大一上學(xué)期高數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、百度文庫第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容小結(jié)1.定義定理公式(1)導(dǎo)數(shù)，左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)，微分以及導(dǎo)數(shù)和微分的幾何意義(2)定理與運(yùn)算法則定理1 f(xo)存在f (X0)f (Xo).定理2若y f(x)在點(diǎn)X0處可導(dǎo)，則y f(x)在點(diǎn)X。處連續(xù)；反之不真.定理3函數(shù)f (x)在X0處可微f (x)在x0處可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則：設(shè)u u(x),v v(x)均可導(dǎo)，則(u v) u v ,d(u v) du dv(uv) uv vu ,d (uv) udv vdu,u、 vu uvu. vdu udv.(-) 2(v 0), d(-) 2(v 0) v vv v(3)基本求導(dǎo)公式2.各類函數(shù)

2、導(dǎo)數(shù)的求法(1)復(fù)合函數(shù)微分法(2)反函數(shù)的微分法(3)由參數(shù)方程確定函數(shù)的微分法(4)隱函數(shù)微分法(5)哥指函數(shù)微分法(6)函數(shù)表達(dá)式為若干因子連乘積、乘方、開方或商形式的微分法.方法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法(即先對(duì)式子的兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后在等式的兩端再對(duì)x求導(dǎo))(7)分段函數(shù)微分法3.高階導(dǎo)數(shù)/(1)定義與基本公式8080高階導(dǎo)數(shù)公式：(ax)(n) axlnna (a 0)(ex) ex(sin kx)(n) kn sin(kx n )(cos kx)(n) kn cos(kx n )2/ m、(n)m n(x 5)m(m 1) (m n 1)x(xn嚴(yán) n!(n)(ln x)(1)n 1 (n

3、1)!nx萊布尼茲公式:(2)高階導(dǎo)數(shù)的求法直接法間接法4.導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用(1)求曲線的切線、法線(2)求變化率一一相關(guān)變化率二、例題解析例 2.1 設(shè) f(x)1 sin 一,x(K為整數(shù)).問:(1)當(dāng)K為何值時(shí)，f (x)在x 0處不可導(dǎo);(2)當(dāng)K為何值時(shí)，f (x)在x 0處可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù);(3)當(dāng)K為何值時(shí),f (x)在x 0處導(dǎo)函數(shù)連續(xù)?解函數(shù)f (x)在x=0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù):xim0f(x) f(0)x 0f (x)lim x 0 xK ci 1f(0)(x) sin；=lim xf (0)當(dāng)K 1時(shí),8181不存在,0,.1 _ sinx發(fā)散，當(dāng)K 1，當(dāng)K 1f (x)的導(dǎo)

4、函數(shù)為:KxK 1 sin1(x)x0,1 cos-, xx 0為使 lim f (x) f (0) x 0因此，函數(shù)f(x)K ci 1x sin , x 0x當(dāng)K<1時(shí),f (x)在 x0處不可導(dǎo);2時(shí),2時(shí),f (x)在 xf (x)在 x例2.22sin x1 ctgx0處可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)在x 0處不連續(xù);0處可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)在x 0處連續(xù)。2絲2x,求曳。1 tgx dx分析 本例當(dāng)然可以用商的求導(dǎo)法則來求，但比較麻煩，若先對(duì)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行變形就可用代數(shù)和的求導(dǎo)法則來求，這樣就簡便多了。解y 而晨sin x cosx3. 33cos x sin x cos xcosx sin x s

5、in x cosx-sin 2x。 2所以y cos2x 。如果不經(jīng)過化簡,直接求導(dǎo)則計(jì)算將是十分繁瑣的O例 2.3 y arctgexln分析 本例若直接對(duì)原式利用差的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法來求，比較麻煩，但若利用對(duì)數(shù)性質(zhì)對(duì)函數(shù)表達(dá)式的第二項(xiàng)變形，再利用差及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法來求，就簡便得多。解因?yàn)?arctge - ln e ln(e 1) arctgex n ln(e2x1)所以1“Px(arctgex) x -ln( e2x1)' = e2 2x例2.4x. f (x)dyf (e )e ,求一。 dx2x1 2e2 2x2 e 1x Ye 1""2x&quo

6、t;e 18282解利用積的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有dy= f(ex)exef(x)f (ex)ef(x) f (x) = ef (x) f (ex )exf(ex)f(x)。dx /例 2.5 設(shè)方程 xy2 ey cos(x y2),求 y .本例是隱函數(shù)求導(dǎo)問題，對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)可用下面兩種方法來求。解(方法一)方程兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)(y看作x的函數(shù)y y(x),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可得y2 2xyy ey y sin(x y2) (1 2yy)22、y sin(x y )y ;-,1r2xy e 2ysin(x y )(方法二)方程兩邊同時(shí)微分：d(xy2 ey) d(cos(x y2)2

7、y ,y dx 2xydy e dy2sin(x y )(dx 2ydy)y _ ,2、,.2. ,2、.(2xy ey 2ysin(x y )dy y sin(x y )dx,2. ,2、所以 dy y sin(x y ) dx 2xy ey 2y sin(x y2)例2.6 、已知x f,f(t)為二次可微函數(shù)，且f (t) 0,求 電,d-4y tf (t) f(t)dx dx2分析 這是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問題，可按參數(shù)方程求導(dǎo)法則來求。解 因?yàn)?dy dtf (t) f (t) = tf (t)dtdx df (t) f (t)dt所以dy腎低t。8383.2.d

8、y = ddydtdx2dx dx f" (t)dt1f"(t)錯(cuò)誤原因沒有搞清求導(dǎo)對(duì)象.Jy/dxdy dx日 7ddx常見錯(cuò)解：dJ2y(t) 1。dx階導(dǎo)數(shù) 5對(duì)x求導(dǎo)，而t'是一階導(dǎo)數(shù)對(duì) dxt求導(dǎo)。例2.7求函數(shù)yx2 1解 dyd . x1 x2.1 x2 dx xd1 x21 x21 x2 dx x d(1 x2)21 x21 x22 .x dx2J2 dx1x2dx2,32 (1 x )3例2.8 設(shè)y xx23x 2求 y(n)。分析本例是求分式有理函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，先將有理假分式通過多項(xiàng)式除法化為整式與 有理真分式之和，再將有理分式寫成部分分式之和

9、，最后仿(xm)(n)的表達(dá)式寫出所給定的有 理函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。y (x7x 63) x(x 2)(x 1)(n)y = (x8(x 2) 1嚴(yán)(x 1) 1(n)(1)n8 n!(x 2) 1 n(1)nn!(x 1) 1 nn .1) n!(n 2)81n 1n 1(x 2) (x 1)ex , x 0,一一 一 、4、，一 ，一，例 2.9 設(shè) f(x)e ,0 求f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)的連續(xù)區(qū)間，若間斷，判別類型,x2 1, x 0/并分別作f (x)與f (x)的圖形。8484分析函數(shù)f(x)是用分段表達(dá)的函數(shù).在x 0的兩側(cè)：當(dāng)x 0時(shí)，f (x) ex ;當(dāng)x 0時(shí),f (x) 2x .因此，在處，f(x)的可導(dǎo)情況，需根據(jù)定義來作判斷，求出導(dǎo)函數(shù)后,再判別它的連續(xù)區(qū)間。解因?yàn)?0)limx 0f(x) f(0)xlimx 0x2 11 0x故(0)limx 0f(x) f(0)x