84格林公式NEW

1、返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分第四節(jié)第四節(jié) 格林格林(green)公式公式二、二、格林格林(green)公式公式一、單一、單( (復復) )連通區(qū)域及其正向邊界連通區(qū)域及其正向邊界五、小結五、小結 作業(yè)作業(yè)三、三、平面曲線積分與路徑無關的條件平面曲線積分與路徑無關的條件四、曲線積分基本定理四、曲線積分基本定理返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分一、單一、單( (復復) )連通區(qū)域及其正向邊界連通區(qū)域及其正向邊界設設d為平面區(qū)域，如果為平面區(qū)域，如果d內任一閉曲線所圍成的內任一閉曲線所圍成的部分都屬于部分都屬于d，則稱，則稱d為平

2、面單連通區(qū)域；否則為平面單連通區(qū)域；否則稱為復連通區(qū)域稱為復連通區(qū)域. .復連通區(qū)域復連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域dd返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分規(guī)定：規(guī)定：例如：例如：區(qū)域區(qū)域221,xy221,xyd對于對于xoy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域d邊界曲線邊界曲線 的正向：的正向：當觀當觀察者沿著邊界行走時，區(qū)域察者沿著邊界行走時，區(qū)域 d 總在他的總在他的左側左側，并，并記作記作 ；與該方向相反的稱為負方向，記作；與該方向相反的稱為負方向，記作 . .d d d 是逆時針方向是逆時針方向d 是順時針方向是順時針方向d 返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線

3、積分與曲面積分微積分微積分設閉區(qū)域設閉區(qū)域 d 由有限條光滑或分段光滑的曲線圍由有限條光滑或分段光滑的曲線圍成成，函數函數 p(x, y)及及 q(x, y)在在 d 上具有一階連續(xù)偏上具有一階連續(xù)偏導數導數，則有則有 ()ddqpdxdypdxqdyxy (1) (1) 其中其中d 是是 d 的取正向的邊界曲線的取正向的邊界曲線. . 二、格林二、格林(green)公式公式定理定理1 1：公式公式(1)(1)叫做叫做格林格林(green)公式公式. .返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分假假設設平平面面區(qū)區(qū)域域d既既是是 x-型型又又是是 y-型型的的，即即平平

4、行行于于坐坐標標軸軸的的直直線線和和d 至至多多交交于于兩兩點點： yxoabdcdce2( )xxy 1( )xxy 1( )yyx 2( )yyx ab返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分yxoabd1( )yyx 2( )yyx abyxodcdce2( )xxy 1( )xxy ()ddqpdxdypdxqdyxy 返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分( (1 1) )當當區(qū)區(qū)域域 d 不不同同時時為為 x-型型和和 y-型型區(qū)區(qū)域域時時， 可可通通過過添添加加輔輔助助線線將將 d 分分成成有有限限個個既既是是 x-型型又又是

5、是 y-型型的的部部分分區(qū)區(qū)域域（如如圖圖） ： 注意：注意：d1d2d3dd2l1lab返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分(2)(2)green公式可以看成是公式可以看成是n - -l公式在二重積分下公式在二重積分下的推廣，它將平面區(qū)域的推廣，它將平面區(qū)域 d 上的二重積分與上的二重積分與d的邊的邊界曲線界曲線 d+ +的第二類曲線聯(lián)系起來了的第二類曲線聯(lián)系起來了. . ()ddqpdxdypdxqdyxy 返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分4 (0,0) (1,0) (0,1) 1 lx dxxydyl 求求，其其中中 是是以

6、以、為為頂頂點點的的三三角角形形區(qū)區(qū)域域的的例例 、正正向向邊邊界界. .16答答案案: : 返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分22(2 )(3) 22 (2,0)(0,1) 1(0,1)( 1,0) 2 ylxy dxxyedylxyabxybc 求求，其其中中 是是由由直直線線上上從從到到的的一一段段及及圓圓弧弧從從到到的的一一段段連連接接而而成成的的定定向向曲曲線線例例 、( (如如圖圖).).c(-1,0)a(2,0)b(0,1)oxy524 答答案案: : 返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分2222 :21.3lxdyy

7、dxlxyd xy 計計算算，其其中中 為為橢橢圓圓型型區(qū)區(qū)域域例例的的正正向向邊邊界界、1 2 4 ldldxdyydx 設設區(qū)區(qū)域域 由由光光滑滑或或分分段段光光滑滑的的閉閉曲曲線線 圍圍成成. .證證明明： 的的面面積積= =，并并求求橢橢圓圓的的 面面積積. .例例 、2 答答案案: : 返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分gyxo 1lqdypdx則則稱稱曲曲線線積積分分 lqdypdx在在 g 內內與與路路徑徑無無關關， 2lqdypdx1l2lba如果在平面區(qū)域如果在平面區(qū)域g內有內有 否則稱為與路徑有關否則稱為與路徑有關. . 三、平面曲線積分與路

8、徑無關的條件三、平面曲線積分與路徑無關的條件返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分定理定理2 2：1, ( , ), ( , )(), dp x yq x ycd 設設 是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域則則下下列列命命題題等等價價: :(1), 0ldlpdxqdy 沿沿 中中任任意意光光滑滑閉閉曲曲線線有有(2), , .ldlpdxqdy 對對 中中任任一一分分段段光光滑滑曲曲線線曲曲線線積積分分 與與路路徑徑無無關關 只只與與起起止止點點有有關關(3)( , ), ( , )pdxqdydu x ydu x ypdxqdy 在在 內內是是某某一一函函數數的的全全微微分

9、分即即 (4) ()pqdyx 在在 內內每每恰恰一一點點處處有有當當條條件件都都返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分兩條件缺一不可兩條件缺一不可.有關定理有關定理2 2的說明：的說明：返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分注意：注意：(1)二二元元函函數數的的全全微微分分的的原原函函數數的的求求法法00( , )(,)( , )x yxyu x ypdxqdy (2)0 0, .qppdxqdyxyduuc若若中中, , 則則稱稱它它為為 全全微微分分方方程程即即返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分22-

10、 0 ( , 5),xdyydxxxyu x y 驗驗證證在在右右半半平平面面上上是是某某個個的的全全微微分分例例 、并并求求(1)( , );u x y一一個個(2,3)22(1,0)-(2) .xdyydxxy (1) ( , )arctan ;yu x yx 答答案案: : 3(2) arctan .2返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分423322(3)(63)0 xx yydxxxyydy解解方方程程 例例 、53331 .3xx yxyyc 1 1答答案案: : 5 5全微分方程的解法：全微分方程的解法：(1)線線積積分分法法(2)偏偏積積分分法法(3

11、)湊湊微微分分法法返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分四、曲線積分基本定理四、曲線積分基本定理定理定理3 3：, , ( , , ) , ( )( )gabgf x y zf drf bf a 設設 為為單單連連通通區(qū)區(qū)域域是是 內內的的光光滑滑或或分分段段光光滑滑定定向向曲曲線線的的偏偏導導數數在在連連續(xù)續(xù) 則則返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分注意：注意：(1): 保保守守場場 若若一一向向量量場場沿沿場場內內定定向向曲曲線線積積分分僅僅與與與與曲曲線線的的起起點點和和終終點點有有關關, , 而而與與路路徑徑無無關關, , 則則

12、稱稱此此向向量量場場為為保保守守場場. .(2) ff 數數量量場場的的梯梯度度場場必必是是保保守守場場. .返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分五、小結五、小結1、連通區(qū)域的概念；連通區(qū)域的概念；2、二重積分與曲線積分的關系二重積分與曲線積分的關系3、格林公式的應用格林公式的應用. . 格林公式格林公式 ldqdypdxdxdyypxq)(1) 求曲線積分時求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算可利用格林公式簡化計算,3) 可用積分法求可用積分法求d u = p dx + q dy在域在域 d 內的原函數內的原函數:若積分路徑不是閉曲線若積分路徑不是閉曲線, 可

13、可添加輔助線添加輔助線;2) 計算曲線積分時計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑可選擇方便的積分路徑;4) 利用曲線積分基本定理算曲線積分利用曲線積分基本定理算曲線積分:返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分若區(qū)域若區(qū)域k如圖為復連通域，試描述格林公式中如圖為復連通域，試描述格林公式中曲線積分中曲線積分中l(wèi)的方向。的方向。klqpdxdypdxqdyxy oxyabcdefgk思考題：思考題：返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分思考題解答：思考題解答：oxyabcdefgkl由兩部分組成由兩部分組成外外邊界：邊界：內內邊界：邊界：bc

14、dabegfe返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分備用題備用題1. 設設,4:, 1:222412yxlyxl且都取正向且都取正向, 問下列計算是否正確問下列計算是否正確 ?lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41do2y1x2lldd5415lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41dd2412提示提示:時022 yxypxq) 1(ypxq)2(返回第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分微積分微積分2. 設設, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422c551x322yxcy 5xxyxd)4(3