江蘇省無錫市2019屆高三第一次模擬考試數(shù)學試卷(含答案)

1、江蘇省無錫市2019屆高三第一次模擬考試數(shù) 學注意事項：1 .本試卷共160分，考試時間120分鐘.2 .答題前，考生務(wù)必將自己的學校、班級、姓名寫在密封線內(nèi).一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.1 .設(shè)集合 A= x|x>0, B= x 2<x<1,貝U AC B=.2 .設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1 + i） z= 1 3i（其中i是虛數(shù)單位），則z的實部為 .3 .有A, B, C三所學校，學生人數(shù)的比例為3： 4： 5,現(xiàn)用分層抽樣的方法招募n名志愿者，若在A學校恰好選出9名志愿者，那么n=.4 .史上常有賽馬論英雄的記載，田忌欲與齊王賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王

2、的中等馬，劣于 齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下 等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為.5 .執(zhí)行如圖所示的偽代碼，則輸出 x的值為.x - y + 1 > 0,6 .已知x, y滿足約束條件 2x yW0,則2 = * + 丫的取值范圍是 .x> 0,7 .在四邊形 ABCM,已知AB= a+2b, BC= - 4a-b, Cb= 5a3b,其中a, b是不共線的向 量，則四邊形ABCD勺形斗犬是.8 .以雙曲線xy=1的右焦點為焦點的拋物線的標準方程是549 .已知一個圓錐的軸截面是等邊三角

3、形，側(cè)面積為6兀，則該圓錐的體積等于 . 兀sin 0 + -4的值為cos (2 0 6兀)口J回刀10 .設(shè)公差不為零的等差數(shù)列 an滿足a3=7,且a 1, a21, a，一 1成等比數(shù)列，則 a10=4 .11 .已知e是第四象限角，則cos e=5，那么12 .已知直線 y=a(x+2)( a>0)與函數(shù)y=|cos x|的圖象恰有四個公共點A(x1, y1), B(x2,1y2),C(x3,y3),D(x4,y4),其中x1<x2<x3<x4,則x4+=.tan x413 .已知點 P在圓 M (x- a)2+(y-a + 2)2= 1 上,A, B為圓 C

4、： x2+(y4)2= 4 上兩動點，且AB= 2事,貝UPA-PB勺最小值是 一，一，22_2一 111 ,一，14 .在銳角二角形ABC中，已知2sin A+ sin B= 2sin C，則氤飛+氤吊十氤元的最小值為解答題：本大題共 6小題，共90分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步 驟.15 .(本小題滿分14分)在 ABC中，設(shè)a, b, c分別是角A, B, C的對邊，已知向量m(a,sin C sin B), n=(b+c, sin A+ sin B),且 m/ n.(1)求角C的大??；(2)若c=3,求 ABCO長的取值范圍.16 .(本小題滿分14分)在四麴t PA

5、BC由，銳角三角形 PA所在平面垂直于平面 PAB ABL AD AB! BC(1)求證：BC/平面PAD(2)求證：平面PAD_平面ABCD(第16題)17 .(本小題滿分14分)十九大提出對農(nóng)村要堅持精準扶貧，至2020年底全面脫貧.現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實施脫貧工作，經(jīng)摸底排查，該村現(xiàn)有貧困農(nóng)戶100家，他們均從事水果種植，2017年底該村平均每戶年純收入為1萬元，扶貧工作組一方面請有關(guān)專家對水果進行品種改良，提高產(chǎn)量；另一方面，抽出部分農(nóng)戶從事水果包裝、銷售工作，其人數(shù)必須小于種植的人 數(shù).從2018年初開始，若該村抽出 5x戶(x CZ, 1WxW9)從事水果包裝、銷售.經(jīng)測算

6、，剩下從事x水果種植農(nóng)戶的年純收入每戶平均比上一年提高工；，而從事包裝、銷售農(nóng)戶的年純收入每戶平均為13333 x 萬元.(參考數(shù)據(jù)：1.1 =1.331, 1.15 =1.521 , 1.2 = 1.728)(1)至2020年底，為使從事水果種植農(nóng)戶能實現(xiàn)脫貧(每戶年均純收入不低于1萬6千元)，至少抽出多少戶從事包裝、銷售工作？(2)至2018年底，該村每戶年均純收入能否達到1.35萬元？若能，請求出從事包裝、銷售的戶數(shù)；若不能，請說明理由.22C，+看=1(2>60)的離心率為PA交y軸于點C, PB交x軸于點18 .(本小題滿分16分)在平面直角坐標系 xOy中，已知橢圓 坐，且過

7、點 ，3, 1 ,點P在第四象限，A為左頂點，B為上頂點, D(1)求橢圓C的標準方程；(2)求 PCD0積的最大值.(第18題)19 .(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x) =exax(a>0).(1)當a=1時，求證：對于任意 x>0,都有f(x)>0 成立； ,-_ . .x1 + x2 .(2)右y = f(x)恰好在x= x1和x= x2兩處取得極值，求證：一2<ln a.20 .(本小題滿分16分)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0 , q*),前n項和為S,且2a1a3= a4, *-數(shù)列bn的前 n項和 Tn滿足 2Tn=n(bn1), nCN, b

8、2=1.(1)求數(shù)列an , bn的通項公式； 一1,(2)是否存在常數(shù)t,使得 S+*為等比數(shù)列？請說明理由；1(3)設(shè)cn=,對于任意給定的正整數(shù) k(k> 2),是否存在正整數(shù)l , m(k<l<n)i,使得ck,bn 4Cl , Cm成等差數(shù)列？若存在，求出 l , m用k表示)；若不存在，請說明理由.江蘇省無錫市2019屆高三第一次模擬考試數(shù)學附加題注意事項：1 .附加題供選修物理的考生使用.2 .本試卷共40分，考試時間30分鐘.3 .答題前，考生務(wù)必將自己的學校、班級、姓名寫在密封線內(nèi). 說明：解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.21 .(本小題滿分

9、10分)選彳4-2:矩陣與變換3 4A=,求adbc的值.c d0 -1 a b設(shè)旋轉(zhuǎn)變換矩陣A=10，若1之22 .(本小題滿分10分)選彳4-4:坐標系與參數(shù)方程自極點O作射線與直線 p cos 0 = 3相交于點 M,在OMk取一點 巳 使OM OP= 12,若Q為曲x= 1+ 2 t ,線(t為參數(shù))上一點，求PQ的最小值.y=2+小23 .(本小題滿分10分)在平面直角坐標系 xOy中，曲線C上的動點M(x, y)(x>0)到點F(2 , 0) 的距離減去 M到直線x=1的距離等于1.(1)求曲線C的方程；(2)若直線y=k(x + 2)與曲線C交于A, B兩點，求證：直線 F

10、A與直線FB的傾斜角互補.2 12 an124.(本小題滿分10分)已知數(shù)列a n滿足a1 = %, ；一； = ；(n > 2).3 an I an-1 I(1)求數(shù)列a n的通項公式； r1(2 )設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,用數(shù)學歸納法證明：Sn<n+-ln .江蘇省無錫市2019屆高三第一次模擬考試數(shù)學參考答案及評分標準1. x|0<x<12. -1 3. 36 4. 1 5. 2536. 0, 37.梯形 8. y a+b 23 （a+ b） 2所以 ab=（a+b） -9< =一 , 所以<9,24即（a+b）212,所以 a+bw2#, （12

11、 分）又因為 a+ b>c,所以 6<a+ b+ cw 2 43 + 3,即周長 l 滿足 6<l w 3+ 2y3, 所以 AB3長的取彳t范圍是（6 , 3+2>/3 . （14分）16. （1） 因為 AB,AD AEJ± BC 且 A, B, C, D共面，所以 AD/ BC.（3 分）= 12x 9. 3 n 10. 2111.5,21412. -213. 1912 21314. 215. （1） 由m/n 及m= （a, sinCsinB）,n=（b+c,sin得 a（sinA sinB） （ b+c）（sinC- sinB） = 0, （2 分）

12、由正弦定理，得 a 而十而 一（b+c） 而一而 =0， 2 R 2R2R 2R所以 a2+ ab （c2 b2） =0,得 c2= a2+ b2+ ab,由余弦定理，得 c2=a2+b22abcos C,所以 a2+b2 + ab= a2+b22abcos C,所以 ab= 2abcos C, （5 分） 1因為 ab>0,所以 cos C= 2,又因為CC （0 ,兀），所以C= 9.（7分）3（2）在ABC,由余弦定理，得 c2=a2+b22abcos C,所以 a2+b2 2abcos2= 9,即（a+b）2ab= 9, （9 分） 3（第16題）因為BC?平面PAD AD?平面

13、PAD所以BC/平面PAD.（5分）（2）如圖，過點 D作DHL PA于點H,因為 PAD是銳角三角形，所以 H與A不重合.（7分）因為平面 PADL平面 PAB,平面 PADT平面 PAB= PA, DH?平面PAD所以因為因為所以因為DHL平面 PAD.（9 分）AB7平面 PAB 所以 DHL AB.（11 分）ABI AD ADn DH= D, AD DH?平面 PADAB1平面 PAD.AB7平面ABCD所以平面 PADL平面ABCD.（14分） x 317. （1）由題意得 1X 1+20 >1.6 ,因為 5x<100-5x,所以 x<10 且 xCZ.（2 分

14、） x 3因為y= 1 + 20在xC1, 9上單調(diào)遞增，由數(shù)據(jù)知，1.15 3=1.521<1.6 , 1.2 3= 1.728>1.6 ,x所以 2U>0.2,得 x>4.（5 分）又 x<10 且 xCZ,故 x = 4, 5, 6, 7, 8, 9.答：至少抽取20戶從事包裝、銷售工作.（7分）（2）假設(shè)該村戶均純收入能達到1.35萬元，由題意得，不等式5x3-4x+ 1+0（100-5x） >1.35有正整數(shù)解，（8分）化簡整理得3x2 30x+ 70<0, （10分）所以一乎& x5W 夸.（11分）因為 3<丑<4,且

15、 xC Z,所以一1W x5W1,即 4<x<6.（13 分）答：至2018年底，該村戶均純收入能達到 1萬3千5百元，此時從事包裝、銷售的農(nóng)戶數(shù)為20戶，25戶，30戶.(14分)3 . 1.-2+ 77-2= 1 , a 4b '18. (1)由題意得C_g得 a2=4, b2=1, (4 分)廠2，a2= b2+ c2,X22八故橢圓C的標準方程為+ y = 1.(5分)1 一一(2)由題意設(shè)l AP：y=k(x+2), -2<k<0,所以 C(0, 2k),y= k (x + 2)由 X . 2,4+y = 1，消去 y 得(1 +4k2)x2+16k2

16、x+16k24 = 0,所以16k24xaxp= ,由 xa= 21 + 4k1日2-8k2信 xp2,1 +4k故 yp= k(x p+ 2)=J,1十4k一 一 22-8k 4k所以 P 1 + 4k2' 1 + 4k，(8 分)設(shè)D(x。，0),因為 B(0, 1), P, B, D三點共線，所以4k2 1.w 11+4kkBD= kpB, 故-x = -2 8k2 ，斛得 xd=1 + 4k22 (1+2k)1-2k '2 (1+2k)1 2k所以 Sa pcd= Sa pad Sacad= 2X ADX |y p yo| =22 (1 + 2k)1 -2k4k+ 2

17、管2k41k (1+2k) |1 + 4k2(12 分)一. 18k24k1 -2k .1<t<2 ,所以 2k=1-t,因為一 <k<0,所以 Sapcd=2 =-2 + 2*2,令 t = 12k,21 + 4k1 + 4k八2t八2t八2 一八2八，所以g(t)一2+1+ (1-t) 2 =-2+t2-2t+2=-2+2+2T2-2 =V2T，(14t +7-2W當且僅當t = q2時取等號，此時k = 1z22,所以 PCD面積的最大值為 421.(16分)19. (1)由 f(x) = ex-2x2-x,則 f' (x) = ex-x-1,令 g(x)

18、 =f' (x),則 g' (x) = ex 1, (3 分)當x>0時，g' (x)>0 ,則f' (x)在(0 , +oo)上單調(diào)遞增，故f' (x)>f ' (0) = 0,所以f(x)在(0, +8)上單調(diào)遞增，(5分)f(x)>f(0)=1>0,即對任意 x>0,都有 f(x)>0.(6 分)(2) f'(x) = ex-ax-a,因為xi, x2為f(x)的兩個極值點，f' (x1) =0,ex1ax1 a =0,所以，即f( x2)=0,ex2 ax2 a= 0.-exi-

19、ex2兩式相減，得 a =, (8 分)xi x2,-xl+x2 _4生 一 xi + x2exi ex2 'exi ex2則所證不等式等價于 一-<ln,即 e <, (i0 分)2xi x2xi x2xi x2.,、_. . _.一 .一一e exi x2 i -不妨設(shè) xi>x2,兩邊同時除以 ex2可得：e 2 <, (i2分)xi x2令t=xi x2, t>0,所證不等式只需證明：2 e 一 i 2 te2<? t e2 e + i<0.(i4 分)t tt i tt設(shè) e (t) = te2-e + i,則 e' (t)

20、= -e2e2-2+i ,因為ex>x+i,令x=2,? t可得 e2- 2+i >0,所以 4' (t) <0,所以 ()(t)在(0, +8)上單調(diào)遞減，e (t)< 4(0)=0,xi+ x2所以一2<ln a . (i6 分)20. (i) 因為 2aia3=a4,所以 2ai aiq2=aiq所以 ai=2,所以 an=qqn i = 2qn.(2 分)因為 2Tn=n(bni) , ne N*,所以 2Tn+i= ( n+i)( bn+i i) , nCN,*)付 2Tn+1 2Tn= ( n+1) bn+1 nbn (n+i) + n)nCN

21、)所以 2bn+1 = ( n+1) bn+1 - nbn一 ( n+ 1) + n, *所以(n1)bn+i = nbn+1, nCN,(4 分)所以 nbn+2= ( n+1) bn+1 +1, n C N) *一得 ntn+2(ni)bn+i = (n+i)bn+i nbn, ne N ,*所以 nbn+2+ nbn= 2nbn+1 , n N ,所以 bn+2+ bn=2bn+1,所以bn+2 bn+i = bn+1 bn,所以bn為等差數(shù)列.因為 n=1 時 bi = 1,又 b2= 1,所以公差為2,所以bn=2n 3.(6分)q 一 n、q 一 n、2 (1-q)12 (1-q)

22、1qn+tq 1(2)由得 &=1q ，所以 S+2T=1 q+2T=2 (q1)+2 (1 q)十，1q 1要使得Sn+；7為等比數(shù)列，則通項必須滿足指數(shù)型函數(shù)，即c / J 、 +木=0，解得t =2t2 (1 q)2tq-1q.(9 分)1$+1+ 2t 此時-S+2Tn+2q2 (q-1)=q， q2 (q 1)- ，q1所以存在t = q一q11，使得& +不為等比數(shù)歹U.(10 分)列.2R ，設(shè)對于任意給定的正整數(shù)k( k>2),存在正整數(shù)l , m k<l <m ,使得Ck,Cm成等差數(shù)列，所以2c=ck+cm,所以=+ 12l+1 2k+12

23、班 1所以4k 2l + 12/ 1 2l + 1 2k+1(2l+1) (2k+1) .I 2kl -k+2l所以 m 4k-2l+1(4k + 2| 1) (k+1) + ( 2k+1) 24k-2l + 1，一、2(2k+1)=-k - 1 + :.4k 2l + 1.2，一、,(2k+1)所以價 k+1 = 4k-2l + 1 .因為給定正整數(shù) k( k> 2),所以4k2l+1能整除(2 k+1)2且4k 2l + 1>0,所以 4k 2l +1 = 1 或 2k+ 1 或(2k+1)2.(14 分)22右 4k 2l +1 = 1,貝U l =2k, m= 4k +3k

24、,此時 m- l = 4k + k>0,滿足(k<l <n)；若 4k21+1 = 2k+1,則 k=l ,矛盾(舍去)；若 4k 2l+1 = (2k+ 1)2,則 l=2k2,此時 k=0(舍去).綜上，任意給定的正整數(shù)k(k>2),存在正整數(shù)l=2k, m= 4k2+3k,使得a, ci, cm成等差數(shù)(16 分)江蘇省無錫市2019屆高三第一次模擬考試數(shù)學附加題參考答案及評分標準b= 3,021.因為A=1一 a= 4,(6分)2 = c,1 =d,即 a= - 4, b= 3,c= 2, d= 1, (8 分)分）所以 ad-bc= (4)x( 1) -2X3

25、=- 2.(10M(P22. 以極點O為直角坐標原點，以極軸為 x軸的正半軸，建立直角坐標系，設(shè) P（p ,。）， ',0 ）,因為OM。212,所以p p ' = 12.因為 p ' cos。= 3,所以cos 0 = 3, IP p = 4cos 0 , p（3分）化為直角坐標方程為x2+y2 4x=0,即（x 2）2+y2=4.（5 分） 由1 +昇（t為參數(shù)）得普通方程為x-y + 3=0,"）所以PQ的最小值為圓上的點到直線距離的最小值,|2 -0+3|5J2即 PQnm=d-r =F一2 = -2.(10 分).2223. (1)由題意得 7 (x-2) 2+y2 |x + 1| = 1, (2 分)即 « (x 2) 2+y2 = |x + 1| + 1.因為x>0,所以x+ 1>0,所以 yj (x-2) 2+y2 =x+ 2,兩邊平方，整理得曲線C的方程為y2= 8x.(4分)y2= 8x,設(shè) A(x1, y1) , B(x2, y2),聯(lián)立y=kx + 2,得 k2x2+(4k28)x + 4k2=0,所以 xa2 = 4.(6 分)，一 y1,y2kFA+ kFB=門 + cx2x22k 3+2) k (x2+2)x1 2+x22k (x1 + 2) (x22) +k (x1 2) (x2+2)