定積分典型例題46818

1、定積分典型例題例1求lim 2（府 +松+疔）. n存n若對(duì)題目中被積函分析將這類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限.數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對(duì)區(qū)間0, 1 n等分寫(xiě)出積分和，再與所求極限相比較來(lái)找出被積函數(shù)與積分上下限.解 將區(qū)間0, 1 n等分，則每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)為 縱=丄,然后把4nn入和式中各項(xiàng)于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分即nmn 例3比較J2exdx , （貳+硏I +汗=吩（洛+佇川+晉）=0飯dx W例 20 J2x X2 dx =解法1由定積分的幾何意義知，fJ2x-x2dx等于上半圓周（X-1）2+y2=1與x軸所圍成的圖形的面積.故l72C：2dx = -.解

2、法2本題也可直接用換元法求解.令 x-1 = si nt (丿 t 匹),貝 y2 20 J2x -x2dx= J2-sin2t costdt = 2 蘋(píng) J1 -sin2t costdt = 2cos2 tdt =e dx ,(1+x)dx .分析 對(duì)于定積分的大小比較，可以先算出定積分的值再比較大小，而在無(wú)法求出積分值時(shí)則只能利用定積分的性質(zhì)通過(guò)比較被積函數(shù)之間的大小來(lái)確定積分值的大小.解法12在1,2上，有 ex 0 時(shí),f x)0 ,f（x）在（0,邑）上單調(diào)遞增，從而f（x）Af（0），可知在1,2上，有exAl +x .又jf(x)dx =2 1 11一f (x)dx，從而有 2

3、(1+x)dx A，2exdx ex dx .解法2 在1,2上，有ex x 注意到2!1 21 f (x)dx =_ 1 f (x)dx 因此1 1 x 1 x22(1 +x)dx 2 dx e dx .0 2例4估計(jì)定積分1 ex -dx的值.分析要估計(jì)定積分的值，關(guān)鍵在于確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值與最小值.2 2 1f(x)=ex, 因?yàn)?f(x)=ex(2x1),令 f(x)=0,求得駐點(diǎn),而1f(0)=e=1, f( 2)=e2,f(2)=e1e f(X)6, x0,2,從而所以20 2J-2e2 exdx 0, f(x)0 求 慍 g(x)fx)dx .解 由于f(x)在a,

4、b上連續(xù)，則f(X)在a,b上有最大值 M和最小值m 由f(X 0 知M 0 , m 0 .又 g(x) 0，貝Ur_ bb bVm g(x)dx g(x)3f (x)dx M g(x)dx .由于 lim 怖=lim=1，故n_尹b bnim a g(x)nf(x)dx= g(x)dx.n 十 sin x例6求lim f dx, p, n為自然數(shù).nnx分析 這類(lèi)問(wèn)題如果先求積分然后再求極限往往很困難，解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法是利用積分中值定理與夾逼準(zhǔn)則.解法1利用積分中值定理sin x設(shè)f(x)=,顯然f(x)在n,n+p上連續(xù)，由積分中值定理得 xz + sin X . sin 戶一丄dx

5、=p ,匚匸nn + p,x-當(dāng)n T處時(shí)，Et比，而I sin勺1 ,故lim業(yè)dxm 警.p=0 n#nxMt解法2利用積分不等式因?yàn)槎?limln匕=0，所以lim f葉業(yè)dx=0 1求 lim 0dx 1+x解法由積分中值定理b_ ba f (x)g(x)dx= f 化)a g(x)dx可知101 +x1 1 -4%=市0乂樂(lè),0盈蘭1.nmj；xndx=nmn+1F 且 2-1，解法虬01+x因?yàn)? x 1,故有dx =0 0xn 1+x,n + s in xMPsin xdxhxxnp 1n + pdx f-dx =lnhx證明由題設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，由積分中值定理，可得于是

6、可得00)的單調(diào)遞減開(kāi)區(qū)間為1111(x)= 3-尸，令F(x) 3，解之得0CX-，即(0,-)為所求.仮Vx9912求 f(X)= (1 t)arctantdt 的極值點(diǎn).由題意先求駐點(diǎn).于是 f (X)= (1 -x)arctan x .令f (x) = 0，得x =1， x =0 .列表如下:X(w,0)0(0,1)1(1卞)f (x)-0+0故X =1為f (x)的極大值點(diǎn)，X =0為極小值點(diǎn).例13已知兩曲線y=f(x)與y=g(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線相同，其中arcs in x .2g(x) = 0edt, x1,1,試求該切線的方程并求極限lim nf (?) n存nf(o

7、)=g(o),分析 兩曲線y = f(X)與y =g(x)在點(diǎn)(0, 0)處的切線相同，隱含條件f (0) =g (0) 解由已知條件得0 .2f (0) =g(0) = 0edt =0,且由兩曲線在(0,0)處切線斜率相同知f (0) =g (0)(arcsin x)* 2 e=1 x 1故所求切線方程為 y =x 而nmn f耳理3f(-) -f(0)=3 f 3-0n(0) =3 xTx-bsinx 0 7斤22f sin 2tdt例14 求lim 7 t(t -sin t)dt分析 該極限屬于0型未定式，可用洛必達(dá)法則.0x220 sin 2tdtlim = lim 一f “ 、/=(

8、_2) lim 、，= (2) limyMt-si nt)dtT(1)X(x-s inx)xTx-si nxT1-cosx2x(sin x2)2/ 22(x )4x3x t2、dt =1成立.15分析易見(jiàn)該極限屬于0型的未定式，可用洛必達(dá)法則.0t2.xxj X -b sin xJa +t2x2dt = lim =limlimxJ 1 -b cosx T Ja +x2 T1 -bcosx12x2=(-2) lim= 0 y si nx此處利用等價(jià)無(wú)窮小替換和多次應(yīng)用洛必達(dá)法則.x2= 2lim=1 ,ja T1 -bcosx由此可知必有I|im(1 -bcosx) =0 ,得 b =1 .又由

9、1X22=lim=7a -0cosxTa得a =4 .即a =4 , b =1為所求.sinx23Sint dt, g(x) =x=1 ,例 16 設(shè) f(X)= J04+ X，則當(dāng)XT 0 時(shí)，f(X)是 g(x)的( ).A .等價(jià)無(wú)窮小.B .同階但非等價(jià)的無(wú)窮小.C.高階無(wú)窮小.D .低階無(wú)窮小.解法1由于螞2f(x) _|im sin(sin x) cosx2TT33x +4x2cosxsin(sin x)= lim limX-0 3+4x X-01 X21= hm p = .3Tx23故f (x)是g(x)同階但非等價(jià)的無(wú)窮小.選B .2將Sint展成t的幕級(jí)數(shù)，再逐項(xiàng)積分，得到s

10、inx 21 2 31317f(x) = 0 t (t ) +Hdt =sin X-一sin xb3!342解法2lim 空XIX-0g(x)sin*1- sin4x+HD 1- si n4x+|劃亍第?巴3 421 +x3例17證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)且單調(diào)增加,ba +b bJa xf (x)dx -2 Ja f(x)dx .則有證法1令 F(x)= ftf(t)dt-字f(t)dt，當(dāng) tax時(shí)，f(t)0，其中 X迂a,b.從而a +bab bF (b) = a xf (x)dx -一 L f (x)dx 0 .證畢.a +ba +b證法2 由于f(x)單調(diào)增加，有(X-

11、)f(x)-f()0，從而2 2b a +ba +bJa(x 一)f(x) f (丁)go )f(x)dx 塑b x_ 叱)f (叱)dx= f(吐)f(x_ 注)dx = 0 2 2 2 a 2例18分析ba xf (x)dx 2計(jì)算打XI dx a +b b2 f (x)dx 被積函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào),應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)然后再積分.2 0 2L|x|dx =扎(乂dx 中.0xdx =-3 1Qdx=；=x積區(qū)間內(nèi)無(wú)界.1 ,則是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤的原因則是由于被積函數(shù)6在x=0處間斷且在被2 2勺卡2 = 2 2 2在使用牛頓-萊布尼茲公式時(shí) ，應(yīng)保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件.1717十

12、一=2 36例 20 設(shè) f (x)是連續(xù)函數(shù)，且 f(X)=x +3Jo f (t)dt ,則 f(X)=所以2 2例 19 計(jì)算 0 maxx ,xdx 分析被積函數(shù)在積分區(qū)間上實(shí)際是分段函數(shù)f(x)心乞3-，所以 f (x) =x - 44x 0x121223.解0 maxx2,xdx = .0xdx+ x2dx =才0 +中2 =二1b分析 本題只需要注意到定積分f (x)dx是常數(shù)(a, b為常數(shù)).1 1因f (x)連續(xù)，f(x)必可積，從而f(t)dt是常數(shù)，記f(t)dt=a，則1 1f(x)=x+3a,且 J0(x+3a)dx = J0 f (t)dt =a 1 2 1 1從

13、而a =-x + 3axo =a，即？ + 3a =a ,例21的連續(xù)性.分析由于f(x)是分段函數(shù)，故對(duì)F(x)也要分段討論.(1 )求F(x)的表達(dá)式.F(x)的定義域?yàn)?,2 當(dāng)X引0,1時(shí)，0,xu0,1,因此xx 23x3F (X) = 0 f(t)dt = 03t2dt =t30 =x3 .當(dāng) (1,2時(shí)，0, X =0,1U1,x,因此，則12X3 1F(x) = 03t2dt + 1 (5-2t)dt=t302 x2+5t -t 1 =二+ 5X-X ,r 3,X ,F(xM2I七+5X-X , 1 x2 F(x)在0,1)及(1,2上連續(xù)，在x=1處，由于23lim才(x)=

14、!imF +5x-x)=1, iim_F(x)=iim_x =1, f(1)=1.因此，F(xiàn)(x)在x=1處連續(xù)，從而F(x)在0,2上連續(xù).錯(cuò)誤解答 (1)求F(x)的表達(dá)式,當(dāng)X引0,1)時(shí),Xx 23x3F(x) = .0 f(t)dt = .03tdt=t 0=x .當(dāng)X引1,2時(shí)，有F(x) = .0 f(t)dt= .0(5-2t)dt = 5x-x2 .故由上可知-3.X ,F (xM2(5x X ,1 x 20 0 .2a一 J 2a /.解 0 xj2ax -x2dx= 0 xja2 -(X - a)2 dx，令 x _a =asint，貝U2a 才3 兀20 xj2ax-x

15、dx=a J；(1 +sint)cos tdt=2a3 1 cos2 tdt +0 =號(hào) a3.注若定積分中的被積函數(shù)含有Ja2 -X2般令 x=asint 或 x = acost.例26計(jì)算*dxX + Ja2 -x2，其中a；0 .解法1令 X =asint，貝UdxX + Ja2 x2dtsin t +cost2Sint +cost駅sint + cost) + (cost sint), c dt1+(si nt+cost)idt0sin t +costF機(jī)兀U +ln | sin t +cost 丨月=一4解法2令 X =asint，貝UdxX + Ja2 -x2dt . sin t

16、+cost又令t則有.孑 cost,0dt =sin t +cost2102_du.sin u +cosusinu所以,dxa0 X + Ja2 -x2=尹sint dt+sin t +cost01 丑 ITOsin t+costdt匸dt=7cost注如杲先計(jì)算不定積分dx，再利用牛頓 -萊布尼茲公式求解，則比較復(fù)雜，由此可看出定積分與不定積分的差別之一.例27計(jì)算iex +3分析 被積函數(shù)中含有根式， 不易直接求原函數(shù)，考慮作適當(dāng)變換去掉根式.解 設(shè) u =7eX -1 , X =1 n(u2 +1), dx = 嚴(yán) du，則 u +125 ex Jex -10 eX+3d2j；2-d20

17、+4 u2 +1b u2 +4 b22u2+4-4 2duu +4例28分析2 2 17嚴(yán)心.計(jì)算ftf(X2 -t2)dt，其中 f(x)連續(xù). dx 0要求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但被積函數(shù)中含有X ,因此不能直接求導(dǎo)，必須先換元使被積函數(shù)中不含 X，然后再求導(dǎo).解由于故令X2 -t2x221 X222itf(x -t)dt = 2.0 f(x -t )dt .9 9=u，當(dāng) t =0 時(shí) u =x ;當(dāng) t =x 時(shí) u =0 ,而 dt = -du，所以X 22101 X20tf(x -t )dt=2 L f(u)(-du) = 2 Jo f(u)du ,故d X22 d 1 X122一

18、tf (x -t2)dt =一- f (u)du = - f (x2)2x= xf(x ). dx 0dx 22d .X 2222一 f tf (x2 一t2)dt =xf(x -X )=xf(0). dx 0錯(cuò)誤解答錯(cuò)解分析這里錯(cuò)誤地使用了變限函數(shù)的求導(dǎo)公式，公式d X（X）二；rJa f（t）dt = f（x）dx a中要求被積函數(shù)f（t）中不含有變限函數(shù)的自變量X，而f（X2 -12）含有X，因此不能直接求導(dǎo)，而應(yīng)先換元.例29計(jì)算xsin XdX .分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)幕函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形,通常采用分部積分法.JU近工 迅解 xsin xdx =xd(cosx) =x (cosx

19、)； -(cosx)dx兀 + PdV3=+ I cos xdx =一6七2例30計(jì)算.0 (3 -X)分析被積函數(shù)中出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)的情形，可考慮采用分部積分法.Bdx解01ng)dx=w+x)d(亡)二亡”)1 右=A21 1 14后+L)dx3 -X(2)式代入（1）式可得(1)(2)寸2JU例31 計(jì)算exsin xdx .分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要多次利用分部積分法.， X蠱XX迅 蠱X由于e sin xdx =sin xde =e sinxo -e cosxdx丑 工x=e2 -ex cos xdx ,ex cosxdx =cosxdeX =ex cos x

20、(2 - |2ex (sin x)dx=ex sin xdx 1 ,(2)ex sin xdx71=e2 - f2 ex sin xdx -1,Jo_X1ex sin xdx =5(e2 +1).321計(jì)算 0 xarcs in xdx.分析被積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與幕函數(shù)乘積的情形,通常用分部積分法.11x2x211 x2X2解 Oxarcsinxdx = 0 arcsinxd (刁)= arcsinxo .0?d(arcsinx)(1)令 X =sint，貝yJELdxsin21d Sint7!2 .2 sin tcostdt cost=Jo2 sin2 tdtsin 2t、2044將(2

21、)式代入(1)式中得0xarcs in xdx =彳例33設(shè)f(x)在0,兀上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f 5)=3且 譏f(x) + f 7x)cosxdx = 2 ,求 f (0).分析被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，可考慮用分部積分法求解.71解 由于 0 f (x) + f (x)cosxdx = f f (x)dsinx+ fjcosxdf (x)= f (x)sin X f ff (x)s in xdx + f (x)cosx? + J：f (x)si n xd冷=-f 兀)-f (0) =2 .故 f(0) =-2-f伍)=-2-3 = -5 .例34 (97研) 設(shè)函數(shù)f (x)連續(xù)

22、，1f (x)(x) = 0 f (xt)dt，且 lim,= A ( A 為常數(shù))，x-0 x求(x)并討論(x)在x=0處的連續(xù)性.1分析 求w(X)不能直接求，因?yàn)? f (xt)dt中含有W(x)的自變量x，需要通過(guò)換元將x從被積函數(shù)中分離出來(lái)，然后利用積分上限函數(shù)的求導(dǎo)法則，求出W(x)，最后用函數(shù)連續(xù)的定義來(lái)判定(x)在X =0處的連續(xù)性.f (x)解 由 lim =A知 limf(x)=0,而 f(x)連續(xù)，所以 f(0) =0,護(hù)(0)=0 . X0 x當(dāng) xH0 時(shí)，令 u=xt ， t=0 ， u =0 ； t =1 ，1dt =du，則x從而xJ。f(u)dux(x)f(

23、x)f(u)du 5).又因?yàn)閕x馬曲詈即 0誇.所以xf(x) - 0 f(u)du4(x)畀A2X2,X HOX =0由于啊rXfXT叫X=l迪竽也學(xué)=旨（0）.從而知護(hù)（X）在X =0處連續(xù).注這是一道綜合考查定積分換元法、對(duì)積分上限函數(shù)求導(dǎo)、按定義求導(dǎo)數(shù)、討論函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性等知識(shí)點(diǎn)的綜合題.而有些讀者在做題過(guò)程中常會(huì)犯如下兩種錯(cuò)誤:（1）直接求出xf(x)- J0 f(u)du而沒(méi)有利用定義去求w（0），就得到結(jié)論申（0）不存在或（0）無(wú)定義，從而得出 護(hù)（X）在x=0處不連續(xù)的結(jié)論.（2）在求xm護(hù)（x）時(shí)，不是去拆成兩項(xiàng)求極限，而是立即用洛必達(dá)法則，從而導(dǎo)致iXmP(x)=xf

24、(x)+(x)-f(x)jiimfg2x又由 四=A用洛必達(dá)法則得到lim f （x）= A，出現(xiàn)該錯(cuò)誤的原因是由于使用洛必達(dá)法則需要有條件：f（x）在x=0的鄰域內(nèi)可導(dǎo).但題設(shè)中僅有f（x）連續(xù)的條件，因此上面出現(xiàn)的lim f （x）是否存在是不能確定的.例35 （00研） 設(shè)函數(shù)f（x）在0,兀上連續(xù)，且0 f(x)dx=0 ,0 f(x)cosxdx = 0.試證在（0,兀）內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)q,上2使得f（q）= f（q）=o.分析本題有兩種證法:是運(yùn)用羅爾定理,X需要構(gòu)造函數(shù) F(x) = 0 f(t)dt,找出F(x)的三個(gè)零點(diǎn)，由已知條件易知F(0) =F(；i)=O，X =

25、0 , X =兀為F（X）的兩個(gè)零點(diǎn)，第三個(gè)零點(diǎn)的存在性是本題的難點(diǎn).另一種方法是利用函數(shù)的單調(diào)性，用反證法證明f（x）在（0,兀）之間存在兩個(gè)零點(diǎn).證法 1 令 F(x) = .0 f(t)dt, 0x0 ,在(1兀)內(nèi)f (x)0 .由此得出矛盾.故f(X)=0至少還有另一個(gè)實(shí)根 ,匕送且(0,1!)使得f(Af 化 2)=0.乂dx例 36 計(jì)算 f-dx一 .0 X2 + 4x +3分析 該積分是無(wú)窮限的的反常積分，用定義來(lái)計(jì)算.“乂 dxtdx1 t 11解 =呵 I = lim - ()dxb x2+4x+3 十6x2+4x+3 十2 5+1 x+3=lim 丄In X +1 0

26、= lim - (In -In -)十 2x+3t-抉 2t+33In 3=2(X-1)277例37計(jì)算3dx-2xdxdx(X-1)2 Jx2 -2x廣一2dX 2 X亠sec日聲空匹北(X-1)2J(X-1)2 -1那 sec 0 tan0550t(t2 +1)3兀EcosSdQ =1 - f2例384計(jì)算2dx寸(x-2)(4-x)分析該積分為無(wú)界函數(shù)的反常積分，且有兩個(gè)瑕點(diǎn)，于是由定義，當(dāng)且僅當(dāng)dx4dx和dX3Gx 2)(4x )3 J(x2)(4 X)均收斂時(shí)，原反常積分才是收斂的.解由于3dx3dxdx3 d(x3)2 T=alimrcsin( x -3)a =；dxbf _=

27、lim fJ(x 2)(4 -X)T-3 J(x-2)(4-x)dxdxb d(x-3)dxjiJI=+=兀.22b兀=limarcsin( x -3)3=例39計(jì)算.0 -dxJx(x+1)4 5分析 此題為混合型反常積分， 積分上限為,下限0為被積函數(shù)的瑕點(diǎn).解令仮=t，則有8 2tdtJ x( X +1)5-6c=2-dtJo(t2 +1)3再令t =ta n0，于是可得嚴(yán) dt(t2+12(ta n29+1)25sec 63sec 0TT 3cos 0d0 =71(1 _sin2日)cos日d日(1 sin2 0)dsinQSin 日 31si n3&/2 =1例40計(jì)算咕+x解由于+

28、2 dx2 1X + 2X1d(x-)XN1 22+(x)X可令t =x -1X，則當(dāng)x=f/2時(shí),XT 0時(shí)，tT 七 ;當(dāng) XT 0十時(shí)，tT ;當(dāng)X=1時(shí)，t=0 ；故有1d(x)X11 d(x)XJ+d-1)2X+ f01 22+(x)X02 2 +t2 十=2 +t2dt721m2arc門(mén)).注有些反常積分通過(guò)換元可以變成非反常積分，如例32、例37、例39;而有些非反333常積分通過(guò)換元卻會(huì)變成反常積分，如例40,因此在對(duì)積分換元時(shí)一定要注意此類(lèi)情形.例41求由曲線1X , y =3x , y =2 , y =1 所圍成的圖形的面積.y =3xy=2Xy2 =2x例42 拋物線2y

29、 =2x把圓2 2x +y =8分成兩部分，求這兩部分面積之比.解拋物線y22=2x與圓x2+ y =8的交點(diǎn)分別為（2,2）與（2, -2），如圖所示5- 2所示，拋物線將圓分成兩個(gè)部分記它們的面積分別為S， S，則有（2,/）圖5-2x24y2/S = J；（j8-y2 -才）dy=8 J,cos20d0-8=+2；r，Sa =8兀一A =67!，于是例434Si = 3 +2 兀=3花 +2匸二T頁(yè)才3求心形線 P=1 + COS0與圓P =3cos0所圍公共部分的面積.分析心形線P =1 +COS0與圓P =3cos0的圖形如圖5 3所示. 可.解 求得心形線 P=1+COS0與圓P

30、=3cos9的交點(diǎn)為由圖形的對(duì)稱(chēng)性，只需計(jì)算上半部分的面積即3-TT（卩,日）=（,二），由圖形的對(duì)稱(chēng)性得心形線P=1+cos0與23圓P =3cose所圍公共部分的面積為Pzz3cos0Pt 4cos&-4圖5 3y個(gè)2 -A = 2 f 1（1 +cos日）2d9 + 乍1（3跡）2d = *兀.例44求曲線y=lnx在區(qū)間（2,6）內(nèi)的一條切線，使得該切線與直線X =2，x=6和曲線y=l nx所圍成平面圖形的面積最?。ㄈ鐖D5 4所示）.分析要求平面圖形的面積的最小值，必須先求岀面積的表達(dá)式.解設(shè)所求切線與曲線 y =ln x相切于點(diǎn)（c,ln c），則切線方1程為y -1 n C =-

31、（x -c）.又切線與直線x=2， x=6和曲線 cy =ln x所圍成的平面圖形的面積為2注可考慮選取例46 （ 03研） 平面圖形(1)求D的面積(2)求D繞直線X =e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V .分析先求岀切點(diǎn)坐標(biāo)及切線方程，再用定積分求面積A，旋轉(zhuǎn)體積可用大的立體體積減去小的立體體積進(jìn)行A= (x-c) +1 n c-ln xdx= 4(4 1)+4In c +4-61 n 6 +2ln 2 . cc由于蘭=一1! +上=二(4 -c)， dc c c cdAdAdA令蘭=0，解得駐點(diǎn)C=4 .當(dāng)c4時(shí)蘭0 .故當(dāng)c=4時(shí)，A取得 dcdcdc極小值.由于駐點(diǎn)唯一.故當(dāng)c=4時(shí)，A取

32、得最小值.此時(shí)切線方程為：1y =-x 1 +ln4 .4例45 求圓域X2 +（y b）2 a ）繞x軸旋轉(zhuǎn)而 成的立體的體積.解 如圖55所示，選取x為積分變量，得上半圓周的方程 為y2 =b +Ja2 -x2下半圓周的方程為y1=b -Ja2 -X2則體積元素為 dV =（兀y2 -兀y）dx = 4兀bJa2 -x2dx .于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積為2V = 4兀b L Ja2 -x2 dx = 8兀b J孑-x2 dx= 8ib= 27i2a2b .y為積分變量，請(qǐng)讀者自行完成.y =1 n X及x軸圍成過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y =ln X的切線，該切線與曲線計(jì)算，如圖5 6所示.解 （1）設(shè)

33、切點(diǎn)橫坐標(biāo)為xo，則曲線y=lnx在點(diǎn)（Xo,ln xj處的切線方程是y =ln X0 + (X-X0).X0由該切線過(guò)原點(diǎn)知In X) -1 =0 ,1從而X0 =e ,所以該切線的方程是 y =- X .從而D的面積e1A=j0(eye-ey)dy =1 24(2)切線y =丄乂與X軸及直線X =e圍成的三角形繞直線 X =e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體積為e/127 1 = jT e ,3曲線y =ln X與X軸及直線X =e圍成的圖形繞直線 x =e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體積為V2 =(e-ey)2dy =；!(-e2 +2e-).JO22因此，所求體積為V =匕-V2 W(5e2 -12e + 3).例47有一立體以拋物線 y2=2x與直線x=2所圍成的圖形為z|底，而垂直于拋物線的軸的截面都是等邊三角形,如圖5 7所示.求其體積.解 選X為積分變量且 x0,2 過(guò)X軸上坐標(biāo)為X的點(diǎn)作垂直 于X軸的平面，與立體相截的截面為等邊三角形，其底邊長(zhǎng)為2J2X