15極限的運(yùn)算法則

1、主講人:第五節(jié)極限運(yùn)算法則-、無窮小運(yùn)算法則二、極限的四則運(yùn)算法貝IJ三、極限的復(fù)合運(yùn)算法則一、無窮小運(yùn)算法則定理1 有限個無窮小的和還是無窮小.證:考慮兩個無窮小的和.設(shè)lim =lim 0 = 0,兀一兀0X XqX/w > 0, 38x0,當(dāng)0 < | x-x0| < 時，有 | a < | m 込o,當(dāng) o < xx0 < 心時，有|0 <f 取5 = min5 ,82 ，則當(dāng) 0<|x-x0|< 時,有 a + /7|<|a| + |/7| <| + | =s 因此lim+ 0) = 0.XXq這說明當(dāng)X->X0

2、時，Q + 0為無窮小量.類似可證：有限不無窮小之和仍為無窮小主講人:定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證明 設(shè)函數(shù)比在兀。的某一去心鄰域xlO<lx-xol<內(nèi) 有界,即3M>0,使當(dāng)0<1%-01<時,u<M.又設(shè)。是當(dāng)XT%時的無窮小，即V6>0?存在迓0,使當(dāng) 0<lx-xol<時,有（A<s/M.取尼min5,爲(wèi),則當(dāng)Ovl兀-兀（）1<5時,有u-a=u-a<£, 這說明ug也是當(dāng)XT%時的無窮小. 推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. 推論2有限個無窮小的乘積也是無窮小.例1求lim叫.XTOO

3、X解：t sin x | < 1lim 1 = 0X利用定理2可知limX->00sinx說明：y = 0是j的漸近線X二、極限的四則運(yùn)算運(yùn)算法則定理3如果 hmf(x)=A, limg(x)=B,那么(2)lim/(x)-g(x)=lim/(x)4im g(x)=A-B.lim推論1如果lim/(x)存在，而c為常數(shù)，貝Ilimcx)=c4im/(x).推論2如果lim/(x)存在,而是正整數(shù)，貝Ilim|»r=lin鞏x)卩.證:因 limj(x) = A, limg(x) = B,則有f(x) = A + a , g(x) = B + /3(其中a,0為無窮小)于是

4、/(x)±g(x) = (A + a)±(B + y0)= (4±B) + (q±0)由定理1可知Q±0也是無窮小，再利用極限與無窮小 的關(guān)系定理，知結(jié)論(1)成立.(2)/(x).g(x)=(A + a)(B + )=AB + (A0 + Ba) + cc/3由定理2可知40和是無窮小，再由定理1可知(A0 +加)+切 是無窮小，從而結(jié)論(2)成立.伍劭山東農(nóng)業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則 定理4設(shè)有數(shù)列£和如果lim xn =A , lim yn =B ,nsng那么(1) lim(£±yJ=A±

5、;B;ns(2) lim(£兒)二AB;mg心 oo ynB當(dāng)兒工0(x1, 2, )且能0時,不等式 定理5如果久x)'颯x),而lim久x)=a,lim久尤)=方,那么aR求極限舉例例 1 求 lim (2x-l).X-1解 lim (2x-l)= lim 2x- lim 1=2 lim x-I=2'l-I=l.x-1x-1x-1x1討論若 P(x)=aoxn+anx + + an_Yx+an,則 lim P(x)=? 提示 lim P(x)=P(x0).X-Xq例2 求 lim$ 0123-l7x2-5x+3解 lim cx2-5x+3 lim(x2-5x+3)

6、2210+33 x2例3求血1王2.xt3 X2-9解 = lim 丄xt3 X29x3 (x3)(x+3) xt3 x+3lim 1二 =1lim (x+3)6x>3例4求lim牛33 x2-5x+4解因為limX1昭5x+4 _ P5*1+4 _q2x32*13根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系得lim -斗=oo.3 x2-5x+4討論有理函數(shù)的極限黑簫=? 提示當(dāng) Q(x°)HO 時，lim船馭o 2(%)2(x0)當(dāng)0（必）=o且尸（兀0）工0時，lim等¥ = co.心勺0（兀丿當(dāng)0（兀0）=尸（兀0）=0時，約去分子分母的公因式（兀-兀0）.例5求徑弒乎解先用兀3

7、去除分子及分母,然后取極限:=13+7 3 =血!戈導(dǎo)=3 XTOO 7 | 337x X3例&求巴1爲(wèi)解：先用兀彳去除分子及分母,然后取極限:Um 3莊二2匕12x3-x2+5二血! ¥羊io 2_丄+丄X X3號。.求lim筈手*.xtoo 3x22xl解因為幌券生所以3昭一2兀一1討論有理函數(shù)的極限lim嚴(yán)十叮+ +：XT8 b0Xm+blXm1 H卜 9提示lim00爐+。1“1 +。b（）x 肌+bXmT + +饑00n<mn-mn>m例8求Jim沁.XTOO X解當(dāng)XTOO時，分子及分母的極限都不存在,故關(guān)于 商的極限的運(yùn)算法則不能應(yīng)用.因為沁=丄&#

8、163;加兀，是無窮小與有界函數(shù)的乘積， 所以 lim = O.XT8 X定理6(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)設(shè)函數(shù)yhlg(x)是由函數(shù)yh")與函數(shù)婦g(Q復(fù)合而成, /g(X)在點(diǎn)兀0的某去心鄰域內(nèi)有定義.若g(X)TZ/o(XfXo), 且在兀°的某去心鄰域內(nèi)g(x)H“o,則Hm fg(x)= lim f(ii)=A 求limx3p-9V x-3是由y = u與=三扌復(fù)合而成的.y2 _9 因為叱萬=6,所以limxt3x2-9V x-3=lim Vw =a/6 u6內(nèi)容小結(jié)1. 極限運(yùn)算法則(1) 無窮小運(yùn)算法則(2) 極限四則運(yùn)算法則注意使用條件(3) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法1