常見遞推數(shù)列通項的九種求解方法

1、常見遞推數(shù)列通項的九種求解方法要求考生進行嚴格的邏輯推理,找到數(shù)列的通項公式，為此介紹幾種常見遞推數(shù)列通項公式的求高考中的遞推數(shù)列求通項問題，情境新穎別致，有廣度，創(chuàng)新度和深度，是高考的熱點之一。是一類考查思 維能力的好題。解方法。類型一:On 1 Onf (n) ( f n可以求和)解決方法累加法例1、在數(shù)列01中，已知ai=i，當n2時，有On On 12 n 1 n 2，求數(shù)列的通項公式。解析：Q Onan1 2n 1(n2)02O3 O2O4O3M上述n 1個等式相加可得:On On 12n 12Onn2-OnO1n評注：一般情況下，累加法里只有n-1個等式相加?！绢愋鸵粚ｍ椌毩曨}】1

2、、已知 O11 , On On 1n ( n 2)，求 On。2、已知數(shù)列 On , O1 =2,On 1= On +3 n +2,求 On。3、已知數(shù)列On滿足On 1On 2 n1, O11，求數(shù)列On的通項公式。4、已知On中，O13, On 1 On2n，求 On。15、已知 O12, On 1On(n),求數(shù)列a n通項公式.已知數(shù)列 On滿足011, On3n1On,求通項公式On ？7、若數(shù)列的遞推公式為a13, OnOn3n 1(nN )，則求這個數(shù)列的通項公式8、已知數(shù)列On滿足OnOn3n1,O13,求數(shù)列an的通項公式。9、已知數(shù)列On滿足O11一，On 12On12n

3、n求On。W、數(shù)列 On 中，O12 , On 1Oncn ( c是常數(shù)，n 1,2,3,L ),且O1, O2, O3成公比不為1的等比數(shù)列.(I )求C的值;(II )求On的通項公式.f (n)表示11、設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n 3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點.若用這n條直線交點的個數(shù)，則f當 n 4 時，f(n)(用n表示).答案:1.an心 2.ann(3n 1)3. ann24.an2n1 5.an6.an3n 127.an 12 3n8.an3n9.an10.(1)2 (2)ann211.(1)5 (2)類型an 1 f(n) an(f(n)可以求積)解

4、決方法累積法例1、在數(shù)列a中，已知 a11,有 nan 4 n 1 an,(n 2)求數(shù)列an的通項公式。解析：an -a-an 1也也L更並4an 2 an 3a2 a12, 3 2 ,214 3 n 12又Qa1也滿足上式；an n 1(n N )評注：一般情況下，累積法里的第一步都是一樣的。 【類型二專項練習題】1、已知a11,已知數(shù)列 ann 1zc、十a(chǎn)n an ,( n 2)，求 a.。n 12 n十T , an 1- an，求 an。3 n 1滿足a18、已知an中,已知a1已知a1已知數(shù)列已知數(shù)列已知數(shù)列an 1 -an，且a1 2，求數(shù)列務(wù)的通項公式.n 23n 1/r八卡a

5、n 1_ an (n 1)求 a.。3n 21, ann(an 1 an) (n N ),求數(shù)列an通項公式.an 滿足 a1 1, an 1an滿足 an 12(nan，滿足 a1=1, an2n an，求通項公式an ？1)5n an, a1 3，求數(shù)列an的通項公式。a1 2a2 3a3(n 1)an 1 (nA 2)，則an的通項設(shè)an是首項為1的正項數(shù)列，且(n + 1) an 1 -na*+an+1 an = 0(n = 1,2, 3,)，求它的通項公式.10、數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11 ,Sn =n2an(nN*)，求數(shù)列an的通項公式.2答案:1. an-2. an n

6、23n3. an4.an63n 15. ann2 n6. an2丁7. an3 n!2nn2 n2an1n!9.an可。解析:an10. an22n n類型三:解決方法an 1AanB(其中A,B為常數(shù)A0,1待定常數(shù)法可將其轉(zhuǎn)化為an在數(shù)列an設(shè)an t1，于是an2 3n1 1A(an t)，其中 t f,則數(shù)列an t為公比等于A的等比數(shù)列，然后求an即中,a11，當n 2時，有an3an 12 ,求數(shù)列 an的通項公式。3 an，則an3an 1 2t3 anan1是以a112為首項，以3為公比的等比數(shù)列。【類型三專項練習題】1、在數(shù)列an中,a11 , an 12an3，求數(shù)列an的

7、通項公式。若數(shù)列的遞推公式為a11,an 12(n N )，則求這個數(shù)列的通項公式已知數(shù)列an中,S-1, an= -an1 (n 2)求通項an .在數(shù)列an(不是常數(shù)數(shù)列)中，an 111-an 2且d -,求數(shù)列an的通項公式.23在數(shù)列an中，a1 1,an 13 an1,求 an.已知數(shù)列 an滿足a11,an 1 2 an1(n N*).求數(shù)列an的通項公式.設(shè)二次方程anx 2 - an+1.X+1=0(n N)有兩根a和3，且滿足6 a -2 a3 +6 3 =3.(1)試用an表示a2(2)求證：數(shù)列an 3是等比數(shù)列;(3)當a1-時，求數(shù)列6an的通項公式8、在數(shù)列an中

8、，Sn為其前n項和，若a1 3 , a? 2，并且Sn 123Sn 2Sn 1 1 0(nA 2)，試判斷 尋 1 (n N )是不是等比數(shù)列?0答案：1. an 3n 2 2.ann 11 n223. an2 24. an5.an1 3n 16. an2n 1 7.(1) an 11 -a 2anI 28.是類型四：AanBanCan10;其中A,B,C為常數(shù),且ABC可將其轉(zhuǎn)化為A an 1ananan 1(*)的形式，列出方程組BC ,解出還原到(* )式，則數(shù)列anan是以a2a1為首項， 一為公比的等比數(shù)列，然后再結(jié)合其它方法，就可A以求出an 。例1在數(shù)列an中,a1a24，且an

9、1 3an 2 an 1n 2求數(shù)列an的通項公式。解析：令an 1an(anan 1),( n2)得方程組解得1,2；an 1anan則數(shù)列an 1an是以a2印為首項，以2為公比的等比數(shù)列an 1an2na2 a1a3a2a4a3M22223ana12(1 2n1)2n2an2n n Nanan 12n1評注：在 Aan 1 Ban Ca. 10;其中A,B,C為常數(shù)，且ABC0 中,A+B+C=0，則一定可以構(gòu)造an 1an為等比數(shù)列。例2 已知a1a23,an 16an 1 an (n 2),求 an解析：令an 1ananan1 n 2，整理得an 1anan 1an 13ana23

10、,2n 1 9 2n 1 ；兩邊同除以2n 1 得,an 13 an2216an2bn 1Ibn9-令 bn 14bnt ,得 bn 12 bn5-t25t2bnbn91010是以10 t10bn10bl【類型四專項練習題】9101、已知數(shù)列an中，a15已知 a1=1, a2= , a3、已知數(shù)列an設(shè)數(shù)列bnan設(shè)數(shù)列Cnann求數(shù)列an4、數(shù)列an為首項,103-為公比的等比數(shù)列。2，bn910，得an1, a22 , an23an13an=5- _n 2 = an 1- an33,求數(shù)列an 的通項公式an.中，Sn是其前n項和，并且Sn 112an(n,(n1,2,的通項公式及前:3

11、an 25an 14an2(n1,2丄)，印 1 ,1,2,），求證:），求證：數(shù)列n項和。an2an0(n2n1,n數(shù)列 bn是等比數(shù)列;Cn是等差數(shù)列;13(n 1)N),a1答案：1. an 12. an3|2n2;Sn (3n 1) 2n 2a,a2 b ,求數(shù)列an的通項公式。4. an 3b 2a3(ab)|類型五:an 1 Panf(n)n3.(3)an 2n13(n 1) 2n2； Sn (3n 1) 2n 2一般需一次或多次待定系數(shù)法，構(gòu)造新的等差數(shù)列或等比數(shù)列。1例1設(shè)在數(shù)列an中，a1 1, an -an 1 2n 1 n 2求數(shù)列an的通項公式。解析：設(shè)bn an An

12、 b101022這時 bn2bn 1 n 2 且 bnan4nan An BamA2展開后比較得 2A B1是以3為首項，以一為公比的等比數(shù)列bn.n 1.n11131 即 3 122an4n 6 ,ann 14n 6解析:anan2n在數(shù)列an中,Q an2an 1例3 在數(shù)列anaian 2an 1求數(shù)列 an的通項公式。2an 12n1 n2n1中,，兩邊同除以22 2n 1即ana15， an 2an 1On2n2n2nan是以色日為首項，2為公差的等差數(shù)列。22n2,n求數(shù)列an的通項公式。解析：在an 2an 12n 1中，先取掉2n，得an 2an 1 1令an2 an 1，得1

13、，即 an12(an1 1)；然后再加上2n得 an12 an1 1 2n；an12 an 112n兩邊同除以2n 侗 an 1，得Fan 111;an12n是以 乩 2為首項，1為公差的等差數(shù)列。2an12n1,an2n n 1評注:若f (n)中含有常數(shù)，則先待定常數(shù)。然后加上n的其它式子，再構(gòu)造或待定。已知數(shù)列an滿足an 1 3an 52n4, a11,求數(shù)列an的通項公式。解析:在an1 3an 5 2n 4中取掉5 2n待定令an1 t 3 an t，則 an 1 3an 2t 2t 4，t 2 ； an 1 2 3 an 2 ,再加上 5 2n得,an1 2 3 an 2 5 2

14、n，整理得：|an 252n2bn，則 bl 1令bn 1即bn1bn 513 3 nT 2類型5專項練習題:飢52 2bn 1bn2數(shù)列bl5是以b5J252t 5;1335兀為首項，2為公比的等比數(shù)列。1，即an213 32 2;整理得an13 3n 12n 2仁設(shè)數(shù)列 an的前n項和43an322 n 1,n N* ，求數(shù)列3an的通項公式。2、已知數(shù)列an中，a12 點 n,2an 1an在直線y x上,(1)令bnan 1an1,求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項；3、已知a12 ,an 14an2n 1，求 an。4、設(shè)數(shù)列ana14, an3an1 2n1,(n2)

15、，求 an.其中n2,a n 11,2,3L L .已知數(shù)列an滿足a12an (2n1)，求通項 an在數(shù)列an中，a1已知數(shù)列an中，a13，2an56,an1an 16n 3,求通項公式an。fan（1）n1，求 an。8、已知數(shù)列 an , a1=1,an 1 = 2 an + 3 n ,求通項公式an .已知數(shù)列an滿足an 13an3n 1, a1 3，求數(shù)列an的通項公式。10、若數(shù)列的遞推公式為 a11,an3an 2 3n 1（ n N ），則求這個數(shù)列的通項公式11、已知數(shù)列 an滿足a11,an 13an 2n 1,求 an.12、已知數(shù)列an滿足an 1 2an 3 I

16、n , a1 2，求數(shù)列an的通項公式。13、已知數(shù)列an滿足an 1 Ian 3 5n, a1 6，求數(shù)列an的通項公式。14、已知a11, anan 12n 1，求 an。15、已知an中，a1 1 , an 2an 1 2n(n 2)，求 a.16、已知數(shù)列an中，Sn是其前n項和，并且Sn 1 43. 2（n 1,2丄）4 1 ,設(shè)數(shù)列bnan 12an(n1,2,)，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列;設(shè)數(shù)列Cn和n 1,2,)，求證：數(shù)列Cn是等差數(shù)列;求數(shù)列an的通項公式及前n項和。答案：1.an4n 2n 2.(2)2 3.an4n 2n 4.an4 3n 1 n5. an5 2n2n1

17、 6. an9 7. an8. an3n2n9. an(2 n5)10. an3n(732n)11.an12.an(3n 1)2* 113.an5n 2n14. an2n 1315.an2n1216,3)an2n13(n1) 2n；Sn(3n 1)2n1、類型六:例1 已知a1an解析：兩邊取倒數(shù)得:令 bn 1 tbn2bnC anpan d解決方法倒數(shù)法2 an an 1 c “ 2an 1an 1 2an (bn t)；展開后得,22是以b12-a17 ln1；即 丄42an，求an。設(shè)anbn ,則 bn1 ibn如1 2bn彳為首項,評注：去倒數(shù)后，一般需構(gòu)造新的等差(比)數(shù)列。 【

18、類型六專項練習題】：若數(shù)列的遞推公式為 a1已知數(shù)列 an滿足a1已知數(shù)列 an滿足:1丄為公比的等比數(shù)列。21，得an2n 12n 273,丄 2(n Y)，則求這個數(shù)列的通項公式。 an 1an1,n 2 時，an 1 an 2an 1an，求通項公式 an。_an 1_an，a13 an 1 11，求數(shù)列 an的通項公式。4、設(shè)數(shù)列an滿足a12, an 15、已知數(shù)列 an滿足ai=i,an3an，求 an6、在數(shù)列an中，ai2, an 13a，求數(shù)列an的通項公式.an 37、若數(shù)列 an中，a1=1, an 1答案:1.an6n2. an2n:2aan1 _1n N，求通項a n .13. an4.an15. an 廠6. an2n 17.an類型七:解決方法Sn f(an)anSnSn(n 1)(n 2)已知數(shù)列an前n項和Sn1求an 1與an的關(guān)系;(