關(guān)于實(shí)數(shù)七個基本定理等價性的證明

1、關(guān)于實(shí)數(shù)七個基本定理等價性的證明夏小月中山大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)04級從開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析至今，我們共學(xué)習(xí)了七個實(shí)數(shù)基本定理，他們分別是：戴德金連續(xù)性準(zhǔn)則單調(diào)有界有極限定理確界定理區(qū)間套定理Borel有限覆蓋定理Bolzano-Weierstrass定理Cauchy收斂原理書上證明各定理的思路是：從出發(fā)證明及，并證明、相互等價，此過程中得到：“單調(diào)上升有上界數(shù)列的極限即為數(shù)列上確界”這一加強(qiáng)結(jié)論。由及此加強(qiáng)結(jié)論可證出，再由分別證出及，由證出。下面給出這七個實(shí)數(shù)基本定理之間相互等價的證明，大概思路如下：詳細(xì)證明如下：已知有區(qū)間套滿足，。要證存在唯一的，且記全體上界組成的集合為，。由，知。顯然，且，故知不空；

2、由知不漏；，由于不是的上界，因此存在，使。而是上界之一，所以，故，即，故不亂，因此構(gòu)成實(shí)數(shù)的一個分劃。由知，存在唯一的r，有。下證，即若，使，則，因此，而，與矛盾。同樣，若，使，則，因此，而，與矛盾。也即。下證：時， ，即最后證明是唯一的，若，使，由知，令得矛盾，至此區(qū)間套定理得證。已知實(shí)數(shù)分劃，求證存在唯一的使，。任取，用中點(diǎn)二等分，若，則記，否則記；再用中點(diǎn)二等分，若，則記，否則記。如此進(jìn)行下去得一區(qū)間序列，顯然，且。因此為區(qū)間套。由知，存在唯一的滿足，且。下證，用反證法：若存在，使，則取，時，。這與是實(shí)數(shù)分劃相矛盾。同理，若存在，使，則取，時，。這與不亂相矛盾。故的存在性得證，下證唯一性

3、：若，不妨設(shè)，則。若，則，矛盾；若，則，矛盾，故，與不漏矛盾。得證。必要性：若極限存在，設(shè)，則時，故當(dāng),，必要性得證。充分性：若時，取，則，時，令；則記，將三等分，則分點(diǎn)為及，在及中至少有一個閉子區(qū)間只含中的有限項(xiàng)，否則，取， ，存在，滿足而，矛盾。設(shè)只含有限項(xiàng)的閉子區(qū)間（之一）為，記，則，再三等分，重復(fù)如上步驟，進(jìn)行下去得一區(qū)間套，由知，存在唯一的使得有區(qū)間套的構(gòu)造可知，中只含中的有限項(xiàng)，即中含自某項(xiàng)起之后的所有項(xiàng)，不妨設(shè)為后的所有項(xiàng)。時，而對于，含有自后的所有項(xiàng)因此只要，有，即，即。充分性得證，得證。已知有區(qū)間套，有時若，不妨設(shè)，則由知、收斂，又，記。下證，用反證法：若，使，由單調(diào)上升知時

4、，令得，矛盾。同樣，若，使，由單調(diào)下降知時，令得，矛盾。，即至于的唯一性，若，使，由知，令得矛盾。存在并唯一，得證已知單調(diào)上升有上界，要證存在。用反證法：若不存在，即，存在，使，不妨設(shè)。取，使取，使取，使上述k個不等式相加，有： （）取，則時，這與是上界矛盾。時，由知，極限存在，類似可證若單調(diào)下降有下界，也存在已知有界，要證有收斂子列，首先證明必有單調(diào)子列。若，則稱有性質(zhì)。只可能出現(xiàn)兩種情況：中有無窮多項(xiàng)有性質(zhì)。則可從這些項(xiàng)中取，滿足，則。為一單調(diào)遞減的子列。中只有有限項(xiàng)有性質(zhì)，記最后一項(xiàng)具有性質(zhì)的點(diǎn)為，則，使 取，使；對于，使；對于，使，如此下去，得到一單調(diào)遞增子列故可知有界數(shù)列必有單調(diào)子列

5、有界故有界，由知收斂得證已知單調(diào)上升有上界，則有收斂子列，設(shè)時取，則只要，必，使，從而，故，即同理可證單調(diào)下降的情況，得證已知非空數(shù)集有上界，要證明有上確界任取，記，則不是上界，是上界；若是的上界，則記，否則記，；若是的上界，則記，否則記，；如此繼續(xù)下去，得到兩數(shù)列，且，非上界，為上界，且單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且顯然，使，有上界，有下界。由知、均存在，又，記由過程中知，若使，則取。，時，則不是上界，矛盾。，即是上界。時，不是上界，使，是的上確界同理可知非空數(shù)集若有下界則必有下確界。得證設(shè)有一個開覆蓋，定義數(shù)集。，使，非空。由的定義知，若，則，故若無上界，則，也即有的有限子覆蓋。若有上界，由知有上

6、確界。若，則，使，有的有限子覆蓋。而顯然被覆蓋，又知道，這與矛盾，有的有限子覆蓋。得證已知有一區(qū)間套，要證存在唯一的，且。用反證法。，、極限若存在則必在內(nèi)。若不存在，即，使構(gòu)造的一開覆蓋，由知有的有限子覆蓋。，使，即，而由的加強(qiáng)形式知，只要，則存在中一個區(qū)間，覆蓋。時，而時，也即存在一開區(qū)間將，及后面的項(xiàng)全部覆蓋，這與中任一區(qū)間都不能覆蓋自某項(xiàng)后所有項(xiàng)矛盾。存在，同理存在。由知。記。用反證法易推出，若，由單調(diào)遞減知使，令得，矛盾，同理知。的唯一性顯然，由極限唯一性亦可得知。得證至此，七個實(shí)數(shù)基本定理等價性得到證明。在上述證明中，之充分性證明方法，中有界數(shù)列必有單調(diào)子列的事實(shí)，中所用到的Lebesgue方法，均參考了數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義，或從中受到啟發(fā)。覆蓋定理的加強(qiáng)形式：若區(qū)間的一個開覆蓋，則，使得對于區(qū)間中的任何兩個點(diǎn)，只要，就存在開覆蓋中的一個開區(qū)間，它同時覆蓋（稱這個數(shù)為開覆蓋的Lebesgue數(shù)）證明：首先用覆蓋定理，得到的一個有限子覆蓋，即開覆蓋的中的有限個開區(qū)間，它們的并覆蓋了，將這有限個開區(qū)間的所有端點(diǎn)按大小順序排列，去掉其中可能有重復(fù)的點(diǎn)，記為，并記這個端點(diǎn)集為，現(xiàn)在令現(xiàn)在證明這就是所求的Lebesgue數(shù)：任取，使，則有兩個可能與之間無中的點(diǎn)，于是覆蓋或其中一個點(diǎn)的（每個）開區(qū)間必同時覆蓋另一個點(diǎn)與之間有中的