三角形全章銜接講義資料

1、與三角形有關(guān)的線段知識(shí)點(diǎn)一.三角形的基本概念:三角形的定義：由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫做三 角形.三角形具有穩(wěn)定性.三角形的內(nèi)角：三角形的每?jī)蓷l邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角.在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角.三角形的外角：三角形的任意一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做三角形的外 角.三角形的分類：直角三角形：三角形中有一個(gè)角是直角三角形（按角分）銳角三角形：三角形中三個(gè)角都是銳角斜三角形 2鈍角三角形：三角形中有一個(gè)角是鈍角不等邊三角形：三邊都不相等的三角形三角形（按邊分）底邊和腰不相等的等腰三角形：有兩條邊相等的三角形等腰三角形*等邊三角形（正三角形）：有三邊相

2、等的三角形注意：每個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角，而至多有一個(gè)鈍角.三角形的三個(gè)內(nèi)角中，最大的一個(gè)內(nèi)角是銳角（直角或鈍角）時(shí)，該三角形即為銳角三角形（直角三角形或鈍角三角形 ）.經(jīng)典例題：【例 1】如圖 1 的三角形記作 _ 它的三條邊是 _三個(gè)頂點(diǎn)分別是 _三個(gè)內(nèi)角是 _頂點(diǎn)A、B、C所對(duì)的邊分別是 _ 用小寫字母分別表示知識(shí)點(diǎn)精講H【例 2】三角形按邊分類可分為 _角形，_角形；等腰三角形分為底與腰_勺三角形和底與腰 _ 的三角形.【例 3】如圖 2 所示，以AB為一邊的三角形有（）A. 3 個(gè) B.4 個(gè) C.5 個(gè) D.6 個(gè)【例 4】如圖 7-1-26，在圖 1 中，互不重疊的三角形共有4

3、個(gè)，在圖 2 中，互不重疊的三角形共有 7 個(gè)，在圖 3 中，互不重疊的三角形共有10 個(gè)，則在第 n 個(gè)圖形中，互不重疊的rAb圖圖1圖圖2圖圖3圖 7-1-26鞏固練習(xí)：【練 1】如右圖，有_個(gè)三角形。以 E 為頂點(diǎn)的三角形有 _以 AD 為邊的三角形有_?！揪?2】如圖所示，第 1 個(gè)圖中有 1 個(gè)三角形，第 2 個(gè)圖中共有 5 個(gè)三角形，第 3 個(gè)圖中共有 9 個(gè)三角形，依次類推，則第 6 個(gè)圖中共有三角形 _ 個(gè).知識(shí)點(diǎn)二：三角形三邊關(guān)系1三角形三邊關(guān)系：三角形任何兩邊的和大于第三邊.2三角形三邊關(guān)系定理的推論：三角形任何兩邊之差小于第三邊即a、b、c 三條線段可組成三角形：=b -

4、 c：a：b 亠 c ：=兩條較小的線段之和大于最大的線段.注意：在應(yīng)用三邊關(guān)系定理及推論時(shí)，可以簡(jiǎn)化為：當(dāng)三條線段中最長(zhǎng)的線段小于另兩條線段之和時(shí)，或當(dāng)三條線段中最短的線段大于另兩條線段之差時(shí)，即可組成三角形.【例 1】 下列長(zhǎng)度的三條線段，不能組成三角形的是（）【例 2】 下列不能構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)的數(shù)組是（）A.3 , 8, 4B.4 , 9 , 6C.15 , 20 , 8D.9 , 15 , 8A -2、-3、-4 B 丄、1、1C a21、2a21、3a212343312、13352A 1 cm , 2 cm , 5 cmB 4 cm , 5 cm , 9 cmC 5 cm， 8 c

5、m , 15 cmD 6 cm , 8 cm , 9 cm【練 2】已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為4、5、x，則 x 不可能是（【例 3】 已知三角形的兩邊為 8、10，求第三邊的范圍，求周長(zhǎng)的范圍.AAA【練 1】下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（【例 4】?jī)筛景舻拈L(zhǎng)分別是 7 cm 和 10 cm，要選擇第三根木棒，將它們釘成一個(gè)三角形，若第三根木棒的長(zhǎng)是 acm，則 a 的取值范圍是 _【練 3】已知三角形兩邊長(zhǎng)為2cm和7cm，求它的周長(zhǎng)的取值范圍.【練 4】有三條線段，其中兩條線段的長(zhǎng)為3 和 5，第三條線段的長(zhǎng)為 x，若這三條線段不能構(gòu)成三角形，則 x 的取值范圍是 _【例 5】判斷

6、說理，正確的說明理由，錯(cuò)誤的舉出反例.已知ABC的三邊分別為 x ,y, z (1)以 x, y, z 為三邊的三角形一定存在.111(2)以(x y), (y z), (z x)為三邊的三角形一定存在.1【例 6】下列長(zhǎng)度的線段能否組成三角形：3a、4a、2a 1(a -)；5【練 5】下列線段能組成三角形的是()2112A.a 1,a 2,a 3B. a , a ,a 1C. a , a , a 1 D.,a 2a 3a【練 6】已知ABC有兩邊長(zhǎng)為 a、b，其中a : b，則其周長(zhǎng) I 一定滿足().A. 2b l：2(a b) B.2a：l：2bC.a：l：a bD.a：l：2a b【

7、例 7】a、b、c 為三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)a-b-c b-c-a c-a-b，若此三角形周長(zhǎng)為11,求上面式子的值.【例 8】如果 ABC 是等腰三角形，試問：若周長(zhǎng)是 18，一邊長(zhǎng)是 8，則另兩邊長(zhǎng)是_；若周長(zhǎng)是 18，一邊長(zhǎng)是 4，則另兩邊長(zhǎng)是_?！揪?7】已知三角形中兩邊長(zhǎng)為 2 和 7，（1 ）若第三邊長(zhǎng)為奇數(shù)，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 _ _（2）若這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為奇數(shù)，則第三邊長(zhǎng)為 _變式一：如圖 2， ABC 中，點(diǎn) P ABC 內(nèi)任一點(diǎn)求證:變式一：1如圖 2，點(diǎn) PABC 內(nèi)任一點(diǎn)，求證： PA+PB+PC (AB+BC+AC);2【例 9】已知：如圖 1， ABC 中，D 是

8、 AB 上除頂點(diǎn)外的一點(diǎn)求證AB+AC DB+DCAB+BC PB+PC變式三：如圖 3 , D、E 是厶 ABC 內(nèi)的兩點(diǎn)，求證： AB+AC BD+DE+EC.【練 8】如圖，在ABC中取一點(diǎn)P，使CP =CB，求證：AB . AP-知識(shí)點(diǎn)三：與三角形相關(guān)的邊三角形中的三種重要線段三角形的角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂 點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.注：每個(gè)三角形都有三條角平分線且相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，而且它一定在三角形內(nèi)部.2三角形的中線：在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.注：每個(gè)三角形都有三條中線，且相

9、交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的中心，而且它一定在三角形內(nèi)部.3三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊畫垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高線.注：每個(gè)三角形都有三條高且三條高所在的直線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的垂心.銳角三角形的高均在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)也在三角形的內(nèi)部；鈍角三角形的高線中有兩個(gè)垂足落在邊的延長(zhǎng)線上，這兩條高落在三角形的外部，直角三角形有兩條高分別與兩條直角邊重合.反之也成立.畫三角形的高時(shí)，只需要向?qū)吇驅(qū)叺难娱L(zhǎng)線作垂線，連接頂點(diǎn)與垂足的線段就是該 邊的高.【例 10】人。是厶 ABC 的高，可表示為 _ , AE 是厶 ABC 的角平分線，可表示為 _,BF 是

10、厶 ABC 的中線，可表示為.1【例 11】如圖 3, AD 是厶 ABC 的角平分線，則/=/=/; E 在 AC2上，且 AE=CE則 BE 是厶 ABC 的_; CF 是厶 ABC 的高，則/= /=900,CF AB.【練 9】如圖 4,AD 是厶 ABC 的中線,AE 是厶 ABC 的角平分線，若 BD=2cm 則 BC= ; 若 / BAC=6（0,則/ CAE=.【練 10】如圖 5,以 AD 為高的三角形共有.【例 12】如圖所示，在ABC中，D、E分別是BC、AD的中點(diǎn)，SAABC=4cm2,求ABE.C圖 3圖 5【練 11】如圖，在厶 ABC 中,已知點(diǎn) D, E, F

11、分別為邊 BC, AD CE 的中點(diǎn)，且S：ABC= 4cm2，則S陰影等于（）知識(shí)點(diǎn)四.三角形的穩(wěn)定性埃及金字塔、鋼軌、三角形框架、起重機(jī)、三角形吊臂、屋頂、三角形鋼架、鋼架橋中的三 角形1.三角形是具有 _ 勺圖形，而四邊形沒有 _.2自行車用腳架撐放比較穩(wěn)定的原因是 _.3.下列把四邊形的不穩(wěn)定性合理地應(yīng)用到生產(chǎn)實(shí)際中的例子有（）（1 ）活動(dòng)掛架（2）放縮尺（3）屋頂鋼架（4 ）能夠推攏和拉開的鐵拉門（5 ）自行車的車架（6 ）大橋鋼架A.1B.2C.3D.4【例 13】如圖，工人師傅砌門時(shí)，常用木條EF 固定矩形門框 ABCD 使其不變形，這種做法的根據(jù)是（ ）A.兩點(diǎn)之間線段最短B

12、矩形的對(duì)稱性C.矩形的四個(gè)角都是直角D 三角形的穩(wěn)定性FT廠廠T H1】hi：【練 13】為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背面加釘了一根木條，這樣做的道 理是（）A. 兩點(diǎn)之間，線段最短B. 垂線段最短2212A. 2cmB. 1cmC.cm2D2cm4C. 三角形具有穩(wěn)定性D.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形有關(guān)的角知識(shí)點(diǎn)精講知識(shí)點(diǎn)一.三角形內(nèi)角和定理:三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180.三角形內(nèi)角和180的幾種證明方法:【例 1】已知在 ABC 中，.C =80 , A-. B =20，則.B的度數(shù)是（A.60B.30C.20D .40【例 2】如下圖，求.C . D 的度數(shù).【例 3】如圖

13、，求 ZA ZB .C ZD ZE 的度數(shù).添加平行線法：帕斯卡（法國(guó)數(shù)學(xué)家）折紙法:E。一3EDF【例 4】 如圖所示，已知.A=70 , B=40 , C =20，求BOC 度數(shù).如圖所示，已知.EGF =/BEG . CFG，試探索.A . B . C . D 的度數(shù).【例 6】 如下圖，已知.:-133，.- -83，求.A . B . C . D =_【習(xí)題 2】如下圖，求.的度數(shù).【例5】【習(xí)題 1】如圖，求.A：BCD：E =_BCCD知識(shí)點(diǎn)二：三角形的外角三角形的外角：三角形的外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，因?yàn)槊總€(gè)內(nèi)角均有兩個(gè)鄰補(bǔ)角,因此三角形共有六個(gè)外角，其中有三個(gè)與另外三個(gè)相

14、等.每個(gè)頂點(diǎn)處的兩個(gè)外角是 相等的.三角形的外角和：每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，再相加，叫三角形的外角和（并非6個(gè)外角之和）.三角形的外角和等于360.三角形內(nèi)角和定理的三個(gè)推論：推論 1:直角三角形的兩個(gè)銳角互余.推論 2：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.推論 3:三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.【例 7】 如 下圖，厶 ABC 中，./A =80 ,剪去 ZA 后，得到四邊形 BCED ,則 12=.如圖在三角形紙片 ABC 中，.A =65 , B =75，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落 在ABC 內(nèi)，若 1 =20，則.2為多少度？BCD【習(xí)題 3】如下圖，求A .B

15、 .C .DH【例 8】 如圖所示，將 ABC 沿著DE翻折，若.1 . 2 =80，則.B =_【例9】AC【例 10】如下圖所示，在 JABC 中，ACB =90 ,.DCE =45求證：BC 二 BD .D、E為AB上兩點(diǎn)，若 AE=AC ,【習(xí)題 4】如右圖，已知/ABE =142,ZC = 72,則/A二_ZABC =_.【習(xí)題 5】如圖，Z3=120“，則Z1Z2=_度.【習(xí)題 6】如圖，三角形紙片ABC中，將紙片的一角折疊， 使點(diǎn)C落在ABC內(nèi)，(1)若ZA= 65 ,ZB= 75 ,Z1 = 20,則Z2 的度數(shù)為 _ .(2)Z1,Z2,ZC 有何關(guān)系？知識(shí)點(diǎn)三涉及角平分線的

16、圖形中角的關(guān)系【例 11】如右圖所示，BD是.ABC 的角平分線,ACD是.ACB 的角平分線,BD、CD交于D，試探索A與.D之間的關(guān)系：_【例 12】如右圖所示，BD是 ABC 的外角平分線，CD也是 ABC 的外角平分線，BD、CD交于點(diǎn)D，試探索 ZA 與三D之間的關(guān)系：_【例 13】如圖，在三角形 ABC 中，乙A =42，ZABC 和/ACB 的三等分線分別交于D、E，求三 BDC的度數(shù).【例 14】如圖，延長(zhǎng)四邊形 ABCD 對(duì)邊AD，交BC于F , DC,AB交于E.若/AED,AFB1的平分線交于0，求證：.EOF ( EAF . BCD).【例 15】如圖，BF是.ABD的

17、角平分線，CE是.ACD角的平分線，BE與CF交于G,若.BDC =140, BGC =110，求.A的度數(shù).ADAA D1【習(xí)題 7】如圖，點(diǎn) E 是/ ABC 的平分線與厶 ABC 的外角/ ACD 的平分線 CE 的交點(diǎn),1求證：/ E= / A2【習(xí)題 8】如圖，BP 平分/ ABC 交 CD 于 F,DP 平分/ ADC 交 AB 于 E,若/ A=3& / C=460, 求/P的度數(shù)PAEDCF知識(shí)點(diǎn)一 多邊形及其內(nèi)角和基本概念多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. 多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊. 多邊形的頂點(diǎn)：每相鄰兩邊的公

18、共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn). 多邊形的對(duì)角線：在多邊形中，連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線. 多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角. 多邊形的外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角. 正多邊形：各個(gè)角相等，且各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.凸多邊形：如果多邊形的任何一邊所在直線都使余下的邊都在這條直線的同一側(cè)的多邊形.知識(shí)點(diǎn)二基本性質(zhì)穩(wěn)定性.內(nèi)角和與外角和定理.如下圖，n 邊形的內(nèi)角和為（n-2） 180 （n 3），多邊形的外角和都是360.n 邊形的對(duì)角線：一個(gè)頂點(diǎn)有（n-3）條對(duì)角線，共有（n一3）門條對(duì)角線.2不特別強(qiáng)調(diào)多邊形都指凸多邊

19、形，凸多邊形的每個(gè)內(nèi)角都小于180.分割成（n-2）個(gè)三角形求內(nèi)角模塊一多邊形的對(duì)角線【例 1】 如果一個(gè)多邊形共有27條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是【鞏固】已知從 n 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有4條對(duì)角線，其周長(zhǎng)為56，且各邊長(zhǎng)是連續(xù)的自 然數(shù)，求這個(gè)多邊形的各邊之長(zhǎng).【鞏固】已知一個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)為邊數(shù)的2倍，求該多邊形的邊數(shù).【例 2】一個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)與它的邊數(shù)相等，這個(gè)多邊形是 _ 邊形.【例 3】 從 n 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，把這個(gè) n 邊形分成三角形的個(gè)數(shù)是 _【鞏固】一個(gè)多邊形，把一個(gè)頂點(diǎn)與其它各頂點(diǎn)連接起來，把這個(gè)多邊形分成了12 個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù) _

20、模塊二多邊形的內(nèi)角和與外角和內(nèi)角和【例 4】 已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540，則這個(gè)多邊形是（）A 四邊形B 五邊形C.六邊形D 七邊形【鞏固】一個(gè)多邊形共有 14 條對(duì)角線，則它的內(nèi)角和為 _ .【例 5】 在四邊形 ABCD 中，.D =60 ,ZB比/A大20,ZC是/A的2倍，求/A，/B,C的大小.【鞏固】如圖，已知在一次科技活動(dòng)中，需要將一張面積為10cm2的四邊形四角都剪去一個(gè)扇形的區(qū)域，扇形的半徑均為1cm，求剩余紙張的面積.【例 6】一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角中，最多有 _ 個(gè)銳角.【鞏固】如果一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加1倍后，它的內(nèi)角和是 2160，那么原來多邊形的邊數(shù)是_.【鞏固】如下

21、圖中每個(gè)陰影部分是以多邊形各頂點(diǎn)為圓心，1為半徑的扇形，并且所有多邊形的每條邊長(zhǎng)都大于2，則第 n 個(gè)多邊形中，所有扇形面積之和是（結(jié)果保留n）.外角和【例 7】 若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是40，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A 10B. 9C. 8D. 6【鞏固】已知一個(gè)五邊形的外角度數(shù)之比為1:2: 3: 4: 5，求它的內(nèi)角大小.【例 8】 如右圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)，向前走2米，左拐20，再向前走2米，再左拐20,如此下去，小明能否回到出發(fā)點(diǎn)A?如果能，第一次回到出發(fā)點(diǎn)共走了多少路程？【例 9】 如圖，講六邊形 ABCDEF 沿直線GH折疊，使點(diǎn) A ,B 落在六邊形 CDEFGH 內(nèi)部,則下

22、列結(jié)論正確的是（）AA. 1. 2 =900 -2/C . D E FB.J /2F080 -2：./C ED /E .FC乙1 2 =720 : ZC D E F1D. . 1 . 2 =360C . D . E . F模塊三正多邊形與鑲嵌知識(shí)點(diǎn)播：幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰 好組成一個(gè)周角.【例 10】下列多邊形中，不能夠單獨(dú)鋪滿地面的是（）A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形【鞏固】若限于用同一種正多邊形磁磚鑲嵌（要求鑲嵌的正多邊形的邊必須與另一正多邊形的邊重合），則不能鑲嵌成一個(gè)平面的正多邊形磁磚的形狀是（）A、正三角形B 、正方形

23、C、正六邊形D 、正八邊形【例 11】有下列五種正多邊形地磚：正三角形；正方形；正五邊形；正六邊形；正八邊形，現(xiàn)要用同一種大小一樣、形狀相同的正多邊形地磚鋪設(shè)地面，其中能做到此之間不留空隙、不重疊地鋪設(shè)的地磚有（）A.4 種B.3 種C.2 種D.1 種【鞏固】下列平面圖形中，不能鑲嵌平面的圖形是（）A.任意一種三角形B.任意一種正方形C.任意一種正五邊形D.任意一種正六邊形【例 12】下述美妙的圖案中，是由正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形中的三種鑲嵌而AB成的為（）【鞏固】張明同學(xué)設(shè)計(jì)了四種正多邊形的瓷磚圖案,是（ ）在這四種瓷磚圖案中， 不能鋪滿地面的【鞏固】小瑩家的地面是由一個(gè)小正方

24、形和四個(gè)等腰梯形這樣的正方形地板磚鑲嵌而成的,小瑩發(fā)現(xiàn)地板上有正八邊形圖案，那么地板上的兩個(gè)正八邊形圖案需要這樣的地板磚至少（）【例 13】黑色正三角形與白色正六邊形的邊長(zhǎng)相等，用它們鑲嵌圖案，方法如下：白色正六邊形分上下兩行，上面一行的正六邊形個(gè)數(shù)比下面一行少一個(gè)，正六邊形之間的空隙用黑色的正三角形嵌滿按第 1, 2, 3 個(gè)圖案（如圖）所示規(guī)律依次下去，則第n 個(gè)圖案中，黑色正三角形和白色正六邊形的個(gè)數(shù)分別是（）考點(diǎn)一：三角形的分類1三角形按內(nèi)角的大小分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。2三角形按邊分為兩類：等腰三角形和不等邊三角形?！纠?1】：具備下列條件的三角形中，不是直角三

25、角形的是（）。A.8B.9C.11D.122n 1A. n2n 2, 2n 1B. 2n 2 , 2n 12C.4n,n-n 3 D.4n專題一三角形綜合A:ZA+ZB=ZC B:/A=ZB=ZC C:/A=90 -/B D:/A-/B=90考點(diǎn)二：三角形三邊的關(guān)系三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊之差小于第三邊。【例 2】：已知：如圖 1， ABC 中，D 是 AB 上除頂點(diǎn)外的一點(diǎn).，求證變式一：如圖 2， ABC 中，點(diǎn) P ABC 內(nèi)任一點(diǎn)求證:變式二：1如圖 2，點(diǎn) PABC 內(nèi)任一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC - (AB+BC+AC);2【例 3】：現(xiàn)有兩根木棒，它們的長(zhǎng)分

26、別是 在下列四根木棒中應(yīng)選取長(zhǎng)為()AB+AC DB+DCAB+BC PB+PC變式三:如圖 3，D、 E 是AB+AC BD+DE+EC.40cm 和 50cm，若要釘成一個(gè)三角形木架，則C.40cm 的木棒D.10cm 的木棒A圖 2CA.IOOcm 的木棒 B.90cm 的木棒【鞏固】1.下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是A. 3 , 4, 8 B. 5 , 6, 11 C. 1 , 2, 3 D. 5 , 6, 102個(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為8cm和 3cm,那么它的周長(zhǎng)為.考點(diǎn)三：三角形的中線、角平分線、高1.三角形的中線：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線段，三角形任意一條中線

27、將三角 形分成面積相等的兩個(gè)部分；2.三角形的角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與對(duì)邊相交形成的線段；3.三角形的高：過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)做對(duì)邊的垂線，這條垂線段叫做三角形的高。注意：三角形的角平分線、中線和高都是線段，不是直線，也不是射線；2任意一個(gè)三角形都有三條角平分線，三條中線和三條高；3任意一個(gè)三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形的內(nèi)部。但三角形的高卻有不同的位置：銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部；直角三角形有一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高恰好是它兩條直角邊；鈍角三角形一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高在三角形的外部。4一個(gè)三角形中，三條中線交于一點(diǎn)（重心），三條角平分線交于一點(diǎn)（內(nèi)心）

28、，三條高所在的直線交于一點(diǎn)（ 垂心）?！纠?4】將厶 ABC 分成面積相等的四個(gè)三角形。1求證：(1)s.AOESABC(2)AO：OD =2:16【例 5】已知：如圖,AD BC。丘是厶 ABC 的三條中線，0 為交點(diǎn)。AD【鞏固】如圖 5,在厶 ABC 中，已知點(diǎn) D, E, F 分別為邊 BC AD, CE 的中點(diǎn)，且S.ABC=4cm2，則S陰影等于(2 2A. 2cmB. 1cmC.2cmD.12cm4【例6】：如圖，已知MBC中，NABC和NACB的角平分線 BD,CE 相交于點(diǎn) O.(1)若.ABC =50,. ACB =70，則.B0C(2)若.ABC =48，. ACB =6

29、4，則.B0C(3)若.A =60,貝，B0C =請(qǐng)?zhí)骄?A與.BOC的關(guān)系.C變式一：如圖，BP 平分/ FBC CP 平分/ ECB.(1)若/ A=40，求/ BPC 的度數(shù);(2)若/ A=a，求/ BPC 的度數(shù)(用含 a 的代數(shù)式表示)變式二：已知：BDABC 的角平分線，COABC 的外角平分線,它與 BO 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) 0,試探索/ BOC與上A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【鞏固】：如圖，若 E 為 BA 延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連 EC,/ AEC 與/ ACE 的角平分線交于 Q ,變式三：已知：如圖 1,線段 AB、CD 相交于點(diǎn) 0，連接 AD、CB,如圖，/ DAB 和/BCD

30、的平分線 AP 和 CP 相交于點(diǎn) P,并且與 CD、AB 分別相交于 M、N 試解答下列問題:(1 )在圖中，若/ D=40 , / B=30，試求/P的度數(shù)；(寫出解答過程)(2 )如果圖中/D和/B為任意角，其他條件不變,當(dāng) E 滑動(dòng)時(shí)有下面兩個(gè)結(jié)論：/ Q+ / Ai的值為定值；/ 且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論，并求出其值.Q- / Ai的值為定值，其中有試寫出/P與/D、/B之間數(shù)量關(guān)系.考點(diǎn)四：三角形的外角與不相鄰的內(nèi)角的關(guān)系注意：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；【例 7】：如圖，已知點(diǎn) P 在厶 ABC 內(nèi)任一點(diǎn)，試說明/ A 與/ P 的大小關(guān)系?！纠?8

31、】：如圖 4,/ 1 +Z2+Z3+/4 等于多少度;考點(diǎn)五：三角形的內(nèi)角和、外角和的相關(guān)計(jì)算與證明1.三角形的內(nèi)角和：180 引申：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；一個(gè)三角形中至多有一個(gè)直角或一個(gè)鈍角；一個(gè)三角中至少有兩個(gè)內(nèi)角是銳角。2.三角形的外角和：360 3.三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。常用來比較角的大小【例 9】：若三角形的三個(gè)外角的比為 3: 4: 5,則這個(gè)三角形為（）.A.銳角三角形B 直角三角形 C 等邊三角形【例 10】：已知等腰三角形的一個(gè)外角為150。，則它的底角為 _【鞏固】1、如圖，若/ AEC=100，/ B=45,ZC=38,則/

32、DFE 等于（）A.125 B.115 C.110 D.1053、如圖，則/ 1=_, / 2=_, / 3=_考點(diǎn)六：多邊形的內(nèi)角和與外角和（識(shí)記）正 n 邊形34568101215內(nèi)角和180 360 540720 1080 144018002340外角和360 360 360360 360 360 360360每一個(gè)內(nèi)角5一2）180或18-360nn60 90108120 135 144 150158每一個(gè)外角。（n-2）180亠360180 - -或nn120 9072604536 3022【例 11】：若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，則這個(gè)多邊形是（A 三角形 B 六邊形 C 五

33、邊形 D 四邊形D.鈍角三角形2、如圖，/仁_【例 12】：下列說法錯(cuò)誤的是（）A 邊數(shù)越多，多邊形的外角和越大B 多邊形每增加一條邊，內(nèi)角和就增加 180 C.正多邊形的每一個(gè)外角隨著邊數(shù)的增加而減小D 六邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是 120【例 13】：一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是24。，則此多邊形的內(nèi)角和（）A 2160 B. 2340 C 2700 D 2880 【鞏固】若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和相加是1800,則此多邊形是（）A、八邊形 B、十邊形 C、十二邊形 D、十四邊形考點(diǎn)七：鑲嵌1.同一種正三邊形、正四邊形、正六邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌；2.正三角形與正四邊形、正三角形與正六邊形可以進(jìn)行

34、平面鑲嵌；3.同一種任意三角形、任意四邊形可以進(jìn)行鑲嵌。4.判定多邊形可鑲嵌的條件：在同一頂點(diǎn)上的多個(gè)正多邊形的內(nèi)角之和為360 ,即可鑲嵌?！纠?14】：裝飾大世界出售下列形狀的地磚： 正方形；色長(zhǎng)方形；正五邊形；劭正六邊形。若只選購其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選用的地磚有（）A. B. 劭 C. D. 【例 15】：邊長(zhǎng)相等的下列兩種正多邊形的組合，不能作平面鑲嵌的是（）A.正方形與正三角形B.正五邊形與正三角形C.正六邊形與正三角形D.正八邊形與正方形【鞏固】某裝飾公司出售下列形狀的地磚： 正方形；長(zhǎng)方形；正五邊形；正六邊形若只選購其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選用的地磚共有A 1 B 、

35、2 C、3 D、4考點(diǎn)八：比例關(guān)系中的三角形【例 16】如圖 ABC 中，錯(cuò)誤！未找到引用源。 =錯(cuò)誤！未找到引用源。 =錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。，求錯(cuò)誤！未找到引用源。 的值?！眷柟獭縋 ABC 內(nèi)在一點(diǎn)，三邊 a、b、c 上的高分別為 ha、hb、he，且 P 到 a、b、c 的距離分別為 ta、tb、tc，求證：錯(cuò)誤！未找到引用源。+錯(cuò)誤！未找到引用源。+錯(cuò)誤!未找到引用源。=1?！纠?1】如圖，四邊形 ABCD 中，AD / BC , DE 平分/ ADB，/ BDC= / BCD ,(1 )求證：/ 1+ / 2 = 90 。(2) 若/ ABD 的平分線與 CD

36、的延長(zhǎng)線交于 F，且/ F=55求/ ABC。(3 )若 H 是 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn) 是 BA 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)H 交 BD 于 M , FG 平分/ BFH，交專題二三角形壓軸、 亠 、一一 主入NBAD+NDMH弘DE 于 N，交 BC 于 G。當(dāng) H 在 BC 上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與 B 點(diǎn)重合)，的ZDNG值是否變化，如果變化，說明理由；如果不變，試求出其值?！纠?2】小明在學(xué)習(xí)三角形的知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下三個(gè)有趣的結(jié)論：在 RtAABC 中，A =90，BD平分 ABC，M為直線AC上一點(diǎn)，ME _ BC，E為垂足，.AME的平分線交直線AB于點(diǎn)F(1 )如圖，M為邊AC上一點(diǎn)，則 BD、MF

37、的位置關(guān)系是 _(2 )如圖，M為邊AC反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，則 BD、MF 的位置關(guān)系 是.(3 )如圖，M為邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，則點(diǎn) BD、MF 的位置關(guān)系是_.請(qǐng)你完成(1 )、(2)、( 3)三個(gè)命題，并證明這三個(gè)結(jié)論.【例 3】如圖，在 BCD 中，BE平分.DBC 交CD于F，延長(zhǎng)BC至G,CE平分.DCG ,且 EC、DB 的延長(zhǎng)線交于A點(diǎn)，若.A=30 , . DFE =75 .(1)求證：ZDFE ZADZE.(2)求.E的度數(shù).(3)若在上圖中作 CBE 與.GCE 的平分線交于 E!,作 CBE!與 GC的平分線交于 E2，作 CBE2，與 GCE2的平分線交于 E3， 以此

38、類推， CBEn與GCEn的平分線交于 Eni, 請(qǐng)用含有n的式子表示 En1的度數(shù).【例 4】 如圖甲，在ABC 中，ADLBC 于 D, AE 平分/ BAC.(1 )若/B=30 , / C=70，則/ DAE=_;(2 )若ZC- / B=30，貝U/ DAE=_ ;(3 )若ZC - ZB=a(ZCZB),求/ DAE 的度數(shù)(用含 a 的代數(shù)式表示)；()(4)如圖乙，當(dāng)ZCVZB時(shí)我們發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論不成立，但為了使結(jié)論的統(tǒng)一與完美，我們不妨規(guī)定：角度也有正負(fù)，規(guī)定順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)例如：ZDAE= - 18 ,貝UZEAD=18 ；作出上述規(guī)定后，上述結(jié)論還成立嗎？_;若/ DAE=- 7 則ZB-ZC=變式一：已知：如圖 1, ABC 中，ZBZC,AD 是厶 ABC 的角平分線，點(diǎn) P 是 AD 上的一點(diǎn)，過點(diǎn) P 畫 PHLBC 于 H(1)求證：/DPH= ( ZB- ZC);2(2 )如圖 2，當(dāng)點(diǎn) P 是線段 AD 的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn) 然成立嗎？請(qǐng)你作出判斷并加以說明.變式二：如圖，AE、OB、OC 分別平分ZBAC、/ ABC、ZACB , OD 丄BC,求證：Z1=Z2 .【例 5】如圖，直線 AB 分別交 x 軸、y 軸交于 A、B 兩點(diǎn),