數(shù)列前n項(xiàng)和的求法總結(jié)

1、數(shù)列前n項(xiàng)和的求法總結(jié)核心提示：求數(shù)列的前n項(xiàng)和要借助于通項(xiàng)公式，即先有通項(xiàng)公式，再在分析數(shù)列通項(xiàng)公 式的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和。當(dāng)遇到具體問題時(shí)，要注 意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，找到適合的方法解題。公式法(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和:?=竺/)=? + 中？等比數(shù)列前n項(xiàng)和：？=?時(shí)，？?？=?;一? (?- ?)?"?時(shí)，?=" ?. ?(3)其他公式:? =?+?+?+? + ?= ?(?+ ?)? = ? + ? +? = ? + ? +”?+ ? + ?= ?(?+ ?)(?+ ?)“?”?+ ? + ?= ?(?+ ?)?解：點(diǎn) 顯的看 差數(shù)

2、列， 把兩個(gè)練習(xí):例題1:求數(shù)列？方，？方，？煲，(？+?), 的前n項(xiàng)和S=(14"3，一.工力乜5十十后十不撥：這道題只要經(jīng)過簡(jiǎn)單整理，就可以很明 出：這個(gè)數(shù)列可以分解成兩個(gè)數(shù)列，一個(gè)等= 止J + 1之一個(gè)等比數(shù)列，再分別運(yùn)用公式求和，最后21數(shù)列的和再求和。il(il + 1)1=14 2 2n二.倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列a n,與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和， 可采用把正著寫與倒 著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們?cè)趯W(xué)知識(shí)時(shí)，不但要知其果，更要索具因，知識(shí)的得出過程是知識(shí)的源頭，也是研究同一類知 識(shí)的工具，例如：等差數(shù)列前 n項(xiàng)

3、和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法”。例題1:設(shè)等差數(shù)列an,公差為d,求證：an的前n項(xiàng)和Sn=n(ai+an)/2解：Sn=ai+a2+a3+.+a n倒序得：Sn=an+an-l+an-2+ai CD +(2)4tf: 2s=(ai+a)+(a 2+an-i)+(a 3+an-2)+,+(an+ai)又 ; a i+an=&+an-i =a3+an-2- =an+ai28=n(a2+an)Sn=n(a+a)/2點(diǎn)撥：由推導(dǎo)過程可看出，倒序相加法得以應(yīng)用的原因是借助 ai+an=a2+an-i=a3+an-2=an+ai即與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和的這一等差數(shù) 列的重要

4、性質(zhì)來實(shí)現(xiàn)的。練習(xí)：(1)三.裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法 是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而 求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。修+12r 二1 1 1 . 十：二十；二二十十- * .一 例題 3:求數(shù)列I? 1 + 2 + 3l+2+. + n(nCN)的和解:點(diǎn)撥：此題先通過求數(shù)列的通項(xiàng)找到可以裂項(xiàng)的規(guī)律，再把數(shù)列的每一項(xiàng)拆開之后, 中間部分的項(xiàng)相互抵消，再把剩下的項(xiàng)整理成最后的結(jié)果即可四.錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即 若在數(shù)列an bn中，an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的 兩邊同乘以公比，再與 原式錯(cuò)位相減整理后

5、即可以求出前 n項(xiàng)和。例題4:求數(shù)列nan(n CN*)的和解：設(shè) S=a+2a2+3a3+nan+1)若 a=1 則：Sn=1+2+3+ +n= 2若 awl 貝U: aS=a2+2a3+(n-1)a n+nan+1 s 心"*：-得：(1-a)S n=a+m+a3+an-nan+1 貝U： " d練習(xí)：(1)(2)(3)求：?= ?+ ?+ ? + ? + (?- ?)?- ?.解：?= ?+ ?+ ? + ? + (?- ?) ?- ?，兩邊同乘以X,得? = ?+ ? + ? + ? + (?- ?)?-得，(？- ?) ? = ?+ ?(?+ ?+ ?+ ? +

6、?)- (?- ?)?再用公式法里面的公式即可。五.迭加法迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列an滿足an+i=an+f(n),其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件 下，可把這個(gè)式子變成an+i-an=f(n),代入各項(xiàng)，得到一系列式子，把所有的式子加到一起， 經(jīng)過整理，可求出an,從而求出Sno例題5:已知數(shù)列6,9,14,21,30,其中相鄰兩項(xiàng)之差成等差數(shù)列，求它的前n項(xiàng)和。角單:- 2 2-a i=3,a 3-a 2=5,a4-a 3=7，,a n-a n-i =2n-13+C2n-1)*x (tl- 1) = n -1把各項(xiàng)相加得：an-a i=3+5+7+ +(2n -1)=2 . an=n2-

7、1+a產(chǎn)n2+5n(n+L) (&n + l) . S n=12+22+n2+5n=6+5n點(diǎn)撥：本題應(yīng)用迭加法求出通項(xiàng)公式，并且求前n項(xiàng)和時(shí)應(yīng)用到了 12+22+n2=n(n-l-l) (2n +1)片因此問題就容易解決了。六.分組求和法所謂分組求和法就是對(duì)一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列 適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，冉將其合并。例題 6:求 S=12-2 2+32-42+- +(-1) n-1n2(n N*)解：當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)：S=(12-2 2)+(3 2-42)+.-1) 2-n2n (1 + nJ=-(1+2+-+n)=-

8、2當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)：S=(12-22)+(3 2-42)+ - +(n -2) 2-(n-1) 2+n2=-1+2+(n-1)+n 2=-竽資7? I ? ?綜上所述：？ = (- ?)?+?不？(？+ ?)點(diǎn)撥：分組求和法的實(shí)質(zhì)是：將不能直接求和的數(shù)列分解成若干個(gè)可以求和的數(shù)列，分別求和。練習(xí)：(2)作業(yè)：1 .已知等差數(shù)列?,其前n項(xiàng)和為？?，且？?4= 9, ?5= 35.(1)求數(shù)列?得通項(xiàng)公式；(2)若?？ = 2? ?+ n,求數(shù)列?的前n項(xiàng)和為？?.(錯(cuò)位相減法)2 .設(shè)數(shù)列?滿足？?i + 3?2+ 32?3+ ? + 3?- 1 ? = ?, n CN?.(1)求數(shù)歹I?得通項(xiàng)公式；(