu)造最優(yōu)樹 前綴編碼前綴編碼 一、最優(yōu)樹的定義一、最優(yōu)樹的定義樹的途

55、徑長(zhǎng)度定義為：樹的途徑長(zhǎng)度定義為： 樹中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的途徑長(zhǎng)度之和。樹中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的途徑長(zhǎng)度之和。 結(jié)點(diǎn)的途徑長(zhǎng)度定義為：結(jié)點(diǎn)的途徑長(zhǎng)度定義為： 從根結(jié)點(diǎn)到該結(jié)點(diǎn)的途徑上從根結(jié)點(diǎn)到該結(jié)點(diǎn)的途徑上 分支的數(shù)目。分支的數(shù)目。1 12 2453 367PL=0+1+1+2+2+2+2=10樹的途徑長(zhǎng)度用樹的途徑長(zhǎng)度用PLPL表示。表示。1 12 245C67PL=0+1+1+2+2+3+3=12 樹的帶權(quán)途徑長(zhǎng)度定義為：樹的帶權(quán)途徑長(zhǎng)度定義為： 樹中一切葉子結(jié)點(diǎn)的帶權(quán)途徑長(zhǎng)度樹中一切葉子結(jié)點(diǎn)的帶權(quán)途徑長(zhǎng)度之和之和 WPL(T) = wklk (對(duì)一切葉子結(jié)點(diǎn)對(duì)一切葉子結(jié)點(diǎn))。其中：其中：Wk為樹中每個(gè)葉子

56、結(jié)點(diǎn)的權(quán)；為樹中每個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的權(quán)； Lk為每個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)到根的途徑為每個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)到根的途徑長(zhǎng)度。長(zhǎng)度。例如：例如：27 9 75492WPL(T)= 72+52+23+43+92 =60WPL(T)= 74+94+53+42+21 =89 54最優(yōu)樹最優(yōu)樹 在一切含 n 個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)、并帶一樣權(quán)值的 m 叉樹中，必存在一棵其帶權(quán)途徑長(zhǎng)度取最小值的樹，稱為“最優(yōu)樹。 由原始數(shù)據(jù)生成森林 根據(jù)給定的n個(gè)權(quán)值 w1, w2, , wn， 構(gòu)造 n 棵二叉樹的集合 F = T1, T2, , Tn， 其中每棵二叉樹中均只含一個(gè)帶權(quán)值 為 wi 的根結(jié)點(diǎn),其左、右子樹為空樹；二、如何構(gòu)造最優(yōu)樹二、如何構(gòu)造最優(yōu)樹(1)(赫夫曼算法) 以二叉樹為例： 在 F 中選取其根結(jié)點(diǎn)的權(quán)值為最 小的兩棵二